Theta-Funktionen Und Spezielle Weierstraßsche Funktionen

ISBN-13: 9783642516177 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 248 str.

F. Tolke

Opis

Die Bedeutung der Theta-Funktionen liegt fur die Anwendung unter anderem darin, dass sie der FOURIERSchen Differentialgleichung genugen, die auch als Warmeleitungs-, Diffusions- oder Konsolidationsgleichung bezeichnet wird. Demzufolge wurden die Theta-Funktionen aus der FOURIERschen Differentialgleichung heraus entwickelt, was in Abweichung von der ublichen Darstellungsweise die Einfuhrung eines reellen, die Zeit reprasentierenden Parameters im Gefolge hatte. Es erwies sich hierbei als zweckmassig, den vier schon von JACOBI eingefuhrten Theta-Funk tionen noch zwei weitere Theta-Funktionen zur Seite zu stellen. Auf diese Weise liess sich die Theorie der WEIERSTRAssschen cP-Funktionen auf zwei durch zweite logarithmische Ableitungen von Theta-Funktionen darstellbaren Grundfunktionen aufbauen. Es war naheliegend, entsprechend den sechs Theta-Funktionen sechs spezielle einparametrige WEIERSTRAsssche cP-Funktionen ein zufuhren. Hierdurch konnte, wie in Band III gezeigt werden wird, die Theorie der JAcoBISchen elliptischen Funktionen durch Einbau weiterer Funktionen erweitert werden. Die fur die Theorie der elliptischen Funktionen benotigten Parameterfunktionen bilden ebenfalls Gegenstand dieses Buches. Den Herren Dipl. -Ing. BEEKMANN, Dipl. -Ing. eARL, Dr. -Ing. FEUERLEIN, Dipl. -Ing. FLAMM, Dr. -Ing. GIESECKE, Dipl. -Ing. HAFNER, Dipl. -Ing. HUTH, Dipl. -Ing. KLOPFER, Dipl. -Ing. REI NECKE, Dipl. -Ing. RIEDEL, Dipl. -Ing. SCHLENKER, Dipl. -Ing. SCHOLTZ, Dipl. -Ing. SCHURGER und Dipl. -Ing. TOLZEL danke ich fur die Unterstutzung bei der Anfertigung der Abbildungen. Ferner danke ich Fraulein Dr. -Ing. Dipl. -Math. GOESER fur die Durchfuhrung der programmierungs technischen Arbeiten bei der Darstellung der 35 konformen Abbildungen. Die Herren Priv. -Doz. Dr. -Ing. GIESECKE und Dipl. -Ing."

Spis treści

1 Theta-Funktionen.- 1. Theta-Funktionen als einfach periodische singuläre Lösungen eindimensionaler homogener Fourierscher Differentialgleichungen.- 2. Hyperbolische Reihenentwicklungen.- 3. Theta-Funktionen für imaginäres Argument.- 4. Substitutionen.- 5. Funktionalgleichungen.- 6. Funktionsverlauf und spezielle Funktionswerte.- 7. Ableitungen und spezielle Funktionswerte der Ableitungen.- 8. Theta-Funktionen vom Argument ? = 0 und $$\zeta = {\textstyle{1 \over 4}}$$.- 9. Maclaurin-Entwicklungen der Theta-Funktionen.- 10. Darstellung der Theta-Funktionen als unendliche Produkte.- IL Nullstellen der Theta-Funktionen.- 12. Produkte und Quadrate von Theta-Funktionen und Parameterfunktionen.- 13. Vierfache Produkte und vierte Potenzen.- 14. Gausssche und Landensche Transformation.- 15. Additionstheoreme.- 16. Einführung zweier weiterer Theta-Funktionen, ? (?, ?) und ? (?, ?).- 2 Logarithmen der Theta-Funktionen.- 17. Funktionalgleichmigen, Substitutionen und Transformationen der Logarithmen der Theta-Funktionen und ihrer ersten und zweiten Ableitungen.- 18. Partielle Differentialgleichungen.- 19. Trigonometrische und hyperbolische Keihenentwicklungen. Doppelt periodische logarithmische Quotientenfunktionen. Funktionsverlauf.- 20. Darstellung der zweiten logarithmischen Ableitungen durch Quotienten von Theta-Funktionen.- 21. Differentialgleichungen der zweiten und dritten logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen $$\vartheta \mathop {_1 }\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (\zeta ,x)$$. Einführung der Funktionen $$\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } $$ und der Invarianten $$g_{\mathop 2\limits_3 } $$.- 22. Die logarithmischen und die natürlichen Ableitungen der 12 Quotienten der Funktionen ?1(?, ?), ?2(?, ?), ?3(?, ?), ?4(?, ?).- 23. Differentialgleichungen der zweiten logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen $$\vartheta _{\mathop 5\limits_6 } (\zeta ,x)$$ Einführung der Funktionen $$\wp _{\mathop 5\limits_6 } $$ und der Invarianten $$\overline {g_{\mathop 2\limits_3 } } $$.- 24. Differentialbeziehungen zwischen den logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen.- 25. Additionstheoreme.- 3 Farameterfunktionen.- 26. Bezeichnimgen.- 27. Die Funktionen k und k?.- 28. Die Funktionen K und K?.- 29. Hypergeometrische Reihenentwicklungen für K und K?.- 30. Die Funktionen E und E? Legendresche Relation.- 31. Hypergeometrische Reihenentwicklung für E.- 32. Darstellung bestimmter Integrale durch E und K.- 33. Ableitungen linearer Funktionen von E und K.- 34. Reihendarstellungen von E und K in der Umgebung von k? = 0 und von E’ und K’ in der Umgebung von k = 0.- 35. Reihendarstellungen für ? und 1/?.- 36. Differentialgleichung für 1/K als Funktion von ?.- 37. Darstellungen von $$\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } ^{\prime \prime } (0,x)/\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (0,x)\,{\rm und}\,\vartheta _{\rm 1} ^{\prime \prime \prime } (0,x)/\vartheta '(0,x) $$.- 38. Ableitungen von E und K nach ?.- 39. E und K für doppelte und halbe Parameter.- 40. Darstellungen von $$\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } ^{\prime '''} (0,x)/\vartheta _{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } (0,x)\,{\rm und}\,\vartheta _{\rm 1} ^{\prime ''''} (0,x)/\vartheta '(0,x)$$.- 41. Darstellung der Koeffizienten der Entwicklungen der vier ersten Theta-Fimktionen durchE, K und k?2.- 42. Die FunktionenB, C und D.- 43. Die Funktion A. (Integral von K über k2).- 44. Integrale mit E, K, B, C, D und A.- 45. K, E undA für imaginäre Werte und Reziprokwerte vonk Weitere bestimmte Integrale.- 46. Weitere Integrale mit K, E und A.- 47. Komplexe Transformationsgleichungen für K und E.- 48. Die Funktionen $$\ell _{1,\,} \ell _{2,\,} \ell _{3,\,} g_{2,\,} g_{3,\,} \bar g_{2,\,} \bar g_{3,} \eta _1 ,\bar \eta _{1,\,} \eta _{2,\,} \bar \eta _2$$.- 49. Möglichkeiten zur Entwicklung einfacher Näherungsformeln.- 50. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich 0 ? ? ? 1.- 51. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich 0 ? l/x ?.- 52. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformehi für den Bereich $$0\,\underline{\underline \prec } \,k'\underline{\underline \prec } \,\sqrt {{1 \over 2}} $$.- 53. Auf fünf Stellen genaue Näherungsformeln für den Bereich $$0\,\underline{\underline \prec } \,k\underline{\underline \prec } \,\sqrt {{1 \over 2}} $$.- 4 Spezielle Weierstraßsche $$\wp $$-Funktionen.- 54. Definitions- und Funktionalgleichimgen.- 55. Periodenverhalten und Substitutionen; imaginäre Transformation.- 56. Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- 57. Trigonometrische und hyperbolische Reihenentwicklungen.- 58. Werte der $$\wp $$-Funktionen für die Argumente z = 0 und z = K, Entwicklungen an der Stelle 2 = 0.- 59. Exponentialentwicklungen von Parameterfunktionen.- 60. Potenzreihen-Entwicklungen der Theta-Funktionen und ihrer Logarithmen. Normierte Theta-Funktionen und zugehörige partielle Differentialgleichungen.- 61. Die Wurzelwerte der Gleichungen $$ 4\wp ^3 - g_2 \wp - g_3 = 0\,und\,4\wp ^3 - \overline g _2 - \wp \overline g _3 = 0 $$.- 62. Die Kennfunktionen $$ g_3 /\sqrt {g_2^3 } \,und\,\overline g _3 /\sqrt {\overline g _2^3 } $$. Äquianharmonische Sonderfälle.- 63. Die Umkehrungen der WEIEBSTRASSschen Funktionen und die 12 elliptischen Normalintegrale erster Gattung in der WEIERSTEASsschen Form.- 64. Allgemeine elliptische Integrale erster Gattung in der Weierstrassschen Form.- 65. Die Ableitungen nach.- 66. Darstellung der Ableitungen $$ \wp '_1 \,und\,\wp '_5 $$ durch Theta-Funktionen. Theta-Funktionen vom doppelten Argument.- 67. Trigonometrische, hyperbolische und Potenzreihen-Entwicklungen der Ableitungen nach z.- 68. Höhere Ableitungen und Differentialgleichungen höherer Ordnimg.- 69. Polverhalten.- 70. Konvergenzkreise zu den Entwicklungen der $$ [\wp - \,und\,\wp ' $$-Funktionen.- 71. Funktionswerte an den Stellen $$ 0,\frac,\frac{},\frac + \frac{}\,bzw.\,0,K,iK',K + iK' $$.- 72. Homogenitätstransformation für $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$.- 73. Gatjsssche Transformation.- 74. Landensche Transformation.- 75. Doppelargument-Transformation.- 76. Halbargument-Transformation.- 77. Reelle Darstellung der GAtrssschen Transformation.- 78. Substitutionen für die Argumentwerte $$ z + \frac,\,\,z + \frac{{iK'}},\,z + \frac + \frac{{iK'}} $$.- 79. Funktionswerte an den Stellen $$ \frac,\,\frac{},\,\frac + \frac{}\,bzw.\,\fracK,\,\fracK',\frac(K + iK') $$.- 80. Funktionsverlauf im Beeilen. Ausartungen für x ? 0 und x ? ?.- 81. Funktionsverlauf der Ableitungen im Beeilen. Ausartungen für und x ? 0 und x ? ?.- 82. Nullstellen im Reellen.- 83. Besonderheiten des quadratmasehigen Parameterfalles, (x = 1 bzw. k = k? = $$ \sqrt {\frac} $$.- 84. Besonderheiten der äquianharmonischen Parameterfälle. (Polmaschennetze unter 60° und 30°).- 85. Additionstheoreme.- 86. Verhalten der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 87. Ausartungen im Komplexen.- 88. Umkehrfunktionen von und $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$ im Komplexen und Ausartungen.- 89. Logarithmen der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 90. Ausartung der Logarithmen der $$ \wp $$-Funktionen im Komplexen.- 91. Umkehrfunktionen der Logarithmen von $$ \wp _1 \,und\,\wp _5 $$ im Komplexen.- 92. Darstellung der $$ \wp $$-Funktionen durch Quotienten von Quadraten von Theta-Funktionen. Beziehungen zwischen den um $$ e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } $$ bzw. —2e2 verminderten $$ \wp $$-Funktionen.- 93. Weitere Darstellungen der Ableitungen der $$ \wp $$-Funktionen nach z. Logarithmische Ableitungen der Funktionen $$ \wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text\,\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 94. Darstellung der Produkte $$ \frac{{(\wp - e_i )\,(\wp - e_j )}}{{(\wp - e_k )}} $$ durch $$ \wp $$-Funktionen.- 95. Differentialgleichungen und ergänzende Darstellungen der logarithmischen Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 96. Darstellung der Funktionen ip $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$ als Ableitungen von Area-Tangens- bzw. Area-Cotangens-Funktionen nach z.Weitere Produktdarstellungen.- 97. Weitere ergänzende Darstellungen der logarithmischen Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$-Weitere Funktionalgleichungen.- 98. Die Quadrate der $$ \wp $$-Funktionen und der Funktionen $$ \wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text{und }\wp _{\mathop \text\limits_\text } + 2e_2 $$.- 99. Die Differenzen der $$ \wp $$-Funktionen als zweite logarithmische Ableitungen.- 100. Produkte und Quadrate logarithmischer Ableitungen der Funktionen $$\sqrt {\wp - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$.- 101. Einiges über das Verhalten der Funktionen $$ \wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } \,\text\,\wp _{\mathop 5\limits_6 } + 2e_2 $$ sowie der Funktionen ln $$(\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } ) $$ und 2 In$$ \text{(}\wp _{\mathop \text\limits_\text } + 2e_2 ) $$ bzw. 2In $$ \sqrt {\wp _{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_{\mathop 3\limits_4 } } } - e_{\mathop 1\limits_{\mathop 2\limits_3 } } } $$ und 2In $$ \sqrt {\wp _{\mathop \text\limits_\text } + 2e_2 } $$ im Komplexen. Pole, Nullstellen und Randwerte im Grund Periodenbereich.- 102. Additionstheoreme der logarithmischen Ableitungen der Theta-Funktionen.- 103. 36 zweiparametrige Integrale. Identitätsgleichungen.- 104. Produktgruppen von Theta-Funktionen und ?-Funktionen.- 105. Die 12 elliptischen Normalintegrale zweiter Gattung in der Weierstbassschen Form.- 106. Die 40 elliptischen Normalintegrale dritter Gattung in der Weierstrassschen Form und die zugehörigen 28 Sonderintegrale. Rekursionsformeln für verwandte Integrale.- 107. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals in der Weierstrassschen Form auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.