Einführung in Die Harmonische Analyse

ISBN-13: 9783519022206 / Niemiecki / Miękka / 1980 / 301 str.

Walter Schempp; Bernd Dreseler; Walter Schempp

Opis

Es bezeichne Si die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 und 2 L (Si) den zum Lebesgue-Mass konstruierten komplexen Hilbert-Raum uber Si. 2 Jedem Punkt SES ist ein Translationsoperator y(s) von L (Sl) in sich zugeordnet, l 2 welcher E L (Si) in z - (S-l z) uberfuhrt. Die Abbildung S - y (s) ist eine Darstellung der Gruppe Si. Betrachtet man die jedem E U (S 1) zugeordnete F ourier- Reihe L C zn, so erhalt man eine Zerlegung von U(Sl) in die eindimensionalen n neZ Untervektorraume (Hn)nez, die aus allen komplexen Vielfachen der Funktionen z - z" bestehen. Auf jedem der Raume (Hn)nez operieren die linearen Abbildungen (y(s)seSI irreduzibel. Das Entwickeln in Fourier-Reihen kann demnach als Zerlegen der Darstellung y in irreduzible Teildarstellungen aufgefasst werden. Diese zunachst ungewohnte Sicht der Fourier-Reihen hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Nach heutiger Erkenntnis besteht das Hauptproblem der harmonischen Analyse in der Zerlegung linearer Gruppendarstellungen in "elementare" Teildarstellungen. Mit Hilfe dieser Abstraktion erhalt die Theorie der Fourier-Reihen, der Fourier-Integrale und der Entwicklungen nach einer grossen Klasse spezieller Funktionen einen gemeinsamen Rahmen. Zugleich wird deutlich, warum die Theorie der Fourier-Reihen aus dieser Sicht von relativ elementarem Charakter ist: Die Kommutativitat der Gruppe Si impliziert die Eindimensionalitat der Vektorraume (Hn)nez. Das vorliegende Buch soll in die harmonische Analyse unter Betonung des gruppentheoretischen Standpunktes einfuhr

Spis treści

Erster Teil.- I Harmonische Analyse auf der n-dimensionalen Torusgruppe Tn.- 1 Periodische Funktionen.- 2 Trigonometrische Polynome.- 3 Fourier-Reihen.- 4 Die Banach-Algebra L1(Tn).- 5 Fourier-Reihen differenzierbarer Funktionen.- 6 Der Satz von Charshiladze-Lozinski.- 7 Approximative Einheiten auf Tn.- 8 Periodische Distributionen.- 9 Die Banach-Algebra 𝓜 (Tn).- 10 Anwendungen.- 11 Ergänzungen und Bemerkungen.- II Harmonische Analyse auf dem n-dimensionalen reellen euklidischen Raum Rn.- 1 L1-Theorie der Fourier-Transformation.- 2 Rasch abklingende Funktionen.- 3 Funktionen von positivem Typ.- 4 Radiale Funktionen.- 5 Poisson-Formeln.- 6 Faltungskerne.- 7 Anwendungen.- 8 Ergänzungen und Bemerkungen.- Zweiter Teil.- III Das Haar-Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen.- 1 Die Existenz des Haar-Maßes.- 2 Die Unität des Haar-Maßes.- 3 Integration auf homogenen Mannigfaltigkeiten.- 4 Die Faltung.- 5 Ergänzungen und Bemerkungen.- IV Harmonische Analyse auf kompakten topologischen Gruppen.- 1 Der Satz von Peter-Weyl.- 2 Charaktere kompakter topologischer Gruppen.- 3 Die Fourier-Transformation auf kompakten Gruppen.- 4 Elementare Theorie der linearen Lie-Gruppen.- 5 Die spezielle unitäre Gruppe SU (2, C).- 6 Ergänzungen und Bemerkungen.- V Harmonische Analyse und Gelfand-Paare.- 1 Kompakte Gelfand-Paare.- 2 Die Paare (SO (n, R), SO (n-1, R)), n ? 3, und (U (n, C), U (n-1, C)), n ? 2.- 3 Gelfand-Paare.- 4 Die sphärische Fourier-Transformation.- 5 Harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen.- 6 Ergänzungen und Bemerkungen.- Weiterführende Literatur.- Verzeichnis der Symbole.- Namen- und Sachverzeichnis.