Differentialrechnung Für Funktionen Mit Mehreren Variablen

ISBN-13: 9783815420416 / Niemiecki / Miękka / 1993 / 198 str.

Klaus Harbarth; Thomas Riedrich; Winfried Schirotzek

Spis treści

1 Elemente der Theorie der Punktmengen.- 1.1 Der Euklidische Raum ?n.- 1.2 Mengen in ?n.- 1.3 Konvergenz in ?n.- 2 Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler.- 2.1 Der Begriff der reellen Funktion mehrerer unabhängiger Variabler.- 2.2 Der Begriff der Vektorfunktion mehrerer unabhängiger Variabler.- 2.3 Krummlinige Koordinaten in ?2.- 2.4 Krummlinige Koordinaten in ?3.- 2.5 Grenzwerte von Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler.- 2.6 Stetigkeit von Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler.- 2.7 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 2.8 Parameterdarstellung von Kurven und Flächen.- 3 Ableitungen.- 3.1 Partielle Ableitungen.- 3.1.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung.- 3.1.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 3.2 Totale Differenzierbarkeit reeller Funktionen.- 3.2.1 Der Begriff der totalen Differenzierbarkeit.- 3.2.2 Ableitung und Gradient.- 3.2.3 Der Mittelwertsatz für Funktionen mehrerer Variabler.- 3.3 Anwendungen des totalen Differentials in der Fehlerrechnung.- 3.4 Differentiale höherer Ordnung.- 3.5 Totale Differenzierbarkeit von Vektorfunktionen.- 3.6 Die verallgemeinerte Kettenregel.- 3.7 Implizite Funktionen, implizite Differentiation.- 3.7.1 Implizit definierte Funktionen einer Variablen.- 3.7.2 Implizite Differentiation implizit definierter Funktionen einer Variablen.- 3.7.3 Implizite Funktionen von mehreren Variablen.- 3.7.4 Die Differentiation implizit definierter Funktionen mehrerer Variabler.- 3.7.5 Isolierte einfach-singuläre Punkte.- 3.8 Die Funktionaldeterminante eines Funktionensystems.- 3.8.1 Definition der Funktionaldeterminante Satz von der lokalen Umkehrbarkeit.- 3.8.2 Der Multiplikationssatz für Funktionaldeterminanten.- 3.8.3 Die Transformation von Differentialausdrücken bei der Transformation der unabhängigen Variablen.- 3.8.3.1 Transformation auf ebene Polarkoordinaten.- 3.8.3.2 Transformation auf Zylinderkoordinaten.- 3.8.3.3 Transformation auf Kugelkoordinaten.- 4 Der Satz von Taylor und Extremwertaufgaben.- 4.1 Die Taylorformel für Funktionen zweier Variabler.- 4.2 Extremwertaufgaben.- 4.2.1 Notwendige Bedingungen für Extremwerte.- 4.2.2 Hinreichende Bedingungen für Extremwerte.- 4.2.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen.- 4.2.4 Hinreichende Bedingungen für das Vorliegen relativer Extremwerte für Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen.- 4.2.5 Beispiele für Extremwertaufgaben.- 4.2.5.1 Standortproblem, Steiner-Weber-Problem.- 4.2.5.2 Kritische Punkte des elektrischen Feldes.- 4.2.5.3 Ein geometrisches Beispiel.- 4.3 Die Methode der kleinsten Quadrate.- 4.4 Das Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.- 5 Skalare Felder und Vektorfelder.- 5.1 Allgemeine Betrachtungen zum Feldbegriff.- 5.2 Die Differentialoperatoren der Vektoranalysis.- 5.2.1 Richtungsableitung und Gradient.- 5.2.2 Divergenz.- 5.2.3 Rotation.- 5.2.4 Der Vektordifferentialoperator ?. Rechenregeln für die Operatoren grad; div; rot.- 5.2.5 Differentialoperatoren zweiter Ordnung.- 5.2.6 Differentialoperatoren der Vektoranalysis in orthogonalen (krummlinigen) Koordinaten.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.