Gewöhnliche Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783815420430 / Niemiecki / Miękka / 1994 / 188 str.

Horst Wenzel; Peter Meinhold

Opis

Viele Prozesse und Erscheinungen in Physik, Technik und anderen Wissen schaftsgebieten lassen sich mathematisch durch Differentialgleichungen beschrei ben. Wi.ngen dabei die gesuchten Funktionen nur von einer unabhangigen Va riablen ab, spricht man von gewohnlichen Differentialgleichungen. Das Gebiet der gewohnlichen Differentialgleichungen ist sehr umfangreich. Die ser Band gibt eine Einfiihrung in die wichtigsten Losungsmethoden sowie in einige theoretische Grundlagen, wobei stets besonderer Wert auf die Anwen dungen gelegt wird. Durch die Darstellungsweise solI das folgerichtige mathe matische Denken geschult werden. Auf Beweise und Beweisskizzen wird nur dann eingegangen, wenn es fiir das Verstandnis erforderlich erscheint. Zunachst werden lineare Differentialgleichungen und lineare Differentialglei chungssysteme insbesondere mit jeweils konstanten Koeflizienten behande1t. Es folgen nichtlineare Differentialgleichungen und ein numerisches Verfahren. Schliefilich werden Potenzreihenansiitze mit Verallgemeinerungen erortert und Einblicke in die Theorie der Rand- und Eigenwertaufgaben sowie der dynami schen Systeme vermittelt. In der allgemeinen Theorie werden die gesuchten Funktionen durch y(x) oder Yl(X), Y2(X), ... bezeichnet. In den Beispielen und Aufgaben treten jedoch haufig auch andere Bezeichnungen auf - z. B. x(t),"

Spis treści

1 Einleitung.- 1.1 Grundbegriffe und erste Einteilung.- 1.1.1 Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 1.1.2 Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung.- 1.1.3 Lineare Differentialgleichungen und lineare Systeme.- 1.2 Besondere Aufgabenstellungen.- 1.2.1 Anfangswertaufgaben.- 1.2.2 Randwertaufgaben.- 1.2.3 Eigenwertaufgaben.- 1.3 Ziel weiterer Untersuchungen.- 2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 2.1 Lineare homogene Differentialgleichungen.- 2.1.1 Der Exponentialansatz.- 2.1.2 Übergang zur reellen Basis.- 2.1.3 Definition linearer Eigenwertaufgaben.- 2.2 Ansatzmethode zur Herstellung einer partikulären Lösung.- 3 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten.- 3.1 Lineare homogene Differentialgleichungssysteme.- 3.1.1 Der Exponentialansatz.- 3.1.2 Übergang zur reellen Basis.- 3.2 Ansatzmethode zur Herstellung einer partikulären Lösung.- 3.3 Variation der Konstanten.- 3.3.1 Angabe der Methode.- 3.3.2 Anwendung bei linearen Differentialgleichungen.- 3.3.3 Delta-Distribution.- 4 Eulersche Differentialgleichungen.- 5 Nichtlineare Differentialgleichungen.- 5.1 Geometrische Veranschaulichung.- 5.1.1 Differentialgleichungen erster Ordnung.- 5.1.2 Differentialgleichungssysteme.- 5.2 Existenz und Unität der Lösungen von Anfangswertaufgaben.- 5.2.1 Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung.- 5.2.2 Lösung von Differentialgleichungssystemen.- 5.2.3 Lösung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 5.3 Trennung der Veränderlichen.- 5.3.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Veränderlichen.- 5.3.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten.- 5.3.3 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung.- 5.3.4 Bernoullische Differentialgleichung.- 5.4 Exakte Differentialgleichungen.- 5.4.1 Definition und Lösung.- 5.4.2 Integrierender Faktor.- 5.5 Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 5.5.1 Die Differentialgleichung y? = f (x).- 5.5.2 Die Differentialgleichung y? = f(y), Energiemethode.- 5.5.3 Die Differentialgleichung y? = (x, y´).- 5.5.4 Die Differentialgleichung y? = f(y, y´).- 6 Das Runge-Kutta-Verfahren.- 6.1 Aufgabe für numerische Verfahren.- 6.2 Ausgangsformel für Näherungsverfahren.- 6.3 Herleitung des Runge-Kutta-Verfahrens.- 6.4 Gütediskussion.- 6.5 Rechenschema.- 6.6 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme.- 7 Potenzreihenansätze und Verallgemeinerungen.- 7.1 Potenzreihenentwicklung der Lösung.- 7.1.1 Koeffizientenberechnung.- 7.1.2 Existenz- und Unitätssatz im allgemeinen Fall.- 7.1.3 Existenz- und Unitätssatz im linearen Fall.- 7.1.4 Eine Anwendung: Die Legendreschen Funktionen.- 7.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze.- 7.2.1 Stellen der Bestimmtheit.- 7.2.2 Berechnung eines Basiselementes.- 7.2.3 Berechnung eines zweiten Basiselementes.- 8 Rand- und Eigenwertaufgaben.- 8.1 Lineare Randwertaufgaben.- 8.1.1 Zum Lösungsverhalten; der Alternativsatz.- 8.1.2 Halbhomogene Aufgaben und die Greensche Funktion.- 8.1.3 Sturmsche Randwertaufgaben.- 8.1.4 Numerische Verfahren.- 8.2 Lineare Eigenwertaufgaben.- 8.2.1 Aufgabenstellung und wichtige Grundbegriffe.- 8.2.2 Vergleichsfunktionen und Skalarprodukte.- 8.2.3 Hermitesche Differentialoperatoren.- 8.2.4 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgaben.- 9 Einführendes über dynamische Systeme.- 9.1 Einige Grundbegriffe.- 9.2 Autonome Systeme zweiter Ordnung.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.