The invention of ideals by Dedekind in the 1870s was well ahead of its time, and proved to be the genesis of what today we would call algebraic number theory. His memoir "Sur la Theorie des Nombres Entiers Algebriques" first appeared in installments in the Bulletin des sciences mathematiques in 1877. This book is a translation of that work by John Stillwell, who adds a detailed introduction giving historical background and who outlines the mathematical obstructions that Dedekind was striving to overcome. Dedekind's memoir offers a candid account of the development of an elegant theory and...

The nineteenth century saw the paradoxes and obscurities of eighteenth-century calculus gradually replaced by the exact theorems and statements of rigorous analysis. It became clear that all analysis could be deduced from the properties of the real numbers. But what are the real numbers and why do they have the properties we claim they do? In this charming and influential book, Richard Dedekind (1831 1916), Professor at the Technische Hochschule in Braunschweig, showed how to resolve this problem starting from elementary ideas. His method of constructing the reals from the rationals (the...

The nineteenth century saw the paradoxes and obscurities of eighteenth-century calculus gradually replaced by the exact theorems and statements of rigorous analysis. It became clear that all analysis could be deduced from the properties of the real numbers. But what are the real numbers and why do they have the properties we claim they do? In this charming and influential book, Richard Dedekind (1831 1916), Professor at the Technische Hochschule in Braunschweig, showed how to resolve this problem starting from elementary ideas. His method of constructing the reals from the rationals (the...

Great mathematicians write for the future and Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 66) was one of the greatest mathematicians of all time. Edited by Heinrich Martin Weber, with assistance from Richard Dedekind, this edition of his collected works in German first appeared in 1876. Riemann's interests ranged from pure mathematics to mathematical physics. He wrote a short paper on number theory which provided the key to the prime number theorem, and his zeta hypothesis has given mathematicians the most famous of today's unsolved problems. Moreover, his famous 1854 lecture 'On the hypotheses...

Zur Rechtfertigung dieser Edition von Dedekinds beruhmtem elften Supplement zu Dirichlets "Vorlesungen uber Zahlentheorie" kann ich keine besseren Worte finden als die von Dedekind selbst am Schluss seines Vorworts zur zweiten Auflage dieser "V orlesungen" (1871): "Endlich habe ich mich bemuht, uberall, wo es mir moglich war, auf die Quellen zu verweisen, um den Leser zum Studium der Original werke zu veranlassen und in ihm ein Bild von den Fortschritten der Wissenschaft zu erwecken, deren ebenso tiefe wie erhabene Wahrheiten einen Schatz bilden, welcher die unvergangliche Frucht eines...

1. VORSTELLUNG DES ZAHLENGEBIETES Wir konnen jede ganze Zahl bildlich oder geometrisch darstellen. Nehmen wir zum Beispiel eine Linie von beliebiger Lange an, und auf derselben einen Punkt o. So konnen wir die Zahl eins so darstellen, indem wir eine beliebige konstante Lange auf dieser vom Nullpunkt aus nach rechts auftragen. Dieses Stuck reprasen tirt uns also die Zahl eins. Wollen wir die Zahl 2 geometrisch darstellen, so wissen wir, dass 2 = 1 + 1 ist. Wir haben also nur die Einheit zweimal vom Nullpunkt aus aufzutragen, oder von 1 aus noch einmal und erhalten das geometrische Bild der...

Die Zahlen sind freie Schopfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und scharfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen." Der deutsche Mathematiker Richard Dedekind (1831 - 1916) zeigt in seinem Werk "Was sind und was sollen die Zahlen?" den Umgang mit denselben. Der Verlag der...