Partielle Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783322002570 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 117 str.

Eberhard Wagner; Peter Meinhold

Opis

Die mathematische ModelIierung deterministischer Prozesse aus Physik und Tech nik, aber auch aus anderen Wissenschaftsgebieten, fuhrt sehr haufig auf Differential gleichungen. Der Grund hierfur liegt letztlich darin, dass oftmals die "Triebkrafte des Prozesses" durch raumliche und/oder zeitliche Anderungen der gesuchten Funk tionen beschrieben werden (man denke etwa als einfaches Beispiel an das Newtonsche Grundgesetz) und dass dadurch Ableitungen dieser Funktionen mit auftreten. Handelt es sich.. dabei um eine Differentialgleichung fur eine Funktion von mehreren Ver anderlichen, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen ist ausserordentlich umfangreich und erfordert fur tiefere Untersuchungen Methoden, die weit uber das Anliegen dieser Lehrbuchreihe hinausreichen. Dieser Band kann deshalb dem Leser nur einen einfuhrenden Einblick in einige typische AufgabensteIlungen und Losungsmethoden geben und damit einen Ausgangspunkt fur weitere Literaturstudien schaffen. Auf Systeme von partiellen Differentialgleichungen musste vollig verzichtet werden. Die partiellen Differentialgleichungen I. Ordnung werden im Kapitel 2 behandelt. Ihre Theorie ist gut ausgebaut. Ein wichtiges Ergebnis ist dabei - auch fur nicht lineare Gleichungen - die Ruckfuhrbarkeit auf gewohnliche Differentialgleichungs systeme. Von besonderer Bedeutung sind in den Anwendungen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Ihre Vielfalt und ihr unterschiedliches Verhalten erfordern sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht eine weitere Klassifikation. Diese Klassi fikation wird im Kapitel 3 fur gewisse fastlineare Gleichungen 2. Ordnung durch gefuhrt. Es folgen einige elementare Losungsmethoden fur lineare Gleichungen 2. Ordnung auf der Grundlage des Superpositionsprinz

Spis treści

1 Einführung.- 1.1 Beispiele partieller Differentialgleichungen.- 1.2 Grundbegriffe und Klassifikation.- 1.3 Einfache Sonderfälle.- 1.4 Problemstellung.- 2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Die verkürzte homogene lineare Gleichung.- 2.1.1 Begriff.- 2.1.2 Das charakteristische System.- 2.1.3 Fundamentalsystem und allgemeine Lösung.- 2.2 Die allgemeine lineare und quasilineare Differentialgleichung.- 2.3 Das Cauchysche Anfangswertproblem.- 2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 1Ordnung.- 3 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Cauchysches Problem und Normalformen im Fall n = 2.- 3.3 Partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3.4 Elementare Integrationsmethoden.- 3.4.1 Der Exponentialansatz.- 3.4.2 Der Produktansatz (Separationsverfahren).- 3.5 Konstruktion weiterer Lösungen für lineare homogene Differentialgleichungen.- 3.5.1 Zerlegung in Real- und Imaginärteil.- 3.5.2 Linearkombination von Lösungen.- 3.5.3 Reihen von Lösungen.- 3.5.4 Integration über freie Parameter.- 3.5.5 Einführung freier Parameter.- 3.5.6 Faltungsintegrale.- 4 Rand- und Anfangswertprobleme.- 4.1 Allgemeine Bemerkungen.- 4.2 Paraba,che Differentialgleichungen.- 4.2.1 Die Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.2 Spezialfälle.- 4.2.3 Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.4 Das 1. ARWP für einen endlich langen homogenen Stab.- 4.2.5 Lösung des homogenen linearen 1. ARWP.- 4.2.6 Das allgemeine lineare 1. ARWP der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.6.1 Homogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.6.2 Inhomogene Anfangs-, homogene Randbedingungen.- 4.2.6.3 Inhomogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.3 Hyperbolische Differentialgleichungen.- 4.3.1 Beispiele.- 4.3.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.3.3 Die eindimensionale Wellengleichung (Saitengleichung).- 4.3.3.1 Lösung nach der Methode von d’Alembert.- 4.3.3.2 Lösung nach der Fourierschen Methode.- 4.3.4 Die zweidimensionale Wellengleichung (Membrangleichung).- 4.3.5 Die dreidimensionale Wellengleichung.- 4.4 Elliptische Differentialgleichungen.- 4.4.1 Beispiele.- 4.4.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.4.3 Harmonische Funktionen bei Kugel- und Zylinderproblemen.- 4.4.4 Die Randwertaufgaben für Kreis und Kugel.- 5 Einführung in die Potentialtheorie.- 5.1 Potentiale.- 5.1.1 Das Newtonsche Potential.- 5.1.2 Das logarithmische Potential.- 5.2 Wichtige Eigenschaften harmonischer Funktionen.- 5.3 Die Greensche Funktion.- 6. Einiges zu nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.- 6.1. Allgemeine Bemerkungen.- 6.2 Elementare Lösungsmethoden.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachregister.