Funktionalanalysis

ISBN-13: 9783815420812 / Niemiecki / Miękka / 1994 / 138 str.

Alfred Gopfert; Thomas Riedrich

Spis treści

1. Einführendes zur Anwendung der Funktionalanalysis.- 1.1. Allgemeine Grundbegriffe.- 1.2. Einführende Anwendungsbeispiele der Funktionalanalysis.- 1.2.1. Ein Approximationsproblem.- 1.2.2. Mathematische Beschreibung eines Stoßvorgangs.- 1.2.3. Hamilton-Funktion und Hermitesche Differentialgleichung beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator.- 1.2.4. Ein volkswirtschaftliches Verflechtungsmodell als Fixpunktproblem.- 1.2.5. Zeitoptimale Steuerung einer erzwungenen gedämpften Schwingung.- 1.3. Meßbare Funktionen, Lebesgue-Integral.- 2. Räume.- 2.1. Vollständige metrische Räume, Banachräume.- 2.1.1. Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen. Abgeschlossene und offene Mengen Vollständigkeit und Kompaktheit.- 2.1.2. Banachräume.- 2.2. Funktionenräume.- 2.2.1. Räume stetiger und stetig differenzierbarer Funktionen.- 2.2.2. Räume integrierbarer Funktionen (Lebesgue-Räume).- 2.2.3. Sobolew-Räume.- 2.2.4. Folgenräume.- 2.3. Lineare Funktionale, schwache Konvergenz, dualer Raum.- 2.3.1. Lineare Funktionale.- 2.3.2. Dualer Raum.- 2.3.3. Fortsetzung stetiger linearer Funktionale. Satz von Hahn und Banach. Trennungssätze.- 2.3.4. Schwache Konvergenz.- 2.4. Hilberträume, Orthogonalentwicklungen.- 2.4.1. Grundbegriffe, Beispiele.- 2.4.2. Orthogonalentwicklungen.- 2.4.3. Orthogonales Komplement, orthogonale direkte Summe.- 3. Lineare Operatoren.- 3.1. Das Rechnen mit linearen Operatoren.- 3.2. Beschränkte lineare Operatoren in Banachräumen.- 3.2.1. Spektrum und Resolvente.- 3.2.2. Vollstetige lineare Operatoren.- 3.2.3. Duale Operatoren.- 3.2.4. Fredholmsche Alternative.- 3.3. Lineare Operatoren in Hilberträumen.- 3.3.1. Grundlegende Begriffe, Sätze und Beispiele.- 3.3.1.1. Einführende Beispiele.- 3.3.1.2. Die Matrixdarstellung eines linearen Operators.- 3.3.1.3. Der adjungierte Operator eines beschränkten Operators im Hilbertraum.- 3.3.1.4. Der adjungierte Operator eines unbeschränkten Operators im Hilbertraum.- 3.3.2. Vollstetige selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum.- 3.3.3. Konstruktive Verzweigungstheorie.- 4. Ausgewählte Anwendungen.- 4.1. Distributionen.- 4.1.1. Distributionen als lineare stetige Funktionale.- 4.1.2. Rechenregeln und Anwendungen.- 4.2. Differentialrechnung und Anwendungen.- 4.2.1. Ableitungsbegriffe.- 4.2.2. Bifurkationen (Verzweigungen).- 4.3. Ekelandsches Variationsprinzip.- 4.4. Fixpunktsätze.- 4.4.1. Gleichgewichtspunkte und Fixpunkte in Ökonomie und Spieltheorie.- 4.4.2. Banachscher Fixpunktsatz und zugehöriges Iterationsverfahren.- 5. Unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen.- 5.1. Halbbeschränkte Operatoren in Hilberträumen.- 5.1.1. Der Satz von Friedrichs.- 5.1.2. Der Fortsetzungsprozeß.- 5.1.3. Einige Operatoren der Quantenmechanik.- 5.1.4. Instationäre Zustände und Schrödinger-Gleichung.- 5.1.5. Beziehungen zur quantenmechanischen Streuung. Unschärferelation.- 5.1.6. Fortsetzung elliptischer Differentialoperatoren.- 5.2. Spektralzerlegung selbstadjungierter Operatoren in Hilberträumen.- 5.2.1. Vollstetige Operatoren.- 5.2.2. Selbstadjungierte Operatoren in Hilberträumen.- 5.2.3. Anwendungen auf die Quantenmechanik.- 5.2.4. Eigendifferentiale.- 5.3. Lösungsverfahren für Operatorgleichungen und Extremalaufgaben.- 5.3.1. Ritz-Verfahren.- 5.3.2. Newton-Verfahren.- 5.3.2.1. Grundlagen.- 5.3.2.2. Beispiel.- Literatur.- Register.