Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide: Weak solution of the Stokes equations for non-Newtonian fluids

ISBN-13: 9783656855989 / Niemiecki / Miękka / 2015 / 52 str.

Daniel Janocha

Opis

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2012 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,3, Technische Universitat Darmstadt (Analysis, Partielle Differentialgleichungen), Sprache: Deutsch, Abstract: Die grundlegenden Gleichungen in der Stromungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie stellen ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen dar und beschreiben das Flieverhalten zaher Fluide. Man leitet die Navier-Stokes-Gleichungen unter der Bedingung her, dass die Reibung eine lineare Funktion der Geschwindigkeit ist. In dieser Bachelorarbeit wird die Existenz von schwachen Losungen unter der Annahme untersucht, dass die Reibung eine beliebige, nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit ist. Genauer soll die Nichtlinearitat ein monotoner Operator sein, der symmetrische, reelle 33-Matrizen auf ebensolche abbildet. Des Weiteren setzen wir voraus, dass das Fluid homogen und inkompressibel ist: Dies impliziert, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist. Die daraus resultierenden Stokes-Gleichungen nennen wir allgemeine Stokes-Gleichungen. Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, folgenden Satz zu beweisen: Seien das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld zur Zeit t = 0 und homogene Dirichlet-Randbedingungen gegeben. Dann existieren genau ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld u und genau ein Druckfeld p, sodass (u, p) das allgemeine Stokes-Problem im schwachen Sinne lost. Dabei seien auere Krafte vernachlassigbar. In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klaren, welche weiteren Bedingungen an den monotonen, nichtlinearen Operator gestellt werden mussen. Im ersten Kapitel leiten wir die Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachlassigung von aueren Kraften her, um im zweiten Kapitel das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem zu formulieren. Im Anschluss konstruieren wir die Helmholtz-Projektion, mit deren Hilfe wir den Druck aus den Gleichungen eliminieren konnen. Daraus erhalten wir ein aquivalentes Anfangs-Randwert-Problem. Um diese

Spis treści

1.: Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen 2.: Allgemeines Stokes-Problem 3.: Benötigte Funktionenräume 4.: Lösung des äquivalenten Problems 5.: Fazit und Ausblick