Vorlesungen Über Differential- Und Integralrechnung: Erster Band: Funktionen Einer Veränderlichen

ISBN-13: 9783540054665 / Niemiecki / Miękka / 1971 / 450 str.

Richard Courant

Spis treści

Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel Vorbereitungen.- § 1. Das Zahlenkontinuum Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er- weiterung S. 3. — Das. Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche S. 6. — Ungleichungen S. 8..- § 2. Der Funktionsbegriff Beispiele S. 9. — Begriffliche Formulierung S. 10 — Geometrische Dar- stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11 — Umkehrfunktionen S.15..- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16 — Algebraische Funktionen S. 18 — Die trigonometrischen Funktionen S. 19. — Exponentialfunktion und Logarithmus S. 20..- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen—Zahlenfolgen—Vol- ständige Induktion Definition und Beispiele S. 21 — Das Prinzip der vollständigen Induk- tion S. 22 — Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24..- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele $$ = {1 \over n}$$ S.25. — $$ = {1 \over m}$$; $${a_{2m - 1}} = {1 \over }$$ S. 26. — $$ = {n \over {n + 1}}$$ S. 27. — $$ = \root n \of p $$ S. 27. — $$ = {\alpha ^n}$$ S. 29 — Zur geometrischen Ver- anschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$\root n \of p $$ S. 30 — Die geometrische Reihe S. 31. — $$ = \root n \of n $$ S. 32. — $$ = \sqrt {n + 1} - \sqrt n $$ S. 32. — $$ = {n \over {}}$$ S.33..- § 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes Definition der Konvergenz S. 33 — Zweite Definition der Konvergenz S. 35 — Monotone Folgen S. 36 —Rechnen mit Grenzwerten S. 37 — Die Zahl e S. 38 — Beweis der Irrationalität von e. S. 40 — Die Zahl ? als Grenzwert S. 40 — Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41 — Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition S. 42..- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen Definitionen und Beispiele S. 43 — Motivierung der Begriffsbildung S.45..- § 8. Der Begriff der Stetigkeit Definitionen S. 47 — Unstetigkeitspunkte S. 48 — Sätze über stetige Funktionen S. 52..- Anhang I zum ersten Kapitel Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen Das Häufungsstellen-Prinzip S. 54 — Intervallschachtelung und Zahlen- kontinuum S. 55 — Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56 — Beweis des CAUCHYSchen Konvergenzkriteriums S. 58 — Oberer und unterer Häu- fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59..- § 2. Sätze über stetige Funktionen Grö?ter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60 — Die Gleich- mä?igkeit der Stetigkeit S. 61 — Der Zwischenwertsatz S. 63 — Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64 — Weitere Sätze über stetige Funktionen S. 65..- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- § 1. Polarkoordinaten.- § 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- § 1. Das bestimmte Integral Das Integral als Flächeninhalt S. 71 — Die analytische Definition des Integrales S. 72 — Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral S. 74..- § 2. Beispiele Erstes Beispiel S. 76 — Zweites Beispiel S. 77 — Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen ? S. 78 — Integration von x? für beliebiges rationales ? ?—1 S. 79 — Integration von sin x und cos x S. 80..- §3. Die Ableitung oder der Differentialquotient Differentialquotient und Kurventangente S. 82 — Der Differentialquotient als Geschwindigkeit S. 85.—Beispiele S. 86 — Einige Grundregeln für die Differentiation S. 89.—Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen S. 89 — Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91 — Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92 — Der Mittelwertsatz S. 94 — Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare — Differentiale S. 97 — Be- merkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen- schaft S. 98..- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100 — Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales S. 101 — Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales S. 103 — Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale S. 106 — Einige Beispiele S. 107..- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massen Verteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität S. 110 — Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112..- §7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114 — Anwendung: Integration und Differentiation von x? S. 117..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122 — Differentiation der rationalen Funktionen S. 124 — Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125..- § 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126 — Integration der einfachsten Funktionen S. 127..- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128 — Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130 — Die zugehörigen Integralformeln S. 134..- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135 — Beispiele S. 137 — Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ? S. 138..- § 5. Maxima und Minima Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität) S. 140 — Maxima und Minima S. 141 — Beispiele für Maxima und Minima S. 144..- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148 — Das Additionstheorem S. 150 — Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151 — Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion) S. 151 — Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x? S. 153 — Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154 — Schlu?bemerkungen S. 156..- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung S. 157 — Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. — Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium S. 159 — Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden S. 160 — Verlauf chemischer Reaktionen S. 161 — Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162..- § 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163 — Additionstheoreme und Differentiationsformeln S. 164.—Die Umkehrfunktionen S. 165.—Weitere Analogien S. 166..- § 9. Die Grö?enordnung von Funktionen Begriff der Grö?enordnung. Einfachste Fälle S. 168 — Die Grö?enordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169.—Allgemeine Bemerkungen S. 171 — Die Grö?enordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171 — Grö?enordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172..- Anhang zum dritten Kapitel.- § 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over {{x^2}}}}}$$ S. 173. —Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over x}}}$$. 174. — Die Funktion $$y = {1 \over x}$$ S. 174. —Die Funktion $$y = x{1 \over x}$$ S. 175. — Die Funktion $$y = x\sin {1 \over x}$$; y(0) = 0 S. 176..- §2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- §3. Verschiedene Einzelheiten Beweis des binomischen Satzes S. 177 — Fortgesetzte Differentiation S. 178 — Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz S. 179..- Viertes Kapitel Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel Die Substitutionsformel S. 182 — Neuer Beweis der Substitutionsformel S. 186 — Beispiele. Integrationsformeln S. 187..- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration Allgemeines S. 191 — Beispiele S. 193 — Rekursionsformeln S. 194. — Die WALLissche Produktzerlegung von ? S. 195..- § 5. Integration der rationalen Funktionen Aufstellung der Grundtypen S. 198 — Integration der Grundtypen S. 199 — Die Partialbruchzerlegung S. 200 — Beispiel. Chemische Reaktionen S. 202 — Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) S. 203..- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen S. 205.—Integration von R(cos x, sin x) S. 207 — Integration von $$R\left( {a\,{\rm}\,x,\,\sin x} \right)$$ S. 207 — Integration von R($$x,\,\sqrt {1 - {x^2}} $$) S. 207 — Integration von R($$x,\,\sqrt {{x^2} - 1}$$) S. 208 — Integration von R ($$x,\,\sqrt {{x^2} + 1}$$) S. 208 — Integration von R ($$x,\,\sqrt {a{x^2} + 2bx + c} $$) S. 208 — Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen S. 209 — Bemerkungen zu den Beispielen S. 210..- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale S. 211. — Grundsätzliches über Differentiation und Integration S. 213..- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale Funktionen mit Sprungstellen S. 214 — Funktionen mit Unendlichkeitsstellen S. 214 — Unendliches Integrationsintervall S. 217..- Anhang zum vierten Kapitel.- Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung..- Fünftes Kapitel Anwendungen.- § 1. Darstellung von Kurven Die Parameterdarstellung S. 223—Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung S. 226 — übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung S. 228 — Allgemeine Bemerkungen S. 229..- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten S. 230 — Die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem S. 235.—Beispiel: Ellipse S. 236 — Flächeninhalt in Polarkoordinaten S. 236 — Länge einer Kurve S. 237 — Krümmung S. 241 — Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve S. 243 — Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche S. 244 — Trägheitsmoment S. 245..- § 3. Beispiele Die Zykloide S. 246 — Kettenlinie S. 247.—Ellipse und Lemniskate S. 248..- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik Grundvoraussetzungen aus der Mechanik S. 249. —Freier Fall. Reibung S. 251 — Die einfachste elastische Schwingung S. 253.—Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve S. 254..- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve Allgemeines S. 256 — Diskussion der Bewegung S. 258 — Das gewöhnliche Pendel S. 259. —Das Zykloidenpendel S. 260..- §6. Arbeit Allgemeines S. 261 — Erstes Beispiel. Massenanziehung S. 263 — Zweites Beispiel. Spannen einer Feder S. 264 — Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators S. 264..- Anhang zum fünften Kapitel.- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel Die TAYLORsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale.- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens Der Logarithmus S. 268 — Der Arcustangens S. 271..- § 2. Die allgemeine TAYLORsche Formel Die TAYLORsche Formel für ganze rationale Funktionen S. 272 — Die TAYLORsche Formel für eine beliebige Funktion S. 273 — Abschätzung des Restgliedes S. 276..- § 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen Die Exponentialfunktion. Irrationalität von e S. 278 — sin x, cos x, $$\sin x,\,a\,{\rm}\,x$$ S. 280 — Die binomische Reihe. Ein allgmeiner Satz über Konvergenz der TAYLORschen Reihe einer Funktion mit nicht negativen Ableitungen aller Ordnungen S. 281..- § 4, Geometrische Anwendungen Berührung von Kurven S. 285-—Der Krümmungskreis als Osku- lationskreis S. 287 — Zur Theorie der Maxima und Minima S. 287..- Anhang zum sechsten Kapitel.- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine TAYLORsche Reihe lä?t.- § 2. Approximation beliebiger stetiger Funktionen durch Polynome und trigonometrische Summen Der Satz von WEIERSTRASS S. 289. — Approximation von |x| S. 289. — Beweis des WEIERSTRASSschen Approximationssatzes S. 291.— Anwendungen, — Trigonometrische Approximation S. 292..- § 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sog. unbestimmte Ausdrücke.- § 4. Interpolation Problemstellung und Vorbemerkungen S. 296 — Konstruktion der Lösung. Die NEWTONScheInterpolationsformel S.298 — Restabschätzung S. 300. — Die Interpolationsformel von LAGRANGE S. 302.296.- Siebentes Kapitel Exkurs über numerische Methoden Vorbemerkungen.- § 1. Numerische Integration Rechtecksregel S. 303. —Trapezformel und Tangentenformel. S. 304 — Die SIMPSONSche Regel S. 304 — Beispiele S. 305. — Fehlerabschätzung S. 306..- § 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des TAYLORschen Satzes Die “Fehlerrechnung“ S. 308. — Berechnung von À S. 310. — Berechnung der Logarithmen S. 311..- § 3. Numerische Auflösung von Gleichungen Das Verfahren von NEWTON S. 312 — Regula falsi S. 314 — Beispiel S. 315. —Das Iterationsprinzip S. 315..- Anhang zum siebenten Kapitel.- Die STIRLINGsche Formel.- Achtes Kapitel Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse Vorbemerkungen.- §1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz Grundbegriffe S. 321. —Absolute und bedingte Konvergenz S. 323. — Umordnung der Reihenglieder S. 326. — Das Rechnen mit unendlichen Reihen S. 329..- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz Das Prinzip der Reihenvergleichung S. 330. —Vergleichung mit der geometrischen Reihe S. 331.— Vergleichung mit einem Integral S. 333..- § 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen Allgemeines S. 335 — Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven S.336..- § 4. Gleichmä?ige und ungleichmä?ige Konvergenz Allgemeines und Beispiele S. 338 — Kriterium der gleichmä?igen Konvergenz S. 342 — Stetigkeit gleichmä?ig konvergenter Reihen stetiger Funktionen S. 344 — Die Integration gleichmä?ig konvergenter Reihen S. 345 — Differentiation unendlicher Reihen S. 346..- § 5. Potenzreihen Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe S. 348 — Die Integration und Differentiation von Potenzreihen S. 350.— Das Rechnen mit Potenzreihen S. 351 — Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen S. 352..- § 6. Entwicklung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele Die Exponentialfunktion S. 354 — Die binomische Reihe S. 354 — Die Reihe für arc sin x S. 356 — Die Potenzreihenentwicklung von $${\rm{ur s n }}x = \log \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)$$ S. 356 — Beispiel für Reihenmultiplikation S. 357 — Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral s. 357..- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen S. 358 — Ausblick auf die allgemeine Theorie analytischer Funktionen S. 360..- Anhang zum achten Kapitel.- § 1. Multiplikation und Division von Reihen Multiplikation absolut konvergenter Reihen S. 361. —Multiplikation und Division von Potenzreihen S. 362..- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen Die Gleichmä?igkeit des Grenzüberganges $${\left( {1 + {x \over n}} \right)^n} \to {e^x}$$ S. 363.—Bemerkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion S.365. —Beweis der Formel $$\int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx = {1 \over 2}\sqrt \pi } $$ S. 365..- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 4. ünendüche Produkte.- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen Verschiedene Entwicklungen S. 370..- Neuntes Kapitel Fouriersche Reihen.- § 1. Die periodischen Funktionen Allgemeines S. 373 — Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen S. 376..- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise Allgemeine Bemerkungen S. 380 — Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom S. 381 — Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen S. 383 — Ableitung einer trigonometrischen Formel S. 383..- §3. Beispiele für die FOURlERsche Reihe Form der FOURIERschen Reihenentwicklung S. 384 — Entwicklung der Funktionen ?(x)—x und ?(x)=x2 S. 386 — Entwicklung der Funktion x cos x S. 387. —f(x) = f|x| S. 388. — 5. Beispiel S. 389. — f(x) = |sinx| S. 389. — Entwicklung der Funktion cos #x03BC; x. Partial- bruchzeriegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus S. 389. — Weitere Beispiele S. 391..- § 4. Beweis der FouRiERSchen Reihenentwicklung Die Konvergenz der FouRiERSchen Reihe einer stückweise glatten Funktion S. 391 — Genauere Untersuchung der Konvergenz — BESSEL- sche Ungleichung S. 396..- § 5. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel.- § 1. BERNOULLISCHE Polynome und ihre Anwendungen Definition und FOURIER-Entwicklung S. 404 — Erzeugende Funktion und TAYLORSCHE Reihe des trigonometrischen und hyperbolischen Kotangens S. 406 — EULERSCHE Summenformel S. 408 — Anwendungen (konvergente Entwicklungen, Summen von Potenzen, Rekursionsformeln für die BERNOUIXISCHEN Zahlen, EULERSCHE Konstante, STIRLINGS Formel, Asymptotische Reihenauswertungen) S. 410..- §2. Integration von FouRiERSchen Reihen.- §3. Trigonometrische Interpolation Die Interpolationsformel S. 417.—Beispiele zur trigonometrischen Interpolation S. 421..- Zehntes Kapitel Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge.- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik Einfachste mechanische Schwingungen S. 426 — Elektrische Schwingungen S. 428..- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen Formale Auflösung S. 429 — Physikalische Deutung der Lösung S. 431 — Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung S. 432..- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen Allgemeine Bemerkungen S. 433.—Lösung der unhomogenen Gleichung S. 435.—Die Resonanzkurve S. 436 — Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes S. 439 — Bemerkungen über Registrierinstrumente S. 440..- Schlu?bemerkung.