Vorlesungen Über Differential- Und Integralrechnung: Zweiter Band: Funktionen Mehrerer Veränderlicher

ISBN-13: 9783540029564 / Niemiecki / Miękka / 1972 / 470 str.

Richard Courant

Spis treści

Erstes Kapitel Vorbemerkungen über analytische Geometrie und Vektorrechnung.- § 1. Rechtwinklige Koordinaten und Vektoren.- Koordinatensysteme..- Richtungen und Vektoren. — Koordinatentransformation..- Die innere Multiplikation von Vektoren..- Die Gleichungen der Geraden und der Ebene.- § 2. Dreiecksinhalt, Tetraedervolumen und äußere Vektormultiplikation..- Dreiecksinhalt..- Äußere Multiplikation zweier Vektoren..- Das Tetraedervolumen..- §3. Die einfachsten Tatsachen über zwei-und dreireihige Determinanten.- Bildungsgesetze und Haupteigenschaften..- Anwendung auf lineare Gleichungen..- § 4. Die affinen Abbildungen und der Determinantenmultiplikationssatz.- Affine Abbildung der Ebene und des Raumes..- Die Zusammensetzung affiner Abbildungen und die Reduktion der allgemeinen affinen Abbildung..- Die geometrische Bedeutung der Transformationsdeterminante und der Multiplikationssatz..- Zweites Kapitel Funktionen mehrerer Veränderlicher und ihre Ableitungen.- § 1. Der Funktionsbegriff bei mehreren Veränderlichen.- Funktionen und ihr Definitionsbereich..- Die einfachsten Typen von Funktionen..- Geometrische Veranschaulichung der Funktionen..- §2. Stetigkeit.- Definition..- Der Grenzbegriff bei mehreren stetigen Veränderlichen..- Beispiele für Unstetigkeitsstellen..- Die Größenordnung des Verschwindens einer Funktion..- § 3. Die Ableitungen einer Funktion.- Definition. Geometrische Veranschaulichung..- Existenz der partiellen Ableitungen nach x und y und Stetigkeit..- Die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Differentiation..- § 4. Das vollständige Differential einer Funktion und seine geometrische Bedeutung.- Der Begriff der Differenzierbarkeit..- Differentiation nach einer gegebenen Richtung..- Geometrische Deutung. Tangentialebene..- Das vollständige Differential oder der lineare Anteil einer Funktion..- Anwendung auf die Fehlerrechnung..- § 5. Zusammengesetzte Funktionen und Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher.- Allgemeines. — Kettenregel..- Beispiele..- Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher..- § 6. Der Mittelwertsatz und der TAYLORSCHE Satz bei mehreren unabhängigen Veränderlichen.- Problemstellung und Vorbereitungen..- Der Mittelwertsatz..- Die TAYLORsche Formel für mehrere unabhängige Veränderliche..- § 7. Anwendungen des Vektorbegriffes.- Vektorfelder und Vektorscharen..- Anwendung auf die Theorie der Kurvenkrümmung. Zerlegung einer Bewegung in Tangential- und Normalkomponente..- Der Gradient eines Skalars..- Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Das Häufungsstellenprinzip in mehreren Dimensionen und seine Anwendungen.- Formulierung des Häufungsstellenprinzips..- Einige Begriffe der Punktmengenlehre..- Der Überdeckungssatz..- § 2. Nähere Diskussion des Grenzbegriffes bei mehreren Veränderlichen.- Doppelfolgen und ihre Grenzwerte..- Doppellimes bei stetigen Veränderlichen..- Der Satz von DINI über die gleichmäßige Konvergenz monotoner Funktionsfolgen..- § 3. Homogene Funktionen.- Drittes Kapitel Ausbau und Anwendungen der Differentialrechnung.- § 1. Implizite Funktionen.- Allgemeines..- Geometrische Deutung..- Die Differentiation der implizit gegebenen Funktionen..- Beispiele..- Mehr als zwei Veränderliche..- Beweis für die Existenz und Stetigkeit der impliziten Funktionen..- § 2. Kurven und Flächen in impliziter Darstellung.- Ebene Kurven in impliziter Darstellung..- Singuläre Punkte von Kurven..- Implizite Darstellung von Flächen..- §3. Funktionensysteme, Transformationen und Abbildungen.- Allgemeines..- Einführung neuer krummliniger Koordinaten..- Übertragung auf mehr unabhängige Veränderliche..- Differentiationsformeln für die Umkehrfunktionen..- Zerlegung und Zusammensetzung von Abbildungen und Transformationen..- Allgemeiner Satz über die Umkehrbarkeit einer Transformation und über Systeme von impliziten Funktionen..- Die Abhängigkeit von Funktionen..- Schlußbemerkungen..- § 4. Anwendungen.- Zur Theorie der krummen Flächen..- Konforme Abbildung im allgemeinen..- § 5. Kurvenscharen, Flächenscharen und ihre Einhüllenden.- Allgemeines..- Einhüllende einparametriger Kurvenscharen..- Beispiele..- Einhüllende von Flächenscharen..- § 6. Maxima und Minima.- Notwendige Bedingungen..- Beispiele..- Maxima und Minima mit Nebenbedingungen..- Beweis der Multiplikatorenregel im einfachsten Falle..- Verallgemeinerung der Multiplikatorenregel..- Beispiele..- Anhang zum dritten Kapitel.- §1. Hinreichende Bedingungen für Extrema.- §2. Singuläre Punkte von ebenen Kurven.- § 3. Singuläre Punkte von Flächen.- § 4. Die Beziehung zwischen den EULERSCHEN und LAGRANGEschen Darstellungen der Bewegung einer Flüssigkeit.- §5. Tangentialdarstellung einer geschlossenen Kurve.- Viertes Kapitel Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- §1. Gewöhnliche Integrale als Funktionen eines Parameters.- Beispiele und Definitionen..- Stetigkeit und Differenzierbar-keit eines Integrales nach dem Parameter..- § 2. Das Integral einer stetigen Funktion über einen ebenen oder räumlichen Bereich.- Das Gebietsintegral als Volumen..- Die allgemeine analytische Fassung des Integralbegriffes..- Beispiele..- Bezeichnungen, Ergänzungen, Grundregeln..- Integralabschätzungen und Mittelwertsatz..- Integrale über drei- und mehrdimensionale Bereiche..- Gebietsdifferentiation. — Masse und Dichte..- § 3. Zurückführung des Gebietsintegrals auf mehrfache gewöhnliche Integrale.- Betrachtung für ein Rechteck..- Folgerungen. Vertauschung von Integrationen. Differentiation unter dem Integralzeichen..- Ausdehnung des Resultats auf allgemeinere Bereiche..- Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrdimensionale Bereiche..- §4. Transformation der Gebietsintegrale.- Einführung von Polarkoordinaten in der Ebene..- Die allgemeine Transformationsformel bei zwei unabhängigen Veränderlichen..- Bereiche von mehr als zwei Dimensionen..- § 5. Uneigentliche Integrale.- Sprunghaft unstetige Funktionen..- Funktionen mit isolierten Unendlichkeitspunkten..- Funktionen mit Unendlichkeitslinien..- Unendlicher Integrationsbereich..- Zusammenfassende Bemerkungen und Ergänzungen..- § 6. Geometrische Anwendungen.- Elementare Volumenberechnung..- Allgemeines zur Volumenberechnung. — Rotationskörper. — Volumen in Polarkoordinaten..- Flächeninhalt krummer Flächenstücke..- § 7. Physikalische Anwendungen.- Statisches Moment und Schwerpunkt..- Trägheitsmoment..- Das physische Pendel..- Potential anziehender Massen..- Anhang zum vierten Kapitel.- §1. Die Existenz des Gebietsintegrals.- Der Inhalt von ebenen und räumlichen Bereichen..- Ein Satz über glatte Kurvenbögen..- Die Existenz des Gebietsintegrals für stetige Funktionen..- § 2. Allgemeine Formel für den Flächeninhalt (oder Rauminhalt) eines durch Segmente von Geraden oder Ebenen begrenzten Bereiches (GULDINS Formel). Der Polarplanimeter.- § 3. Volumen und Oberfläche bei beliebiger Anzahl von Dimensionen.- Zerlegung von Gebietsintegralen..- Oberflächen und Integration über Oberflächen in mehr als drei Dimensionen..- Oberfläche und Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel..- Verallgemeinerungen, Parameterdarstellung..- § 4. Uneigentliche Integrale als Funktionen eines Parameters.- Gleichmäßige Konvergenz. Stetige Abhängigkeit vom Parameter..- Integration und Differentiation uneigentlicher Integrale nach einem Parameter..- Beispiele..- § 5. Die Fresnelschen Integrale.- § 6. Das Fouriersche Integral.- Einleitung..- Beweis des Fourierschen Integralsatzes..- § 7. Die Eulerschenn Integrale (Gammafunktion).- Definition und Funktionalgleichung..- Produktdarstellungen der ?-Funktion..- Die Funktion log ?(x) und ihre Ableitungen..- Der Ergänzungssatz..- Die Betafunktion..- § 8. Differentiation und Integration von gebrochener Ordnung. Die Abelsche Integralgleichung..- § 9. Zur Flächeninhaltsdefinition bei krummen Flächen.- Fünftes Kapitel Integration über mehrdimensionale Bereiche. Fortsetzung.- § 1. Kurvenintegrale.- Definition der Kurvenintegrale. — Bezeichnungen..- Grundregeln..- Mechanische Deutung der Kurvenintegrale..- Integration totaler Differentiale..- Der Hauptsatz über Kurvenintegrale..- Die Bedeutung des einfachen Zusammenhanges..- § 2. Zusammenhang zwischen Kurvenintegralen und Gebietsintegralen in der Ebene. (Integralsätze von GAUSS, STOKES und GREEN).- Formulierung und Beweis des GAUSSSCHEN Integralsatzes..- Vektorielle Formulierung des GAUSSSCHEN Integralsatzes. Integralsatz von STOKES..- Integralformeln von GREEN. Integral der Funktionaldeterminante..- Transformation von ? u auf Polarkoordinaten..- § 3. Anschauliche Deutung und Anwendungen der Integralsätze in der Ebene.- Kinematische Deutung des GAUSSschen Integralsatzes. Divergenz und Quellenergiebigkeit..- Deutung des Satzes von Stokes..- Transformation von Gebietsintegralen..- §4. Oberflächenintegrale.- Integration über orientierte Bereiche..- Definition der Integrale über Flächen im Räume..- Physikalische Deutung der Flächenintegrale..- § 5. Die Integralsätze von GAUSS und GREEN im Raum.- Der Integralsatz von GAUSS und seine physikalische Bedeutung..- Die Integralsätze von GREEN..- Anwendung der Integralsätze im Raum..- § 6. Der Integralsatz von STOKES im Raum.- Formulierung und Beweis..- Physikalische Bedeutung des STOKESSCHEN Satzes..- § 7. Grundsätzliches über den Zusammenhang von Differentiation und Integration bei·mehreren Veränderlichen.- Anhang zum fünften Kapitel.- § 1. Bemerkungen zu den Sätzen von Stokes und Gauss.- § 2. Darstellung eines quellenfreien Vektorfeldes als Rotation.- Sechstes Kapitel Anwendungen, insbesondere Differentialgleichungen.- § 1. Die Differentialgleichungen der Mechanik eines Massenpunktes.- Die Bewegungsgleichungen..- Das Energieprinzip..- Gleichgewicht..- § 2. Beispiele zur Mechanik eines Massenpunktes.- Die Bahn eines fallenden Körpers..- Kleine Schwingungen um eine Gleichgewichtslage..- Planetenbewegung..- § 3. Weitere Beispiele von Differentialgleichungen.- Die allgemeine lineare Differentialgleichung erster Ordnung..- Die Trennung der Variablen..- Festlegung der Lösung durch Randwerte. Belastetes Seil und belasteter Balken..- § 4. Lineare Differentialgleichungen.- Superpositionsprinzip. Allgemeine Lösungen..- Homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung..- Die inhomogene Differentialgleichung. Methode der Trennung der Variablen..- Die erzwungene Bewegung des einfachsten schwingungsfähigen Systems..- § 5. Allgemeines über Differentialgleichungen.- Differentialgleichung erster Ordnung und ihre geometrische Deutung..- Differentialgleichung einer Kurvenschar. Singuläre Lösungen. Orthogonaltrajektorien..- Integrierender Faktor (EULERSCHER Multiplikator)..- Existenz- und Eindeutigkeitssatz..- Systeme von Differentialgleichungen und Differentialgleichungen höherer Ordnung..- Integration durch Potenzreihenansatz..- § 6. Das Potential anziehender Ladungen.- Potentiale von Massenbelegungen..- Die Differentialgleichung des Potentials..- Homogene Doppelschicht..- Der Satz vom Mittelwert..- Die Randwertaufgabe für den Kreis. Das Poissonsche Integral..- § 7. Weitere Beispiele partieller Differentialgleichungen.- Die Wellengleichung in einer Dimension..- Die Wellengleichung im dreidimensionalen Raum..- Die MAXWELLSCHEN Gleichungen im leeren Rume..- Verzeichnis der wichtigsten Formeln und Sätze zu beiden Bänden.- Sachverzeichnis zum zweiten Bande.