Theorie Und Praxis Der Booleschen Algebra

ISBN-13: 9783528082734 / Niemiecki / Miękka / 1974 / 378 str.

M. Denglishis-Papin

Opis

Das vorliegende Werk besitzt eine seltene Eigenschaft: Einerseits ist es yom mathe matischen Standpunkt genau und so vollstandig, daB es moglich ist, den Begriff "Teil menge" der Mengenlehre streng mathematisch zu definieren, ohne die Kritik eines Mathe matikers hervorzurufen; andererseits wird jeder der eingeftihrten und axiomatisch defi nierten Begriffe mit Anwendungen und zahlreichen Beispielen aus der Erfahrung ver bunden, so daB die mathematische Definition nur nattirlich erscheint. Das Werk kann sicherlich ohne umfangreiche mathematische Kenntnisse gelesen und nutzbringend gebraucht werden, wasjedoch den reinen Mathematiker nicht hindert, genaue Ausftihrungen, die er beansprucht, zu finden. Zu diesem letzten Punkt mochte ich die Beziehung zwischen der Booleschen Algebra der Teilmengen einer Menge und der binaren Algebra zitieren. Dieses Buch wendet sich an alle, die sich mit Boolescher Algebra beschaftigen, und lenkt die Aufmerksamkeit sowohl der weniger Eingeweihten als auch der Spezia listen auf sich. Vergessen wir nicht, daB die Boolesche Algebrajeden Tag in neue Bereiche ein dringt. Das Feld der Anwendungen erscheint jedoch so groB, daB jeder neue Bereich den Leser, der das gesamte Werk irn Auge hat, vom Weg abbringen konnte. Es ist uns zu Beginn gelungen, eine gute Einftihrung der unendlichen Mengen zu geben, obwohl irn Folgenden nur endliche Mengen beriicksichtigt werden. Auf diese Weise erhalt der Leser eine gewisse Aufnahmebereitschaft, die fUr das weitere Werk notwendig ist. Meiner Kenntnis nach ist es die einzige Abhandlung tiber Mengenlehre, die die Ahnlichkeiten und Unterschiede zwischen dem mathematischen Begriff der Menge und den verschiedenen benachbarten intuitiven Begriffen hervorhebt.

Spis treści

Erster Teil: Boolesche Algebren.- 1. Begriffe zur Mengenlehre.- 1.1. Der „intuitive“Begriff der Anhäufung, der Ansammlung und der Menge.- 1.2. Der mathematische Begriff der Menge.- 1.3. Verfahren zur Definition einer Menge.- 1.4. Bezeichnungen.- 1.5. Die Inklusion.- 1.6. Teilmenge. Teil. Leere Menge. Komplement.- 1.7. Verknüpfungen von Mengen.- 1.8. Die Gültigkeit des Distributivgesetzes der Vereinigung und der Durchschnittbildung.- 1.9. Das Produkt zweier Mengen.- 1.10. Zuordnungen von Mengen.- 1.11. Kompositionsabbildung. Fortsetzung und Beschränkung.- 1.12. Indizierung.- 1.13. Die Mächtigkeit einer Menge.- 1.14. Übungen.- 2. Binäre Relationen (Äquivalenzrelationen — Ordnungsrelationen) Exkurs über Zahlensysteme (Binäres Zahlensystem).- 2.1. Binäre Relationen.- 2.1.1. Einleitung.- 2.1.2. Äquivalenzrelationen.- 2.1.3. Äquivalenzklasse. Quotientenmenge.- 2.1.4. Ordnungsrelationen.- 2.2. Das binäre Zahlensystem.- 2.2.1. Exkurs über die Zahlensysteme.- 2.2.2. Das Binärsystem.- 2.2.3. Operationen im Binärsystem.- 2.2.4. Das oktale und das binäre System.- 2.2.5. Die zur Darstellung einer Dezimalzahl notwendige Anzahl von binären Ziffern.- 2.3. Übungen.- 3. Definitionen und Eigenschaften der Booleschen Algebra.- 3.1. Wichtige Eigenschaften und Anwendungen.- 3.1.1. Einführung.- 3.1.2. Wiederholung der Eigenschaften der Inklusion.- 3.1.3. Weitere Eigenschaften.- 3.1.4. Das Distributivgesetz.- 3.1.5. Die Formel von A. de Morgan.- 3.1.6. Anwendung auf Probleme der Mengenalgebra.- 3.2. Maxterme, Minterme — Erste Berechnungen auf Booleschen Funktionen.- 3.2.1. Definitionen.- 3.2.2. Indizierung und Aufzählung der Minterme und Maxterme.- 3.2.3. Erstes Studium der Funktionen von zwei Klassen.- 3.2.4. Eigenschaften von Booleschen Funktionen bei einfachen Berechnungen.- 3.3. Übungen.- 4. Die beiden Normalformen.- 4.1. Eigenschaften der Minterme und Maxterme.- 4.2. Die erste Normalform.- 4.3. Die zweite Normalform.- 4.4. Überführung der ersten in die zweite Normalform und umgekehrt.- 4.5. Weitere Theoreme über die elementaren Kompositionen.- 4.6. Bestimmung der disjunktiven Normalform.- 5. Elementare Komponenten und erste Vereinfachungen von Funktionen.- 5.1. Elementare Komponenten.- 5.2. Verschiedene Funktionen, die effektiv von n Variablen abhängen.- 5.3. Die zum Ausdrücken einer Funktion in n Klassen maximale Anzahl von notwendigen Operationszeichen.- 5.4. Gebrauch der Exponentialentwicklung zur Vereinfachung der Ausdrücke.- 5.5. Anzahl der logischen Elemente.- 5.6. Übungen zu den Kapiteln 4 und 5.- 6. Binäre Boolesche Algebra.- 6.1. Charakteristische Funktionen der Klassen.- 6.2. Die charakteristische Funktion eines Durchschnitts.- 6.3. Die charakteristische Funktion einer Vereinigung.- 6.4. Die charakteristische Funktion und die Negation.- 6.5. Binäre Algebra.- 6.6. Wertetafeln.- 6.7. Funktionen in Booleschen Variablen. Normalformen.- 6.8. Tabelle von Aiken.- 6.9. Relationen der Booleschen Algebra.- 6.10. Die Operation der disjunktiven Summs und die Operation von Sheffer.- 6.11. Axiomatik der Booleschen Algebra.- 6.12. Übungen.- 7. Geometrische Darstellung der Booleschen Funktionen.- 7.1. Funktionen in zwei Variablen.- 7.2. Funktionen in drei Variablen.- 7.3. Funktionen in vier Variablen.- 7.4. Übungen.- 8. Boolesche Gleichungen. Gitter.- 8.1. Boolesche Gleichungen.- 8.1.1. Kurze Wiederholung früherer Ergebnisse.- 8.1.2. Disjunktive Normalform.- 8.1.3. Boolesche Probleme. Codierung.- 8.1.4. Ganze algebraische Funktionen und Gleichungen.- 8.1.5. Boolesche Gleichungen.- 8.1.6. Boolesche Funktionen, mit deren Hilfe sich alle anderen Funktionen darstellen lassen.- 8.1.7. Boolesche Algebra und gewöhnliche Algebra.- 8.2. Bemerkungen über Gitter.- 8.2.1. Einleitung: Rückblick auf binäre Relationen.- 8.2.2. Teilweise geordnete Mengen. Definitionen.- 8.2.3. Bezeichnungen.- 8.2.4. Gitter.- 8.2.5. Modulares Gitter.- 8.2.6. Distributives Gitter.- 8.2.7. Komplementäres Gitter.- 8.2.8. Boolesches Gitter. Boolescher Ring.- 8.2.9. Klassifizierung der Gitter.- 8.2.10. Globale Operationen.- 8.2.11. Rolle der irreduziblen Elemente in einem distributiven Gitter.- 8.3. Übungen.- 9. Methoden der Reduktion Boolescher Funktionen.- 9.1. Boolesche Berechnung.- 9.2. Kanonische Transpositionen.- 9.3. Diagramme von Veitch.- 9.4. Tafeln von Havard.- 9.5. Die Quinesche Methode.- 9.6. Bestimmung der optimalen Lösungen.- 9.7. Methoden der Faktorisierung.- 9.8. Übungen.- 10. Anwendung der Booleschen Algebra in der operationeilen Forschung.- 10.1. Anwendung der distributiven Gitter.- 10.2. Anwendungen auf klassische Probleme.- Zweiter Teil: Übungsbeispiele zur Booleschen Algebra.- 11. Boolesche Operationen auf Mengen.- 12. Übungen aus dem Gebiet der binären Relationen.- 13. Übungen zur Einführung in die Boolesche Algebra.- 14. Übungen zu den kanonischen Formen und den Elementargliedern.- 15. Wahrheitstafeln. Verwendung neuer Boolescher Operationen.- 16. Die geometrische Darstellung.- 17. Boolesche Gleichungen — Verbände.- 18. Methode zur Reduktion Boolescher Funktionen.- Namen- und Sachwortverzeichnis.