Grundlagen Der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen

ISBN-13: 9783322002938 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 191 str.

Norbert Sieber; Hans-Jurgen Sebastian; Gunter Zeidler

Opis

6.1.1. Auswahl-und Anordnungsprobleme Die Aufgaben der Kombinatorik lassen sich von Auswahl- oder Anordnungs problemen herleiten. Bei vielen praktischen und mathematischen Problemen ist die Kenntnis der Anzahl verschiedener Zusammenstellungen von ausgewahlten Ele menten einer endlichen Menge wichtig. Diese Elemente konnen Zahlen, Buchstaben, Personen, Gegenstande, Versuche, Ereignisse u. a. sein. Wir werden sie in der Regel mit a1' a2' ..., an bezeichnen. Dabei wird zu beachten sein, dass verschiedene Elemente auch durch verschiedene Bezeichnungen und gleiche Elemente immer durch ein und dieselbe Bezeichnung dar gestellt werden. Zwei Zusammenstellungen sind grundsatzlich verschieden, wenn sie nicht die gleiche Anzahl von Elementen enthalten oder wenn in ihnen nicht genau die gleichen Elemente auftreten. Zum Beispiel sind die Zusammenstellungen a a2 a3 1 und a1 a3 bzw. a1 a2 a3 und a1 a2 a4 jeweils voneinander verschieden. Im folgenden sollen die sechs Grundaufgaben erlautert werden, auf die sich alle Probleme der Kombinatorik im wesentlichen zuruckfuhren lassen. Bei einer ersten einfachen Aufgabe betrachten wir eine bestimmte Zusammen stellung samtlicher n Elemente der Ausgangsmenge. Darin soll jedes Element nur einmal auftreten. Eine solche Zusammenstellung wird eine Permutation genannt

Spis treści

1. Zum Anliegen des Bandes.- 2. Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehungen zur Praxis.- 2.1. Aus der Entwickluhgsgeschichte der Mathematik.- 2.2. Zu den Anwendungen der Mathematik.- 3. Logik.- 3.1. Aussagen.- 3.2. Variable und Aussageformen.- 3.3. Aussagenverbindungen.- 3.3.1. Elementare Aussagenverbindungen, n-stellige Aussagenverbindungen.- 3.3.2. Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen.- 3.3.3. Wahrheitstabellen n-stelliger (n dayu 2) Aussagenverbindungen.- 3.3.4. Verbindungen von Aussageformen.- 3.4. Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung.- 3.4.1. Logische Zeichen.- 3.4.2. Technische Realisierung der logischen Zeichen.- 4. Einige Beweisprinzipien.- 4.1. Logische Schlüsse.- 4.1.1. Tautologien.- 4.1.2. Logische Schlußfiguren.- 4.2. Beispiele zur Anwendung logischer Schlüsse beim Führen von Beweisen.- 4.2.1. Zur Anwendung der Abtrennungsregel.- 4.2.2. Direktes und indirektes Beweisen.- 4.2.3. Schluß auf eine Äquivalenz.- 4.3. Die Methode der vollständigen Induktion.- 5. Aufbau der Zahlenbereiche.- 5.1. Der Bereich der reellen Zahlen.- 5.1.1. Natürliche Zahlen.- 5.1.2. Rationale Zahlen, Grundgesetze der Arithmetik.- 5.1.3. Reelle Zahlen.- 5.1.4. Zahlendarstellung.- 5.2. Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen.- 5.2.1. Ungleichungen e.- 5.2.2. Absoluter Betrag.- 5.3. Komplexe Zahlen.- 5.3.1. Rein imaginäre Zahlen.- 5.3.2. Komplexe Zahlen.- 5.3.3. Veranschaulichung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Trigonometrische und exponentielle Darstellung der komplexen Zahlen.- 5.3.4. Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren von komplexen Zahlen.- 6. Kombinatorik.- 6.1. Einführung.- 6.1.1. Auswahl- und Anordnungsprobleme.- 6.1.2. Gebrauch des Summen- und Produktzeichens.- 6.2. Permutationen.- 6.2.1. Permutationen ohne Wiederholung.- 6.2.2. Permutationen mit Wiederholung.- 6.3. Variationen.- 6.3.1. Variationen ohne Wiederholung.- 6.3.2. Variationen mit Wiederholung.- 6.4. Kombinationen.- 6.4.1. Kombinationen ohne Wiederholung.- 6.4.2. Binomialkoeffizient und binomischer Lehrsatz.- 6.4.3. Kombinationen mit Wiederholung.- 6.5. Übersicht zu den Grundaufgaben der Kombinatorik.- 7. Mengen.- 7.1. Zum Begriff der Menge.- 7.2. Spezielle Mengen.- 7.2.1. Teilmengen, leere Menge.- 7.2.2. Potenzmenge.- 7.2.3. Komplementärmenge.- 7.3. Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen.- 7.3.1. Vereinigungsmenge.- 7.3.2. Durchschnittsmenge.- 7.3.3. Differenzmenge.- 7.3.4. Rechenregeln für die Verknüpfungen Vereinigung, Durchschnitt, Komplement.- 7.4. Über Mächtigkeit von Mengen.- 7.4.1. Gleichmächtige Mengen.- 7.4.2. Abzählbare Mengen.- 7.4.3. Nicht abzählbare Mengen.- 7.4.4. Beispiel für die Begriffe Vereinigung, Durchschnitt, Komplement und Mächtigkeit.- 7.5. Produktmengen.- 7.5.1. Geordnete Paare und geordnete n-Tupel.- 7.5.2. Produktmengen.- 7.6. Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge (System).- 7.7. Operationen zwischen den Elementen einer Menge (linearer Raum).- 7.8. Metriken in Mengen (metrischer Raum, Umgebungsbegriff).- 7.9. Weitere Anwendungen (Graphen, konvexe Polyeder).- 7.9.1. Graphen.- 7.9.2. Konvexe Polyeder.- 8. Abbildungen.- 8.1. Abbildungsbegriff.- 8.2. Lineare Abbildungen.- 8.3. Umkehrabbildung.- 8.4. Einige spezielle Abbildungen.- 9. Funktionen reeller Variabler.- 9.1. Begriff der Funktion und Arten ihrer Vorgabe.- 9.2. Umkehrfunktion (für eine unabhängige Variable).- 9.3. Einfachste Eigenschaften von Funktionen.- 9.4. Grundfunktionen einer Variablen.- 9.5. Mittelbare und elementare Funktionen.- 9.6. Interpolation (Newton).- 9.7. Darstellung von Funktionen mittels Parameter.- 9.8. Anwendungen von Funktionen.- 9.9. Funktionsleitern und Netze.- 10. Zahlenfolgen.- 10.1. Zahlenfolgen als Spezialfall von Abbildungen und einige ihrer besonderen Vertreter.- 10.2. Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen.- 10.3. Nullfolgen und ihr Vergleich.- 10.4. Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen.- 10.5. Eigenschaften von und Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen.- 10.6. Konvergenzkriterien.- 10.7. Einige spezielle Zahlenfolgen.- 10.8. Häufungspunkte und lim sup sowie lim inf.- 10.9. Bedeutung von Zahlenfolgen und Grenzwert für die numerische Mathematik.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachregister.