Repertorium Der Theorie Der Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783642880933 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 168 str.

F. G. Tricomi

Opis

Das vorliegende Buch hat den Zweck, manche Haupteigen schaften sowohl der gewohnlichen als auch der partiellen Differen tialgleichungen, die bei Anwendungen haufig auftreten, kurz in Erinnerung zu bringen. Die Sache ist aber auf so knappem Raum nur dadurch moglich gewesen, daB ich mich prinzipiell auf Anfangswertprobleme be schrankt habe. Dementsprechend fallen hier die (allerdings so wichtigen) Eigenwertprobleme bei gewohnlichen Differentialglei chungen und die partiellen Gleichungen vom elliptischen Typus vollstandig aus. AuBerdem wird hier der elementarste Teil der Theorie (trennbare Gleichungen usw.), den man tiberall finden kann, nicht behandelt. Allerdings findet man in diesem Repertorium etwas tiber par tielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus, nicht nur well diese Theorie zum groBen Teil vom Verfasser entwickelt wurde, sondern weil Angaben dartiber sonst schwer zu finden sind. Die Schreibart ist zum groBen Teil enzyklopadisch, daher werden meistens die Beweise unterdrtickt oder nur skizziert. Trotz dem sollen die angcgebenen Winke gentigen, den Geist der ver schiedenen Satze richtig zu erfassen, so daB manchmal dieses Btich lein allein fi.ir viele Anwendungen gentigend sein mag. Insbesondere wird der numerischen Behandlung der betrachteten Probleme immer die pass en de Aufmerksamkeit geschenkt."

Spis treści

Erstes Kapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1.1 Gleichungen höherer Ordnung und Systeme.- 1.2 Darstellung durch Richtungs- und Vektorfelder.- 1.3 Singuläre Stellen des Richtungsfeldes einer Differentialgleichung erster Ordnung.- 1.4 Stabilität und Instabilität. Das Verfahren von Ljapunov.- 1.5 Anwendung auf das Pendelproblem.- 1.6 Numerische Integrationsverfahren.- 1.7 Über die Theorie der linearen Differentialgleichungen.- 1.8 Zurückführung einer linearen Differentialgleichung auf eine Volterrasche Integralgleichung.- 1.9 Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 1.10 Die Gaußsche hypergeometrische Differentialgleichung.- 1.11 Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung.- 1.12 Die Besseische Differentialgleichung.- Zweites Kapitel Partielle Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus.- 2.1 Allgemeine Bemerkungen.- 2.2 Kanonische Formen der hyperbolischen Differentialgleichungen und Systeme.- 2.3 Das Kettenverfahren von Laplace.- 2.4 Die Differentialgleichung von Euler-Poisson.- 2.5 Die Wellengleichung.- 2.6 Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung im Fall n = 1. Die Probleme von Darboux und Goursat.- 2.7 Die Riemannsche Lösung des Anfangswertproblems für die hyperbolischen Differentialgleichungen.- 2.8 Numerische Behandlung des Darbouxschen und Cauchyschen Problems mit Hilfe des Differenzen Verfahrens.- 2.9 Die Grundgleichungen der Gasdynamik.- 2.10 Unstetige Lösungen von Anfangswertproblemen.- 2.11 Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen.- 2.12 Weiteres über die Wellengleichung.- Drittes Kapitel Partielle Differentialgleichungen vom parabolischen Typus.- 3.1 Die Wärmeleitungsgleichung. Parabolische Differentialgleichungen und Systeme.- 3.2 Das Problem der Abkühlung eines dünnen Stabes.- 3.3 Ein Eindeutigkeitssatz für parabolische Differentialgleichungen.- 3.4 Anwendung der Greenschen Methode.- 3.5 Der einseitig unendliche Wärmeleiter.- 3.6 Anwendung des Differenzen Verfahrens.- 3.7 Der zweiseitig unendliche Wärmeleiter und die Zerlegung einer Funktion in Gaußsche Fehlerkurven.- Viertes Kapitel Partielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus.- 4.1 Die verschiedenen Untertypen und die entsprechenden kanonischen Formen.- 4.2 Differentialgleichungen vom gemischten Typus und die transsonische Gasdynamik.- 4.3 Die T-Gleichung in ihrer hyperbolischen Halbebene.- 4.4 Das Tricomische Problem und der entsprechende Eindeutigkeitssatz.- 4.5 Die T-Gleichung in ihrer elliptischen Halbebene.- 4.6 Der Existenzsatz für das Tricomische Problem und die „transonic controversy“.- 4.7 Spezielle Lösungsklassen der T-Gleichung.- 4.8 Weitere partielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.