Zufallsprozesse in Dynamischen Systemen

ISBN-13: 9783642807404 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 352 str.

W. G. Schneeweiss

Opis

Zufa11sprozesse (stochastische Prozesse) dienen der Beschreibung und Erforschung des Ablaufs jeglicher Art von nicht genau vorhersag baren Schwankungserscheinungen. Dabei sind nicht - wie gelegentlich behauptet wird - regellose Vorgange gemeint, sondern solche, die sta tistischen Gesetzen gehorchen. Dieses Buch sol1 nun dazu beitragen, die auf dem Gebiet der Zufalls prozesse besonders tiefe Kluft zwischen einer ungewohnlich abstrakten mathematischen Theorie und einer oftmals allzu naiven Praxis zu iiber briicken; d. h. es sol1 fUr den Praktiker, insbesondere den Nicht-Mathe matiker ein theoretisches Hilfsmittel sein. Das Hauptgewicht liegt dem gemafl auf einer moglichst anschaulichen Darste11ung der Grundbegriffe und weniger auf mathematischen Feinheiten, die den Einsatz der Mafl theorie erfordern, oder auf moglichst a11gemeinen Beweisen. Einfache konstruktive Beweise fUr die wichtigsten Spezialfa11e (meist die Gauss prozesse) werden jedoch reichlich gebracht. Dieses Buch versucht eine erste EinfUhrung in die Behandlung moglichst vieler praktisch interessanter Klassen von Zufa11sprozessen und deren Transformationen durch dynamische Systeme zu geben. Eingeschlossen sind die sogenannten Punktprozesse, bei denen man sich fUr die Zeit punkte des Eintretens gewisser Geschehnisse interessiert. Auflerdem wird die Theorie der Messung zufii11iger Groflen behandelt. Vo11standig keit ist dabei weder moglich noch - angesichts zahlreicher Monogra phien iiber Spezialgebiete - notig. Die zur Lektiire erforderlichen mathematischen Grundkenntnisse umfas sen nur die elementare (nicht mafltheoretische) Infinitesimalrechnung sowie etwas Operatoren- und Matrizenrechnung. Repetitorien dafUr sind in Abschn.1 vorhanden.

Spis treści

1. Einführung in Grundgedanken der deterministischen System-theorie.- 1.1. Frequenzgang und Gewichtsfunktion.- 1.2. Vektorielle Differentialgleichung erster Ordnung (Darstellung im Zustandsraum).- 1.3. Anhang: Grundbegriffe der Fouriertransformation.- 1.4. Anhang: Grundbegriffe der Matrizen- und Vektorrechnung.- 2. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundbegriffe.- 2.1. Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff.- 2.1.1. Zufällige Ereignisse und ihre Verknüpfungen.- 2.1.2. Plausibilitätsbetrachtung zur Axiomatik von Kolmogoroff.- 2.1.3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Unabhängigkeit.- 2.2. Begriff der Verteilungsfunktion.- 2.2.1. Zufallsvariable und Zufallsprozeß.- 2.2.2. Verteilungsfunktion.- 2.2.3. Bedingte Verteilungsdichte.- 2.3. Erwartungswerte.- 2.3.1. Definition des Erwartungswerts.- 2.3.2. Momente und charakteristische Funktion.- 2.3.3. Bedingte Erwartungswerte.- 2.4. Gaußverteilungen.- 2.4.1. Eindimensionale Gaußverteilung.- 2.4.2. Mehrdimensionale Gaußverteilungen.- 2.5. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 2.- 3. Korrelationsfunktionen und spektrale Leistungsdichten in linearen Systemen.- 3.1. Korrelationsfunktionen.- 3.1.1. Definition und allgemeine Eigenschaften von Korrelationsfunktionen.- 3.1.2. Beispiele für Autokorrelationsfunktionen.- 3.2. Spektrale Leistungsdichten.- 3.2.1. Wiener-Khintchine-Relation.- 3.2.2. Prozesse mit vorgegebener spektraler Leistungsdichte.- 3.3. Korrelation zwischen Signalen in linearen Systemen.- 3.3.1. Autokorrelation der Ausgangsgröße eines Filters und Kreuzkorrelation zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße.- 3.3.2. Korrelation bei Linearkombination von Zufallsprozessen.- 3.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 3.- 4. Messung stochastischer Größen.- 4.1. Messung von Erwartungswerten.- 4.1.1. Verschiedene Formeln für die Varianz von arithmetischen Mittelwerten.- 4.1.2. Optimale Messungen unter Nebenbedingungen.- 4.2. Messung von Korrelationsfunktionen.- 4.2.1. Messung von Korrelationsfunktionen allgemein.- 4.2.2. Fehlerschätzung im Gaußschen Fall.- 4.3. Messung von spektralen Leistungsdichten.- 4.3.1. Inkonsistenz des Periodogramms.- 4.3.2. Indirekte Messung über die Korrelationsfunktion.- 4.3.3. Messung durch schmal bandige Filter.- 4.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 4.- 5. Statische nichtlineare Transformation von Zufallsprozessen.- 5.1. Verteilungsdichten nach statischer Transformation.- 5.1.1. Transformation eindimensionaler Verteilungen.- 5.1.2. Transformation mehrdimensionaler Verteilungen.- 5.2. Korrelationsfunktion nach statischer Transformation.- 5.2.1. Transformation beliebiger Prozesse.- 5.2.2. Transformation von Gaußprozessen.- 5.3. Stochastische Linearisierungen.- 5.3.1. Äquivalenter Verstärkungsfaktor (Gaußsche Beschreibungsfunktion).- 5.3.2. Quasilineare rückgekoppelte Systeme.- 5.3.3. Anhang: Berechnung von uneigentlichen Integralen gewisser rationaler Funktionen.- 5.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 5.- 6. Dynamische nichtlineare Transformation von Zufallsprozessen.- 6.1. Kolmogoroffsche Differentialgleichungen.- 6.1.1. Smoluchowski (Chapman-Kolmogoroff)-Gleichung.- 6.1.2. Klassische Herleitung der Vorwärts-Gleichung (Fokker-Planck-Gleichung).- 6.1.3. Anwendung der Fokker-Planck-Gleichung.- 6.1.4. Klassische Herleitung der Rückwärts-Gleichung.- 6.2. Stochastische Differential- und Integralgleichungen.- 6.2.1. Konvergenz im quadratischen Mittel.- 6.2.2. Wiener-(Brown)-scher Prozeß.- 6.2.3. Stochastische Integrale nach Ito bzw. Stratonovich.- 6.2.4. Stochastische Differentialgleichungen mit weißem Rauschen als Störfunktion.- 6.3. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 6.- 7. Optimale Übertragungssysteme.- 7.1. Systeme mit vorgegebener Struktur.- 7.2. Wiener-Filter.- 7.2.1. Ableitung der Wiener-Hopfschen Integralgleichung.- 7.2.2. Frequenzgang des optimalen Filters.- 7.2.3. Optimierung rückgekoppelter Systeme.- 7.3. Kalman-Filter.- 7.3.1. Orthogonalitätsprinzip der linearen Schätztheorie.- 7.3.2. Rekursive Filtergleichungen im zeitdiskreten Fall.- 7.3.3. Kalman/Bucy-Filter für kontinuierliche Systeme.- 7.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 7.- 8. Punktprozesse (Ströme von Geschehnissen).- 8.1. Beziehungen zwischen den Wahrscheinlichkeiten für die Punktzahlen in einem Zeitraum und den Verteilungsfunktionen für Punktabstände.- 8.1.1. Allgemeine geordnete stationäre Punktprozesses.- 8.1.2. Erneuerungsprozesse.- 8.1.3. Erwartungswerte bei Punktprozessen.- 8.2. Punktprozesse, die durch stationäre Prozesse erzeugt werden.- 8.2.1. Erwartungs werte für Anzahl und Dauer von Aufenthalten in einem gegebenen Wertebereich.- 8.2.2. Verteilungsfunktion der Dauer einer Niveauüber-schreitung.- 8.2.3. Zusammenhang zwischen den Abständen von Null- durchgängen und der Autokorrelationsfunktion bei Gaußprozessen.- 8.2.4. Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt in einem Intervall gerader (ungerader) Nummer.- 8.3. Abwandlung von Prozessen durch Abtastung gemäß Punktprozessen.- 8.3.1. Periodische Abtastung.- 8.3.2. Stochastische, speziell Poissonsche Abtastung.- 8.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 8.- 9. Lösung der Übungsaufgaben.- Schrifttumsverzeichnis.