Spezielle Funktionen

ISBN-13: 9783322004673 / Niemiecki / Miękka / 1988 / 137 str.

Norbert Sieber; Hans-Jurgen Sebastian; Norbert Sieber

Opis

In diesem Band werden einige spezielle Funktionen dargestellt, denen man bei der Integration von Differentialgleichungen der mathematischen Physik und in den Ingenieurwissenschaften begegnet. Dabei wird dem allgemeinen Anliegen dieser Lehr buchreihe weitgehend Rechnung getragen, dass die Studierenden ihre mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit deren Anwendungen erwerben sollen. Die Theorie wird nur soweit behandelt, wie sie zum Verstandnis der physika lischen und technischen Probleme erforderlich ist. Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen der zu beschreibenden Funk tionen, die als Losungen von Differentialgleichungen auftreten, stehen ebenfalls im Vordergrund der Betrachtungen. Von den Eigenschaften konnten nur die wichtigsten, fur praktische Erfordernisse notwendige angegeben werden. Die mathematischen Untersuchungen werden insbesondere in den Kapiteln 2 bis 5 vorwiegend im Kom plexen durchgefuhrt. Jedoch wird mit Rucksicht auf die physikalisch-technischen Anwendungen immer auf die Darstellung im Reellen bezug genommen. Die Auswahl der Funktionen wurde ebenfalls von den Anwendungsmoglichkeiten bestimmt. Das erklart insbesondere die breitere Darstellung der Besselschen und der Kugelfunk tionen. Bedingt durch diesen Grundsatz konnte daher nicht in allen Kapiteln ein einheitliches mathematisches Vorgehen eingehalten werden. Vielmehr werden die jenigen Methoden bevorzugt, die den Besonderheiten der jeweiligen Funktionen angepasst sind. Das hat andererseits den Vorteil, dass die wesentlichen Kapitel 3 und 4 unabhangig voneinander lesbar sind. Im ersten Kapitel werden einige wichtige Begriffe zu orthogonalen Funktionen systemen bereitgestellt, die zum Verstandnis der Reihenentwicklung beitragen. Dabei werden die Laguerreschen, Hermiteschen und Tschebyschewschen Polynome als Beispiele ausfUhrlicher besprochen."

Spis treści

1. Orthogonale Funktionensysteme.- 1.1. Grundbegriffe.- 1.1.1. Einleitung.- 1.1.2. Annäherung nach der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate.- 1.1.3. Annäherung durch orthogonale Funktionen.- 1.1.4. Orthogonalisierung von linear. unabhängigen Funktionen.- 1.2. Spezielle Orthogonalsysteme.- 1.2.1. Die Laguerreschen Polynome.- 1.2.2. Die Hermiteschen Polynome.- 1.2.3. Die Tschebyschewschen Polynome.- 2. Gammafunktion.- 2.1. Definition und Darstellungen.- 2.1.1. Definition als Verallgemeinerung der Fakultät.- 2.1.2. Residuen von ?(z), Formel von Euler, Weierstraßsche Produktform, Hankelsche Integraldarstellung.- 2.2. Eigenschaften der Gammafunktion.- 2.3. Betafunktion.- 2.4. Anwendungen der Gamma- und Betafunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.- 3. Zylinderfunktionen.- 3.1. Allgemeine Bemerkungen und Einführung der Zylinderfunktionen 1. Art.- 3.2. Zylinderfunktionen 1. Art, Besselsche Funktionen.- 3.2.1. Definition und Eigenschaften bei ganzzahligem Index.- 3.2.2. Darstellung der Besselschen Funktionen mit ganzzahligem Index durch trigonometrische Integrale.- 3.2.3. Definition und grundlegende Eigenschaften der Besselfunktionen bei beliebigem komplexen Index.- 3.2.4. Weitere Integraldarstellungen für Besselfunktionen mit beliebigem Index.- 3.2.5. Asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen.- 3.2.6. Orthogonalität und Bemerkungen über Nullstellen.- 3.3. Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.- 3.3.1. Fundamentalsysteme von Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.- 3.3.1 Einige Eigenschaften der Neumannschen und Hankelschen Funktionen.- 3.3.3. Rein imaginäres Argument. Modifizierte Besselsche Funktionen.- 3.4. Einige Anwendungen.- 3.4.1. Eine Randwertaufgabe der potentialtheorie für einen Zylinder.- 3.4.2. Zum Problem der Stabknickung.- 3.4.3. Elektron im magnetischen Wechselfeld.- 3.4.4. Kreisplatten auf elastischer Bettung bei nichtrotationssymmetrischer Belastung.- 4. Kugelfunktionen.- 4.1. Allgemeine Bemerkungen.- 4.2. Zonale Kugelfunktionen.- 4.2.1. Legendresche Polynome.- 4.2.2. Eigenschaften der Legendreschen Polynome.- 4.2.3. Integraldarstellungen.- 4.3. Zugeordnete Kugelfunktionen.- 4.4. Legendresche Funktionen 2. Art.- 4.5. Kugelflächenfunktionen.- 4.5.1. Herleitung und Darstellung.- 4.5.2. Orthogonalität.- 4.5.3. Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen.- 4.6. Anwendungen der Kugelfunktionen.- 4.6.1. Randwertaufgaben für die Kugel.- 4.6.2. Potential einer inhomogen belegten Kugelfläche.- 4.6.3. Wasserstoffatom.- 5. Hypergeometrische Funktionen.- 5.1. Definition.- 5.2. Einige Eigenschaften.- 5.3. Integraldarstellungen und asymptotische Formeln.- 5.4. Darstellung der Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen.- Anhang: Zusammenstellung wichtiger Formeln.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.