Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen: Auf Funktionentheoretischer Grundlage Dargestellt

ISBN-13: 9783642884672 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 390 str.

Ludwig Bieberbach

Spis treści

§ 1. Die grundlegenden Existenzsätze.- 1. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Calcul des limites. Majorantenmethode.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Ein Satz von Painlevé.- 5. Analytische Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen und von Parametern.- 6. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung.- 7. Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 8. Lineare Differentialgleichungen und Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9. Schlußbemerkung über allgemeinere lineare Systeme.- § 2. Singuläre Stellen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Der Begriff der singulären Stelle der Differentialgleichung.- 2. Der Satz von Painlevé für uneigentliche Stellen.- 3. Wesentlich singuläre Stellen.- 4. Pole von f(w,z).- 5. Außerwesentlich singulare Stellen zweiter Art der Differentialgleichung.- § 3. Das Verhalten der Lösungen von dw/dz = (aw + bz)/(cw + dz) für konstante a, b, c, d im Punkte (0, 0).- 1. Zwei Beispiele.- 2. Transformation der Differentialgleichungen auf Normalformen.- 3. Klasseneinteilung der Differentialgleichung (3.2.3).- § 4. Außerwesentlich singuläre Stellen zweiter Art.- 1. Ansatz zur Klasseneinteilung.- 2. Integration der partiellen Differentialgleichungen (4.1.19).- 3. Integration und Klasseneinteilung der Differentialgleichungen (4.1.1).- 4. Über die Ausnahmewerte ?1/?2 = n und ?1/?2= 1/n.- 5. Negativ reelle Werte ?1/?2.- 6. Der Fall ?1= ?2.- 7. Verschwindende Determinante der Linearglieder.- 8. Die Briot-Bouquetschen Differentialgleichungen (4.7.16) und (4.7.19).- 9. Algebraische Singularitäten der Differentialgleichung.- 10. Singuläre Integrale.- 11. Verallgemeinerung für Systeme von Differentialgleichungen.- § 5. Differentialgleichungen erster Ordnung im Großen.- 1. Feste und bewegliche Singularitäten.- 2. Die Riccatische Differentialgleichung.- 3. Ein Satz von Malmquist.- 4. Ein Analogon des kleinen Picardschen Satzes.- 5. Algebraische Differentialgleichungen.- 6. Ein Satz von Rellich.- § 6. Lineare Differentialgleichungen im Kleinen.- 1. Das allgemeine Integral.- 2. Beispiele.- 3. Verlauf der Lösungen in der Nähe einer isolierten singulären Stelle.- 4. Ein Kriterium für außerwesentlich singuläre Stellen.- 5. Berechnung des kanonischen Fundamentalsystems in der Umgebung einer außerwesentlich singulären Stelle.- 6. Berechnung des kanonischen Fundamentalsystems in der Umgebung einer wesentlich singulären Stelle.- 7. Verallgemeinerungen.- 8. Homogene lineare Differentialgleichungen für quadratische Matrizen und Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9. Isolierte singuläre Stellen bei Systemen linearer Differentialgleichungen.- 10. Stellen der Bestimmtheit.- 11. Berechnung der Fundamentalsysteme in der Umgebung einer singularren Stelle.- 12. Integrale, die sich an wesentlich singulären Stellen bestimmt verhalten.- 13. Thomés Normalreihen.- 14. Die Wachstumsordnung der Integrale.- 15. Äquivalente singuläre Punkte.- § 7. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 1. Begriffsbestimmung.- 2. Die determinierenden Gleichungen.- 3. Differentialgleichungen mit ein oder zwei singulären Stellen.- 4. Differentialgleichungen mit drei singulären Punkten.- 5. Differentialgleichungen mit vier singulären Punkten.- § 8. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 1. Die hypergeometrische Reihe.- 2. Logarithmenfreies kanonisches Fundamentalsystem bei z = 0.- 3. Logarithmenhaltiges kanonisches Fundamentalsystem bei z = 0.- 4. Kanonische Fundamentalsysteme für z = 1 und z = ?.- 5. Funktionalgleichungen für die hypergeometrische Funktion.- 6. Analytische Fortsetzung von F (?, ?, ?; z).- 7. Beweise zur analytischen Fortsetzung.- 8. Analytische Fortsetzung der übrigen Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung.- 9. Analytische Fortsetzung in den Ausnahmefällen.- 10. Die Monodromiegruppe.- 11. Riemanns Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion.- 12. Die Schwarzsche Differentialgleichung.- 13. Konforme Abbildung.- 14. Algebraische Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Koeffizienten.- 15. Das Riemannsche Problem.- § 9. Die Besselsche Differentialgleichung.- 1. Fundamentalsystem bei z = 0.- 2. Die Besselsche Differentialgleichung als Grenzfall der Riemannschen.- 3. Asymptotisches Verhalten der Funktion Jn(z) für z ? ?.- 4. Zusammenhang mit Thomés Normalreihen.- 5 Elementare Integrale der Besselschen Differentialgleichung.- § 10. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse mit vier singulären Punkten.- 1. Uniformisierung.- 2. Ein Satz von Plemelj.- 3. Randwertaufgaben.- 4. Obertheoreme.- 5. Die Lamésche Differentialgleichung.- § 11. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 1. Periodische Lösungen.- 2. Das allgemeine Integral.- 3. Stabilität und Instabilität.- 4. Doppelperiodische Koeffizienten.- § 12. Einige weitere Untersuchungen.- 1. Die Painlevéschen Transzendenten.- 2. Hölders Satz über die Gammafunktion.- 3. Ein Satz von Hurwitz.- 4. Untersuchungen von Wittich.- 5. Das Prinzip von Zeev Nehari.- 6. Nullstellenfreie Gebiete.- 7. Randwertaufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.