Ungelöste Und Unlösbare Probleme Der Geometrie

ISBN-13: 9783322979735 / Niemiecki / Miękka / 1960 / 168 str.

Herbert Meschkowski

Opis

In einer Zeit, in der die mathematische Forschung standig neue Theorien entwickelt, erscheint der Hinweis nicht iiberfliissig, daB es auch am Rande der elementaren Geometrie noch ungeloste Probleme gibt. Wir denken dabei vor allem an solche Fragestellungen, die so einfach sind, daB sie auch einem interessierten Laien verstandlich gemacht werden konnen. Freilich, so ganz einfach sind nur die Fragestellungen. Die Losungsversuche, die gemacht worden sind, die Beweise, die in die Nahe der gestellten Probleme fUhren, erfordern zum Verstandnis doch einiges an mathematischer Bildung, etwa so viel, wie man bei einem Studenten der mittleren Semester voraussetzen darf. Bei einigen beriihmten Problemen, die die Mathematiker jahrtausende lang beschaftigten, hat die Forschung in den letzten Jahrzehnten zu der Einsicht gefiihrt, daB sie unlosbar sind. Wir wollen auch einige solcher Fragestellungen in unsere Betrachtung einschlieBen. So stehen uralte klassische Probleme neben solchen, die bisher in der Buchliteratur gar nicht oder nur am Rand erwahnt wurden. Wir haben uns bemiiht, auch bei den klassischen Pro blemen bekannte Methoden zu variieren oder die Fragestellung nach der einen oder andern Seite zu erweitern.

Spis treści

I. Die Probleme.- II. Reguläre Lagerungen in der Ebene und auf der Kugel.- 1. Aufgaben über die Lagerungsdichte.- 2. Hilfssätze.- 3. Lagerungsprobleme in der Ebene.- 4. Lagerungsprobleme auf der Kugel.- 5. Weitere Probleme.- III. Irreguläre Lagerungen und Bedeckungen.- 1. Der Existenzsatz.- 2. Der Graph für das Lagerungsproblem.- 3. Ein Punktsystem für n = 7.- 4. Das Lagerungsproblem für n = 7.- 5. Der Graph für das Bedeckungsproblem.- 6. Der Fall n = 5 für das Bedeckungsproblem.- 7. Der Fall n = 7 für das Bedeckungsproblem.- 8. Ausblick auf weitere Probleme.- IV. Lagerung von kongruenten Kugeln.- 1. Die dichteste Gitterpackung.- 2. Die dünnste feste Packung.- V. Das Lebesguesche Tafelproblem.- 1. Die Fragestellung.- 2. Die Sechseck-Tafel.- 3. Die Tafeln von Pál und Sprague.- 4. Kurven und Bereiche von konstanter Breite.- 5. Anwendungen.- 6. Das Bedeckungsproblem im ?3.- VI. Zerlegungsgleichheit von Polyedern.- 1. Das ebene Problem.- 2. Der Satz von Dehn.- 3. Beispiele zum Dehnschen Satz.- 4. Polyederalgebra.- 5. Die Basispolyeder.- VII. Die Zerlegung von Rechtecken in inkongruente Quadrate.- 1. Das Problem.- 2. Definition eines Graphen.- 3. Berechnungen der Zerlegungen.- 4. Die elektrotechnische Deutung.- 5. Zerlegung von Rechtecken mit kommensurablen Seiten.- VIII. Unlösbare Extremalprobleme.- 1. Ein Satz über das Dreieck.- 2. Der Satz von Besikowitsch.- 3. Punktmengen mit ganzzahliger Entfernung.- IX. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 1. Die Technik von Lineal und Zirkel.- 2. Einige Konstruktionsaufgaben.- 3. Der Unmöglichkeitsbeweis für (8a) und (8b).- 4. Die Fünfteilung.- 5. Die Einheitlichkeit der Konstruktion.- X. Konstruktionen auf der Kugel.- 1. Die stereographische Projektion.- 2. Konstruktionen mit Kugelzirkel und Großkreislineal.- 3. Die Quadratur des Zirkels auf der Kugel.- 4. Ein Hilfssatz.- XI. Probleme der Mengengeometrie.- 1. Neue Definition der Zerlegungsgleichheit.- 2. Der Satz von Hausdorff.- 3. Paradoxe Zerlegungen im ?3.- 4. Paradoxe Zerlegungen in der Ebene.- XII. Die methodische Bedeutung der „unlösbaren“ Probleme.- Register.