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Beiträge zur Selbstaffinität konvexer Polygone
ISBN-13: 9783639490442 / Niemiecki / Miękka / 2014 / 52 str.
Ein konvexes Polygon P ist k-selbstaffin (bzw. k-selbstahnlich), wenn es in k >= 2 Polygone zerlegt werden kann, die affingleich (bzw. ahnlich) zu P sind. Es ist bewiesen, dass P dann nur hochstens funf Ecken besitzen kann. Dabei ist bekannt, dass jedes Dreieck selbstahnlich und jedes konvexe Viereck selbstaffin ist. Weiterhin wei man, dass einerseits ein selbstaffines konvexes Funfeck existiert, aber andererseits das regulare Funfeck nicht selbstaffin ist. In dieser Arbeit wird nun zunachst gezeigt, dass jedes Funfeck, dessen Innenwinkelgroen alle 108 betragen, nicht selbstaffin ist. Daraufhin werden Uberlegungen dargestellt, dass ein Funfeck ebenfalls nicht selbstaffin ist, wenn die Innenwinkelgroen leicht von 108 abweichen. Desweiteren besteht die Vermutung, dass kein selbstahnliches konvexes Funfeck existiert. Die Innenwinkelgroen, die ein solches haben musste, sind bereits be- kannt. Ebenfalls ist die Reihenfolge der Winkel bewiesen, jedoch bleiben dabei zwei mogliche Orientierungen ubrig. Es wird gezeigt, dass die Funfecke, in die das ursprungliche Funfeck zerlegt ist, nicht alle gleichorientiert sein konnen.
Ein konvexes Polygon P ist k-selbstaffin (bzw. k-selbstähnlich), wenn es in k ≥ 2 Polygone zerlegt werden kann, die affingleich (bzw. ähnlich) zu P sind. Es ist bewiesen, dass P dann nur höchstens fünf Ecken besitzen kann. Dabei ist bekannt, dass jedes Dreieck selbstähnlich und jedes konvexe Viereck selbstaffin ist. Weiterhin weiß man, dass einerseits ein selbstaffines konvexes Fünfeck existiert, aber andererseits das reguläre Fünfeck nicht selbstaffin ist. In dieser Arbeit wird nun zunächst gezeigt, dass jedes Fünfeck, dessen Innenwinkelgrößen alle 108° betragen, nicht selbstaffin ist. Daraufhin werden Überlegungen dargestellt, dass ein Fünfeck ebenfalls nicht selbstaffin ist, wenn die Innenwinkelgrößen leicht von 108° abweichen. Desweiteren besteht die Vermutung, dass kein selbstähnliches konvexes Fünfeck existiert. Die Innenwinkelgrößen, die ein solches haben müsste, sind bereits be- kannt. Ebenfalls ist die Reihenfolge der Winkel bewiesen, jedoch bleiben dabei zwei mögliche Orientierungen übrig. Es wird gezeigt, dass die Fünfecke, in die das ursprüngliche Fünfeck zerlegt ist, nicht alle gleichorientiert sein können.
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