Wege in Euklidischen Ebenen Kinematik Der Speziellen Relativitätstheorie: Eine Auswahl Geometrischer Themen Mit Beiträgen Zu Deren Ideen-Geschichte

ISBN-13: 9783540660552 / Niemiecki / Miękka / 1999 / 230 str.

Peter Dombrowski

Opis

Das vorliegende Buch zielt auf eine Vertiefung und Erweiterung geometrischer Kenntnisse von Studierenden der Mathematik und der Physik nach dem Grundstudium, und zwar an Hand unterschiedlicher, attraktiver, elementar-zuganglicher Themen der Geometrie. Bezuge zur Analysis und Physik werden betont, zur Historie einiger bedeutender geometrischer bzw. physikalischer Begriffe oder Fragestellungen gibt es eingehendere Beitrage. Die generelle Ausfuhrlichkeit des Textes sollte es Dozenten ermoglichen, den Vortrag auf die Vermittlung der Begriffe, Resultate und Beweisideen zu konzentrieren und fur gewisse Details auf den Text verweisen zu konnen."

Spis treści

1. Wege in euklidischen Ebenen.- 1.0 Wege in Analysis, Geometrie und Physik.- 1.1 Grundbegriffe über Cr-Wege.- 1.1.1 Differenzierbare, immersive, Cr Wege in IR-Vektorräumen.- 1.1.2 Umparametrisierungen von Wegen.- 1.1.3 Kurven bzw. orientierte Kurven als Wege-Klassen.- 1.1.4 Analysis erster Ordnung von differenzierbaren Wegen.- 1.1.5 Geometrische Definition der Tangenten und der Glattheit.- 1.2 Weglänge (= Bogenlänge).- 1.2.1 Die Länge kompakter Wege in normierten IR-Vektorräumen.- 1.2.2 Kürzeste Verbindungswege in normierten IR-Vektorräumen.- 1.2.3 Weglängenbegriff — Inhalt k-dim. Flächen („Schwarzscher Stiefel“).- 1.2.4 Das „3. Problem“ von David Hilbert.- 1.2.5 Integraldarstellung der Länge differenzierbarer Wege.- 1.2.6 (Um-)Parametrisierung auf Weglänge.- 1.2.7 Die Ableitung nach der Weglänge immersiver C1-Wege.- 1.3 Winkelfunktionen, Schwenk, Umlaufzahlen ebener Wege.- 1.3.1 Orientierungen, komplexe Strukturen von IR-Vektorräumen.- 1.3.2 Zweidimensionale orientierte, euklidische Vektorräume.- 1.3.3 Polarkoordinatendarstellung und der Schwenk ebener Wege.- 1.3.4 Polarwinkelform — Winkelgeschwindigkeit ebener Wege.- 1.3.5 Umlaufzahlen geschlossener ebener Wege um einen Punkt.- Homotopie-Invarianz der Umlaufzahl.- Schnittzahlsatz (nach Leopold Kronecker).- Strahlkriterium (nach Leopold Kronecker).- 1.3.6 Anwendungen des Umlaufzahl-Begriffs.- „Umlaufsatz” (Tangentendrehzahlen immersiver Cl-Jordan-Wege).- Kronecker-Prinzip.- Poincaré-Bohl-Lemma.- Brouwer-Fixpunktsatz.- Borsuk-Ulam-Satz.- Dimensionsinvarianz-Satz.- „Sandwich-Satz“.- Holditch-Integralsatz.- 1.3.7 Lokaler Grad — Topologische Invarianz der Umlaufzahl.- 1.3.8 Gebietsinvarianz — Jordan-Kurvensatz.- Ames-Hadamard-Lemma.- Gebietsinvarianz-Satz.- Jordan-Ames-Kurvensatz (mit Beiträgen zu dessen Geschichte).- 1.4 Krümmungstheorie ebener immersiver Wege.- 1.4.0 Zur Geschichte.- 1.4.1 Die orientierte Krümmung ebener immersiver Wege.- Frenet-Differentialgleichungen.- 1.4.2 Kongruenz und Gestaltgleichheit in euklidischen Vektorräumen.- Satz von der freien Beweglichkeit in euklidischen Vektorräumen.- Krümmungsgleichheit und Kongruenz ebener Wege.- 1.4.3 Orientierte Krümmung und Seitenlage zur Tangenten.- Positions-Lemma für immersive C2-Wege.- Wendepunkte und echte Wendepunkte.- 1.4.4 Konvexe (Jordan-)Wege — Ovale Wege („Eilinien“).- Sehnenlängen-Vergleichssatz (für gleichlange ebene Wege).- 1.4.5 Zu einem Vierscheitelsatz für ovale C2-Wege.- Kriterium für (eigentliche) Extremscheitel.- Ein Vierscheitelsatz.- Zur (Ideen-) Geschichte der Vierscheitelsätze.- 1.4.6 Intermezzo: Ein Mittel-und Grenzwertsatz n-ter Ordnung.- 1.4.7 Krümmungsradius — Krümmungskreis — Evolute.- Kennzeichnung des Krümmungsmittelpunktes und des Krümmungskreises (nach Isaac Newton - Johann Bernoulli).- Evoluten monoton gekrümmter C2-Wege ohne Wendepunkte.- 1.4.8 Lagebeziehung von Bahnen und Krümmungskreisen ebener Wege.- Inklusionen der Krümmungskreisscheiben monoton gekrümmter ebener Wege.- Lage eines Weges relativ zu seinem Krümmungskreis in einem Extremscheitel.- 1.4.9 Konstruktion mit Zirkel und Lineal von Linienelementen und Scheitelkrümmungkreisen bei Kegelschnitt-Wegen.- Ellipsenweg.- Parabelweg.- Hyperbel(ast)weg.- 1.5 Zykloidenwege in der Mechanik.- 1.5.1 Kinematische Erzeugung der Zykloidenwege (als Rollwege).- Zur Geometrie der Zykloidenwege.- 1.5.2 Das Zykloidenpendel von Christiaan Huygens.- 1.5.3 Brachistochrone (= zeit-kürzeste) ebene Fallwege von höher-zu tiefergelegenen Punkten nach Johann Bernoulli.- Die zykloidischen Fallwege sind brachistochrone Fallwege.- Verbindbarkeit durch zykloidische Fallwege; deren Fallzeiten.- 1.5.4 Zur (Ideen-) Geschichte der Brachistochronen-Aufgabe.- 1.6 Einhüllende Wege für Wegescharen.- 1.6.1 C1-Einhüllende für CrScharen $$\left( {R \in \mathbb \cup \left\{ \infty \right\}} \right)$$ von C1-Wegen.- 1.6.2 Beispiele für Cr Scharen von C1-Wegen mit C1-Einhüllenden.- C1-Einhüllende für gewisse ebene C2 Geradenscharen.- 1.6.3 Beispiele aus der Lichtstrahlen-Optik (Katakaustiken).- Katakaustik eines parabolischen Hohlspiegels.- Katakaustik eines sphärischen Hohlspiegels.- 1.6.4 Quadratische Parabelwege als Cl-Einhüllende affin-parametrisierter Scharen ihrer Tangenten.- 1.6.5 Schmiegparabeln immersiver C3-Wege ohne Wendepunkte.- Anwendung auf Kurvenlineale.- Schmiegparabel versus 2-te Taylor-Parabel.- 1.7 Anhang.- 1.7.1 Eine Funktion mit bemerkenswertem Extremwert-Verhalten.- 1.8 Literatur zu Kapitel 1.- 2. Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie.- 2.0 Zur Geschichte.- 2.1 Lorentzsche Vektorräume — Analysis affiner Räume.- 2.1.1 Zeitorientierte lorentzsche Vektorräume.- Zeit-, Raum-, Lichtartigkeit in Inneren-Produkt-Vektorräumen.- Lorentzsche Vektorräume.- Zeitartigkeits-Lemma (Zeitartige Cauchy-Schwarz-Ungleichung).- Zeitorientierung.- Lichtkegel.- Bestimmtheit lorentzscher innerer Produkte durch ihre Lichtkegel.- 2.1.2 m-dimensionale IR-affine Räume (m?IN).- „Goldene Regel“ des affinen Kalküls.- Affine V-Karten eines m-dim. IR-affinen Raumes (M, +, V).- Affinkombinationen von Punkten IR-affiner Räume.- 2.1.3 Kanonische Topologie und C?-Abbildungen IR-affiner Räume.- 2.1.4 C?-Untermannigfaltigkeiten IR-affiner Räume.- 2.1.5 Die zu einer C?-Untermannigfaltigkeit K eines IR-affinen Raumes (M, +, V) in p?K tangentialen Vektoren von V.- 2.1.6 k-dim. affine Unterräume eines IR-affinen Raumes als k-dim. C?-Untermannigfaltigkeiten dieses Raumes.- 2.1.7 Intermezzo: Zum Begriff der m-dim. C?-Mannigfaltigkeit.- 2.2 Minkowski-Welt — Beobachter — Normaluhren.- 2.2.1 Minkowski-Welt.- 2.2.2 Materielle Teilchen — Beobachter.- Inertialität (Kräftefreiheit).- Evolutionsrichtung.- 2.2.3 (Beobachter begleitende) Normaluhren.- Physikalische und mathematische Deutung der Normaluhren.- Existenz und „Einzigkeit“ begleitender Normaluhren.- Inertiale Beobachter und die sie begleitenden Normaluhren.- 2.2.4 Lichtsignale — Photonen.- 2.2.5 Kausal-Relation.- 2.3 Zeitmessung bzgl. (inertialer) Beobachter.- 2.3.1 Die Eigenzeit eines Beobachters.- 2.3.2 Langevins Zwillinge.- 2.3.3 Gleichzeitigkeit bzgl. eines inertialen Beobachters.- 2.3.4 Messung von Gleichzeitigkeit mittels Radarechos.- 2.3.5 Synchronisierung (Uhren-Vergleich) bzgl. inertialer Beobachter.- 2.3.6 Zeitmessung inertialer Beobachter an beliebigen Ereignissen.- Lebenszeiten.- Beschränkte Lebens-Eigenzeiten materieller Teilchen.- 2.3.7 EinsteinS Zeit-Dilatation.- 2.4 Räumliche Distanzen bzgl. inertialer Beobachter.- 2.4.1 Räumliche Distanz zu einem inertialen Beobachter.- 2.4.2 Ruhe bzgl. eines inertialen Beobachters.- 2.4.3 Distanz zweier Ereignisse bzgl. eines inertialen Beobachters.- Radardoppelecho-(Gedanken-)Experiment.- 2.4.4 Physikalische Einheiten für Zeiten und räumliche Distanzen.- 2.5 Raum und Zeit eines inertialen Beobachters B.- 2.5.1 Raum-und Zeitpunkte bzgl. B.- 2.5.2 Der Raum von B als 3-dim. affiner euklidischer Raum.- 2.5.3 Die Zeit von B als 1-dim. affiner euklidischer Raum.- 2.5.4 Die (Lorentz-orthogonale) Aufspaltung der Minkowski-Welt durch B in seinen Raum und seine Zeit.- 2.6 Eigenschaften der Lichtgeschwindigkeit c.- 2.6.1 Räumliche Bahnen, Geschwindigkeiten bzgl. inertialer Beobachter.- 2.6.2 Geschwindigkeiten von Photonen bzgl. inertialer Beobachter.- 2.6.3 Geschwindigkeiten materieller Teilchen sind kleiner als c.- 2.7 Korrelation der von zwei inertialen Beobachtern gemessenen Zeiten und Distanzen.- 2.7.1 Korrelation der gemessenen Zeiten und Distanzen bzgl. zweier inertialer Beobachter — Lorentz-Transformation.- 2.7.2 Minimalität der Distanz gleichzeitiger Ereignisse.- 2.7.3 Kräftefreie starre Körper und deren räumliche Vermessung.- 2.7.4 Fitzgerald-Lorentz-Kontraktion nach Einstein.- 2.8 Additionstheorem der Geschwindigkeiten.- 2.9 Literatur zu Kapitel 2.- Lexikon der Abkürzungen und Symbole.

Blurb

Das vorliegende Buch zielt auf eine Vertiefung und Erweiterung geometrischer Kenntnisse von Studierenden der Mathematik und der Physik nach dem Grundstudium, und zwar an Hand unterschiedlicher, attraktiver, elementar-zugänglicher Themen der Geometrie. Bezüge zur Analysis und Physik werden betont, zur Historie einiger bedeutender geometrischer bzw. physikalischer Begriffe oder Fragestellungen gibt es eingehendere Beiträge. Die generelle Ausführlichkeit des Textes sollte es Dozenten ermöglichen, den Vortrag auf die Vermittlung der Begriffe, Resultate und Beweisideen konzentrieren und für gewisse Details auf den Text verweisen zu können.