Stochastische Modelle Demographischer Prozesse

ISBN-13: 9783540054238 / Niemiecki / Miękka / 1971 / 406 str.

G. Feichtinger; Gustav Feichtinger

Opis

Die Bevolkerungsmathematik hat im deutschsprachigen Raum in den letzten Jahrzehnten - etwa im Gegensatz zur Entwicklung in Frankreich und in den USA - keinen rechten AnschluB an eine nicht unbedeutende Tradition finden konnen. Die vorliegende Arbeit mochte Probleme der demographischen Analyse erneut aufgreifen, diesmal jedoch unter Heran ziehung von Begriffsbildungen aus der Theorie stochastischer Prozesse. Die im folgenden vorgeschlagene stochastische Modellierung demogra phischer Phanomene solI einerseits dem Bevolkerungsstatistiker den Zu gang zu den oft kniffligen Fragen der formal en Demographie auf einheit licher Basis exakter und damit auch eleganter gestalten. Es ist die An sicht des Autors, daa viele bevolkerungsstatistische Problemstellungen erst 1m Rahmen stochastischer Prozesse ihre adaquate Behandlung erfah ren. Zum anderen liefert ein hier zu leis tender statistischer tlberbau der Demographie didaktisch abgerundete Anwendungsbeispiele der rasch an Bedeutung gewinnenden Theorie der Zufallsprozesse. Das Vorhaben dieser Arbeit besteht darin, zu zeigen, daa die sto chastisch-dynamische Betrachtungsweise demographischer Vorgange nicht nur ein tragfahiges Fundament ftir die Vielfalt bevolkerungsmathema tischer Modelle abgeben kann, sondern auch die Behandlung neuartiger genuiner Fragenkomplexe gewahrleistet. Die Untersuchung gliedert sich in drei Teile. In der am Beginn stehenden Mikrotheorie fungieren als ProzeSzustande jene, die von demographischen Individuen angenommen werden konnen, also etwa der Familienstand einer Person. Hingegen wer den beim Zustandsbegriff der Makromodelle die Anzahlen von Individuen einer bestimmten Kategorie, beispielsweise einer gewissen Altersklasse, erfaBt."

Spis treści

1: Einführung.- 1. Zum mathematischen Modellbegriff.- 1.1. Allgemeine Erwägungen.- 1.2. Funktionen mathematischer Modelle.- 1.3. Die Problematik in der Bevölkerungswissenschaft.- 2. Stochastische Prozesse in der Demographie.- 2.1. Deterministische oder stochastische Analyse?.- 2.2. Grundlagen stochastischer Analysen.- 3. Motivierung von Aufbau und Darstellung.- 3.1. Vorhaben.- 3.2. Wahl der Darstellungsweise.- 3.2.1. Inhaltliche contra methodologische Darstellung.- 3.2.2. Heuristische Darstellungsweise.- 3.3. Klassifikation der Modelle.- 3.3.1. Mikro- und Makromodeile.- 3.3.2. Diskreter oder kontinuierlicher Zeitparameter?.- 3.3.3. Deterministische und stochastische Modelle.- 3.4. Gliederung.- 3.5. Der formale Rahmen.- 3.6. Bemerkungen zur Notation.- I: Mikromodelle.- und Überblick.- 2: Demographische Paradigmen Absorbierender Markoffketten.- 1. Demographische Phänomene.- 2. Dekrementmodelle.- 2.1. Modellbeschreibung.- 2.2. Modellanalyse.- 2.2.1. Die Verweildauer bis zur Absorption.- 2.2.1.1. Die Fundamentalmatrix der absorbierenden Kette.- 2.2.1.2. Die durchschnittliche Dauer bis zur Absorption.- 2.2.1.3. Ermittlung der Varianzen der Verweilzeiten.- 2.2.2. Die Wahrscheinlichkeit für eine Absorption.- 2.2.2.1. Absorptionsverhalten innerhalb eines Zeitraumes.- 2.2.2.2. Schließliche Absorptionswahrscheinlichkeiten.- 2.2.2.3. Bemerkungen über Anwendungsmöglichkeiten erzeugender Funktionen.- 2.2.3. Transformierte Prozesse.- 2.2.3.1. Ermittlung der transformierten Übergangswahrscheinlichkeiten.- 2.2.3.2. Die Fundamentalmatrix transformierter absorbierender Ketten.- 2.2.3.3. Erwartungswert und Varianz der Zeitspanne bis zur Absorption in einer Teilmenge von absorbierenden Zuständen.- 2.2.4. Der Spezialfall eines Ausscheiderisikos mit Verbleibsmöglichkeit.- 2.3. Modellinterpretationen.- 2.3.1. Altersprozeß.- 2.3.2. Erstheiratsmodelle.- 2.3.2.1. Nettoheiratsmodell.- 2.3.2.2. Bruttoheiratsmodell.- 2.3.3. Ehelösungsmodelle.- 2.3.3.1. Das Grundmodell.- 2.3.3.2. Allgemeines Ehedauermodell.- 2.3.3.3. Spezielles Ehedauermodell.- 2.3.4. Ein Wiederverheiratungsmodell.- 2.3.5. Zur Wirksamkeitsmessung kontrazeptiver Mittel.- 2.3.5.1. Die Unzulänglichkeit der PEARLschen Rate.- 2.3.5.2. Ein multiples Dekrementmodell.- 3. Mehrtypenmodelle.- 3.1. Das allgemeine Modell und einige Spezialfälle.- 3.1.1. Ein Mikromodell für multiple Tafeln.- 3.1.2. Streng hierarchische Typen.- 3.1.3. Annahmen über die Absorptionsmatrix.- 3.2. Einige Resultate im Matrizenformalismus.- 3.2.1. Die Fundamentalmatrix von Mehrtypenmodellen.- 3.2.1.1. Die Verweildauer bis zur Absorption.- 3.2.1.2. Die Fundamentalmatrix streng hierarchischer Mehrtypenprozesse.- 3.2.2. Schließliche Absorptionswahrscheinlichkeiten.- 3.2.3. Anwendungsmöglichkeiten transformierter absorbierender Ketten.- 3.2.3.1. Noch einmal: Transformierte Markoffsche Ketten.- 3.2.3.2. Über die Erreichbarkeit von Typen.- 3.2.3.3. Zur Ermittlung der altersspezifischen Typenquoten.- 3.3. Das hierarchische Zweitypenmodell.- 3.3.1. Intensitäten.- 3.3.2. Kalender.- 3.3.2.1. Die Zeitspanne bis zum erstmaligen Eintritt in den Typ 2.- 3.3.2.2. Die Anzahl der von einer (1,x)-Person im Typ 2 durchschnittlich verbrachten Jahre.- 3.4. Kombination von Dekrement- zu Mehrtypenmodellen.- 3.4.1. Die sektoralen Modelle.- 3.4.2. Der Zusammenbau zum Mehrtypenmodell.- 3.5. Illustration der Theorie.- 3.5.1. Zweitypenmodelle.- 3.5.1.1. Das reduzierte Familienstandsmodell.- 3.5.1.2. Ein Erwerbstätigkeitsmodell.- 3.5.1.3.Ein Kontrazeptionsmodell nach MASNICK & POTTER.- 3.5.2. Das verallgemeinerte Familienstandsmodell.- 4. Ein verwandtes Modell aus der Erziehungsplanung.- 4.1. Das Modell von THONSTAD.- 4.2. Modellimplikationen.- 4.2.1. Übergangswahrscheinlichkeiten.- 4.2.2. Durchschnittliche Verweilzeiten.- 4.2.3. Absorptionsverhalten.- 3: Konkurrierende Risken.- 1. Einführung.- 1.1. Interferenz demographischer Phänomene.- 1.2. Historisches.- 1.3. Überblick.- 2. Ein Zugang über die risikospezifischen Ausscheideintensitäten.- 2.1. Kontinuierliche Version des Dekrementmodells.- 2.1.1. Allgemeine Bemerkungen.- 2.1.2. Das Modell.- 2.1.3. Reine und rohe Wahrscheinlichkeiten.- 2.1.4. Der Zusammenhang zwischen Intensitäten und rohen Wahrscheinlichkeiten.- 2.1.5. Relationen zwischen rohen und reinen Wahrscheinlichkeiten.- 2.2. Herleitung der reinen aus den rohen Abgangswahrscheinlichkeiten.- 2.2.1. Die Annahme konstanter relativer Intensitäten.- 2.2.2. Die Linearitätsannahme für abhängige Wahrscheinlichkeiten.- 2.2.3. Eine weitere Approximation mittels der Binomialreihe.- 2.3. Zur Ermittlung der rohen aus den reinen Ausscheidewahrscheinlichkeiten.- 3. Zur Risikoausschaltung mittels transformierter Markoffketten.- 3.1. Die Elimination von Wahrscheinlichkeiten.- 3.1.1. Proportionale Aufteilung der Wahrscheinlichkeiten.- 3.1.2. Vergleichende Diskussion der Modelle zur Risikoelimination.- 3.1.3. Anwendung transformierter Ketten.- 3. 2. Ein retrospektives Modell.- 3.2.1. Ein transformiertes Markoffsches Mehrtypenmodell zur Messung reiner Wahrscheinlichkeiten.- 3.2.2. Retrospektive Betrachtungen.- 3.2.3. Ein retrospektives Modell für Erstheiraten.- 4: Reproduktionsmodelle.- 1. Einführung.- 2. Sektorale Fruchtbarkeitsmodelle.- 2.1. Paritätssektorale Prozesse.- 2.1.1. Die Fruchtbarkeit h-ten Ranges.- 2.1.2. Anwendungen der Dekrementtheorie.- 2.1.2.1. Kalender.- 2.1.2.2. Intensität.- 2.1.3. Zur Messung der reinen Fruchtbarkeit.- 2.2. Einbeziehung biologischer Gegebenheiten (Konzeptionsmodelle).- 2.2.1. Einleitende Bemerkungen.- 2.2.1.1.Biologische Erwägungen.- 2.2.1.2. Beschreibung und Probleme des Konzeptionsprozesses.- 2.2.1.3. Ein Klassifikationssystem.- 2.2.1.4. Historisches.- 2.2.2. Ein Konzeptionsmodell mit konstanter Schwangerschaftsdauer und einfachem Schwangerschaftsausgang.- 2.2.2.1. Ein reguläres Markoffkettenmodell.- 2.2.2.2. Verwendung erzeugender Funktionen.- 2.2.2.3. Formulierung als Erneuerungsprozeß.- 2.2.2.4. Vorschläge für, Verallgemeinerungen.- 2.2.3. Das Semi-Markoffmodell von SHEPS und PERRIN.- 2.2.3.1. Modellbeschreibung.- 2.2.3.2. Erstdurchlauf- und Wiederkehrzeiten.- 2.2.3.3. Anzahl der reproduktiven Ereignisse innerhalbeines Zeitraumes.- 2.2.3.4. Grenzverteilung der Zustände.- 2.2.3.5.Abschließende Betrachtungen.- 3. Globale Fertilitätsmodelle.- 3.1. Alters- und paritätsspezifische Fruchtbarkeitsmodelle.- 3.1.1. Modellspezifikation.- 3.1.2. Maßzahlen für die Intensität der Fruchtbarkeit.- 3.1.2.1. Paritätsabhängige Variable.- 3.1.2.2. Paritätsunabhängige Fertilitätsmaße.- 3.1.2.3. Illustration aus der amtlichen Statistik.- 3.1.3. Verweildauer und Wartezeiten.- 3.14. Einige Folgerungen.- 3.1.5. Ein reines Fertilitätsmodell.- 3.1.5.1. Folgerungen aus der Theorie konkurrierender Risken.- 3.1.5.2. Abriß der Modellanalyse.- 3.1.6. Retrospektive Fertilitätsanalyse.- 3.1.6.1. Ein Zusammenhang mit dem reinen Fruchtbarkeitsmodell.- 3.1.6.2. Einige Resultate.- 3.2. Das altersspezifische Globalmodell.- 3.3. Kritik am klassischen Gebrauch der Reproduktionsraten.- II: Demographische Tafeln.- und Überblick.- 5: Dekrement- und Mehrtypentafeln.- 1. Beschreibung und Aufbau multipler Dekrementtafeln.- 1.1. Einführung.- 1.2. Erklärung der Tafelfunktionen.- 1.3. Das stationäre Bevölkerungsmodell.- 2. Beispiele für Dekrementtafeln.- 2.1. Heiratstafeln.- 2.1.1. Netto-Heiratstafeln.- 2.1.2. Brutto-HeiratstafeIn.- 2.1.3. Uber den Zusammenhang zwischen Netto- und Bruttotafeln.- 2. 2. Weitere Tafeln mit mehrfachem Abgang.- 3. Mehrtypentafeln.- 3.1 Der formale Rahmen.- 3.1.1. Erklärung der Tafelfunktionen.- 3.1.2. Relationen zwischen den Tafelfunktionen.- 3.1.3. Bemerkung zur Schätzung den Wahrscheinlichkeiten.- 3.2. Anwendungsmöglichkeiten.- 3.2.1. Familienstandstafeln.- 3.2.1.1. Die reduzierte Familienstandstafel.- 3.2.1.2. Das allgemeine Familienstandsmodell.- 3.2.2. Erwerbstätigkeitstafeln.- 3.2.3. Weitere Beispiele für Mehrtypentafeln.- 4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Momente von Tafelfunktionen.- 4.1. Das zugrundeliegende stochastische Individualmodell.- 4.2. Verteilung der Anzahl der Überlebenden.- 4.3. Gemeinsame Verteilung der Anzahl der Abgänge.- 4.4. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der ursachenspezifischen Abgänge und der Anzahl der Überlebenden.- 4.5. Weitere Resultate über die gemischten zweiten Momente.- 4.6. Über die Typenquoten in Mehrtypenmodellen.- 6: Zur Statistischen Analyse Demographischer Tafeln.- 1. Abriß aus der statistischen Schätztheorie.- 1.1. Maximum Likelihood-Verfahren.- 1.1.1. Das ML-Prinzip.- 1.1.2. ML-Schätzungen bei endlichen Markoffketten.- 1.1.2.1. Der Fall einer Realisierung.- 1.1.2.2. Der Fall von n Realisierungen.- 1.1.3. Eine Invarianzeigenschaft.- 1.2. Suffizienz.- 1.2.1. Zur Definition erschöpfender Schätzfunktionen.- 1.2.2. Minimalsuffizienz.- 1.2.3. Gemeinsame Suffizienz.- 1.2.4. Anwendung auf Markoffsehe Ketten.- 1.3. Unverfälschte beste Schätzungen.- 2. Konstruktion von Schätzfunktionen.- 2.1. Markoffketten als stochastische Individualmodelle für Dekrementtafeln.- 2.2. Maximum Likelihood-Schätzungen für einjährige Verbleibsund Ausscheidewahrscheinlichkeiten.- 2.3. ML-Schätzungen der anderen Modellvariablen.- 2.4. ML-Schätzungen bei transformierten Ketten und konkurrierenden Risken.- 3. Die ersten Momente der Maximum Likelihood-Schätzungen gewisser Tafelparameter.- 3.1 Verbleibs- und Abgangswahrscheinlichkeiten.- 3.2. Fernere durchschnittliche Verweildauer.- 3.3. Über die Kovarianzen von ML-Schätzungen gewisser weiterer Dekrementparameter.- 3.4. Hinweise zur Schätzung reiner Wahrscheinlichkeiten.- 4. Optimumeigenschaften der Estimatoren.- 4.1. Gemeinsam suffiziente Statistiken für einjährige Verbleibs- und Ausscheidewahrscheinlichkeiten.- 4.2. Die minimale Varianz einjähriger Verbleibs- und Ausscheideanteile.- 5. Bemerkungen zum Testen von Hypothesen.- 6. Zur Schätzung von Mehrtypenmodellen.- III: Makromodelle.- und Überblick.- 7: Matrizemodelle der Bevölkerungsdynamik.- 1. Vom Individualmodell zur Makrotheorie.- 1.1. Ein Input/Output-Modell.- 1.2. Stationäre Bevölkerung.- 1.3. Stabile Bevölkerung.- 1.4. Das Schulflußmodell.- 2. Deterministische Matrizenmodelle.- 2.1. Die LESLIE-Matrix.- 2.1.1. Definitionen.- 2.1.2. Die linearen rekursiven Beziehungen.- 2.1.3. Aufspaltung der LESLIE-Matrix.- 2.2. Einige Ergebnisse aus der Matrizentheorie.- 2.3. Anwendungen auf das lineare rekursive Makromodell.- 2.4. Die Ermittlung der Eigenvektoren der LESLIE-Matrix.- 2.4.1. Die charakteristische Gleichung von A.- 2.4.2. Eigenvektoren von A.- 2.4.3. Eigenvektoren von L.- 2.5. Stabiler Altersaufbau und reproduktiver Wert.- 2.5.1. Interpretation des dominierenden Eigenwertes ?1.- 2.5.2. Der Rechtseigenvektor als stabile Altersverteilung.- 2.5.3. Der linke Eigenvektor von L.- 2.5.4. Ein mit der stabilen Bevölkerungstheorie verknüpftes Mikromodell.- 2.6. Zeitlich konstanter Wachstumsfaktor und G-eburtenrate.- 3. Das Modell von POLLARD.- 3.1. Problemstellung.- 3.2. Hilfssätze.- 3.2.1. Bedingte Momente.- 3.2.2. Momente bedingter Binomialverteilungen.- 3.3. Rekursionsformeln für die ersten und zweiten Momente von Nxt.- 4. Ein verallgemeinertes diskretes stochastisches Bevölkerungsmodell.- 4.1. Erweiterung des Modells.- 4.2. Weitere Hilfssätze.- 4.3. Relationen zwischen den Bestandsvariablen.- 4.4. Erwartungswerte.- 4.5. Die zweiten Momente.- 4.6. Spezialfälle.- 5. Das Kroneckerprodukt L x L der LESLIE-Matrix.- 5.1. Die Momentenrekursion in Matrizenform.- 5.2. Eigenwerte und -vektoren direkter Matrizenprodukte.- 5.3. Asymptotische Resultate.- 6. Mehrdimensionale Verzweigungsprozesse.- 6.1. Einführung.- 6.2. Momentrekursion für mehrdimensionale Galton-Watson-Prozesse.- 6.3. Darstellung der Kovarianzen-Rekursion mittels M.- 6.4. Quasi-positiv reguläre Galton-Watson-Prozesse.- 7. Multiple diskrete Bestandsmodelle.- 7.1. Zweigeschlechtliche Modelle.- 7.2. Stabile Familienstandsmodelle.- 8. Bevölkerungsvorausschätzungen.- 8.1. Bemerkungen zur Methodik bei demographischen Projektionen.- 8.1.1. Bedingte Prognosen.- 8.1.2.Zu den Vorausschätzungen des Statistischen Bundesamtes.- 8.1.3. Ausblick auf feinere Vorausschätzungsmethoden.- 8.2. Die Varianz von Bevölkerungsprojektionen.- 8: Zur Kontinuierlichen Analyse des Bevölkerung Swachstums.- 1. Zwei einfache Wachstumsmodelle.- 1.1. Exponentielles Wachstum.- 1.2. Logistisches Wachstum.- 2. Altersstruktur einer Bevölkerung.- 3. Die Erneuerungsgleichung der Bevölkerungsmathematik (LOTKAsche Integralgleichung).- 3.1. Herleitung der Integralgleichung und Lösung mittels Laplace — Transformation.- 3.2. Diskussion der charakteristischen Gleichung.- 3.3. Asymptotische Stabilität.- 4. Eigenschaften stabiler Bevölkerungen.- 4.1. Momente und Kumulanten der Netto-Matemitätsfunktion.- 4.2. Der Generationsabstand.- 4.3. Die Todesrate.- 4.4. Weitere Hinweise.- 5. Einflüsse von Änderungen der Vitalitätsraten auf den Altersaufbau und die Fruchtbarkeit einer Bevölkerung.- 5.1. Wahre Zuwachsrate und Durchschnittsalter.- 5.2. Konstante Änderung der Sterblichkeit.- 5.3. Interdependenz von Fruchtbarkeit und Zuwachsrate.- 5.4. Abschließende Bemerkungen.- 6.Ein Spezialfall.- 7. Hinweise auf stochastische Makromodelle.