Algebraische Topologie: Homologie Und Mannigfaltigkeiten

ISBN-13: 9783528032180 / Niemiecki / Miękka / 2005 / 266 str.

Wolfgang Luck

Opis

Dieses Buch behandelt und verbindet zwei Themen, (Ko-) Homologie und (Analysis auf) Mannigfaltigkeiten. In den erst en acht Kapiteln wird der Begriff der Homologie und Kohomologie stu diert. Homologie wird axiomatisch im Kapitel 1 eingefuhrt und die singulare Homologie in Kapitel 2 konstruiert. 1m Kapitel 3 werden CW-Komplexe definiert und beschrieben, wie man mit Hilfe des zellularen Kettenkomplexes Homologie berechnen kann. Die Euler Charakteristik und die Lefschetz-Zahl, die nach Ansicht des Autors besonders schone ele mentare Invarianten der algebraischen Topologie sind, werden im Kapitel 4 vorgestellt. Nachdem im Kapitel 5 Kohomologie eingefuhrt worden ist, werden in Kapitel 6 Grund lagen der homologischen Algebra mit universellen Koeffiziententheoremen als Ziel und im Kapitel 7 Produkte erklart. In Kapitel 8 wird als Hohepunkt die Poincare-Dualitat diskutiert und bewiesen. In den verbleibenden sieben Kapiteln werden glatte Mannigfaltigkeiten und die Ana lysis auf ihnen behandelt. In Kapitel 9 wird der Begriff einer glatten Mannigfaltigkeit und ihres Tangentialbundels erlautert. Nachdem im KapitellO einige Begriffe aus der linearen Algebra zusammengestellt worden sind, wird in Kapitel 11 die parametrisierte Version davon prasentiert, d.h. Vektorraumbundel werden eingefiihrt. In Kapitel 12 werden Dif ferentialformen erklart. Kapitel 13 ist dem Satz von Stokes gewidmet. In Kapitel 14 wird die de Rham-Kohomologie studiert. 1m Kapitel 15 wird als Hohepunkt der Satz von de Rham bewiesen, dass die de Rham-Kohomologie und die singulare Kohomologie mit reellen Koeffizienten isomorph sind. Das liefert einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der algebraischen Topologie und der Analysis auf Mannigfaltigkeiten."

Spis treści

Homologie - Singuläre Homologie - CW-Komplexe - Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen - Kohomologie - Homologische Algebra - Produkte - Dualität - Glatte Mannigfaltigkeiten und ihr Tangentialbündel - Elementare Lineare Algebra - Parametrisierte Lineare Algebra - Differentialformen - Der Satz von Stokes - De Rham Kohomologie - Der Satz von de Rham

O autorze

Wolfgang Lück ist Professor am Fachbereich Mathematik und Informatik an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster.

Blurb

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln 9 bis 13 werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.