Quadratische Formen und orthogonale Gruppen

ISBN-13: 9783642807657 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 224 str.

Martin Eichler

Opis

wirkung des Raumes mit seiner Bewegungsgruppe. Dementsprechend ist der Weg, auf dem del' Leser hier gefiihrt wird, zweigleisig; es wechseln Dbedegungen, welche den Raum bzw. die seine Metrik definierende quadratische Form betreffen, mit Betrachtungen liber seine Bewegungs- gruppe, die orthogonale Gruppe im weitesten Sinne. Der Titel bringt diese doppelte Aufgabe zum Ausdruck. Beachtet man, daB die Theorie der hyperkomplexen Systeme in ihrer historischen Entwicklung und ihrem heutigen Bestand weitgehend mit der Darstellung von Gruppen durch Abbildungen eines affinen Raumes auf sich ubereinstimmt, so ergibt sich damit die Stellung im heutigen GefUge der Mathematik, welche die Arithmetik der quadratischen Formen beanspruchen muB. Sie ist im gleichen Sinne neben del' hyperkomplexen Algebra und Arith- metik einzuordnen, wie die orthogonale Gruppe neben der affinen steht. Ich hoffe, daB die Herausarbeitung der gruppentheoretischen Motive in del' Theorie der quadratischen Formen den Erfolg hat, daB die beiden aus den Disquisitiones Arithmeticae erwachsenen Zweige der Arithmetik einander naher gebracht werden, und daB so die Einheit un serer Wissen- schaft gefordert wird. Wenngleich das Buch vieles in diesel' Form Neue bringt, bin ieh mil' bewuBt, daB mil' die Anregungen hierzu von vielen Seiten zugeflossen sind, wovon die im Text vorkommenden Namen, die vielfach un serer Generation angehoren, Zeugnis ablegen. Nicht immer ist es aber moglich, den Urheber eines Gedankens exakt festzulegen; Wissenschaft ist Gemeinschaftsar bei t.

Spis treści

Erstes Kapitel. Algebra der metrischen Räume.- § 1. Der metrische Raum und seine Automorphismen.- 1. Definition eines metrischen Raumes.- 2.Halbeinfache Räume.- 3. Die Automorphismen eines metrischen Raumes.- 4. Darstellung der Automorphismen durch Spiegelungen.- 5. Die Irreduzibilität der orthogonalen Gruppe.- 6. Die Ähnlichkeitstransformationen.- § 2. Die Typen der metrischen Räume.- § 3. Die Automorphismengruppe eines isotropen Raumes.- 1. Die Erzeugung von 𝔒 aus gewissen Untergruppen.- 2. Eine Darstellung der Automorphismen durch Matrizen.- 3. Beweis für Satz 3.1.- 4. Die Struktur der Gruppe 𝔒.- 5. Beweis für Satz 3.5.- § 4. Die Spinor-Darstellung der orthogonalen Gruppe.- 1. Die Cliffordschen Algebren.- 2. Die Darstellung der Automorphismengruppe von R in C2.- 3. Die Darstellung der Ähnlichkeitstransformationen in C2.- § 5. Räume der Dimensionen 2 bis 6.- 1. Zweidimensionale Räume.- 2. Dreidimensionale Räume.- 3. Die Modulargruppe.- 4. Vierdimensionale Räume.- 5. Fünfdimensionale Räume.- 6. Sechsdimensionale Räume.- Zweites Kapitel. Metrische Räume über perfekten diskret bewerteten Körpern.- § 6. Die Grundeigenschaften perfekter diskret bewerteter Körper und ihrer quadratischen Erweiterungen.- 1. Quadratische Erweiterungen.- 2. Quaternionen-Algebren.- § 7. Invariante Kennzeichnung der Räume und Raumtypen.- 1. Die Q-Räume.- 2. Aufzählung der anisotropen Räume.- 3. Die Invarianten der Räume und Raumtypen.- § 8. Räume und Raumtypen über den Körpern der reellen und komplexen Zahlen.- § 9. Die Gitter.- 1. Definitionen.- 2. Kanonische Basen.- 3. Maximale Gitter.- 4. Beispiele.- § 10. Die Einheiten.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Die Einheiten in isotropen Räumen.- 3. Assoziierte Vektoren.- § 11. Die Ideale.- 1. Ganze Ähnlichkeitstransformationen.- 2. Definition und Grundeigenschaften der Ideale.- 3. Die Anzahl der ganzen Ideale, welche einen Vektor teilen.- 4. Einzelausführungen.- Drittes Kapitel. Die elementare Arithmetik der metrischen Bäume über algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern.- § 12. Die Gitter.- 1. Die 𝔭-adischen Erweiterungen eines Gitters.- 2. Die Gitter als endliche Moduln.- 3. Die Ähnlich-keits- und Isomorphieklassen.- 4. Fortsetzung.- 5. Der Linearformensatz von Minkowski.- § 13. Die Ideale.- 1. Kennzeichnung von Gittern.- 2. Grundeigenschaften der Ideale.- 3. Klassen und Geschlechter.- 4. Die Spinor-Geschlechter.- § 14. Beziehungen zur Arithmetik der Cliffordschen Algebren.- 1. Zweidimensionale Räume und quadratische Zahlkörper.- 2. Gitter in R und Ordnungen in C2.- 3. Ideale in R und in C2.- § 15. Gitter in isotropen Räumen.- 1. Spinor-verwandte Gitter.- 2. Maximale Gitter.- § 16. Die elementare Theorie der Einheiten.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Ordnung der Einheitengruppen.- 3. Die relativen Maße der Einheiten-gruppen.- 4. Die Einheitengruppen von Teilräumen.- Viertes Kapitel. Vektoren und Ideale.- § 17. Die Anzahlmatrizen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Verallgemeinerung der Anzahlmatrizen.- 3. Transformation der Anzahlmatrizen auf Normalgestalt.- § 18. Eine Reduktion der Anzahlmatrizen.- 1. Die relativen Darstellungsmaße.- 2. Verknüpfung mit den Anzahlmatrizen, ein Spezialfall.- 3. Der allgemeine Fall.- 4. Multiplikative Eigenschaften der Darstellungsmaße.- 5. Zusätzliche Bemerkungen.- 6. Die Übertragung auf die verallgemeinerten Anzahlmatrizen.- § 19. Eine weitere Reduktion der Anzahlmatrizen.- 1. Durchführung der Reduktion.- 2. Die relativen Darstellungsmaße bez. der Halbgeschlechter.- § 20. Die Thetafunktionen.- 1. Einführung.- 2. Die Reziprozitätsformel.- 3. Gaußsche Summen.- 4. Die Modulgruppe.- 5. Die Darstellung der Modulgruppe im Raum der Thetafunktionen.- § 21. Modulformen und Modulfunktionen.- 1. Funktionentheoretische Grundlagen.- 2. Die Heckeschen Operatoren.- 3. Anwendung auf die Thetafunktionen.- 4. Weitere Ergebnisse.- 5. Formen der Stufe 1.- 6. Quaternäre Formen mit quadratischer Diskriminante.- Fünftes Kapitel Die höhere Arithmetik der metrischen Räume, insbesondere über dem Körper der rationalen Zahlen.- § 22. Die Q-Räume.- 1. Die Hauptsätze.- 2. Beweise für den Spezialfall des rationalen Zahlkörpers.- 3. Ternäre inhomogene Gleichungen.- § 23. Invariante Kennzeichnung der Räume und Raumtypen.- 1. Anisotrope Räume.- 2. Die Normaldarstellung der Raumtypen.- 3. Die Normen der Ähnlichkeitstransformationen.- § 24. Die elementare Theorie der Maße.- 1. Einführung.- 2. Das Einbettungsmaß.- 3. Beziehungen zwischen dem Einbettungsmaß und dem Maß von Geschlechtern in Teilräumen.- 4. Die 𝔭-adischen Maße und Einbettungsmaße.- 5. Eine Anwendung.- § 25. Das absolute Maß der 𝔭-adischen Eiheitengruppen.- 1. Die Einteilung der automorphen Einheiten in Restklassen.- 2. Die Definition der absoluten Maße.- 3. Die Einheitengruppen von Teilräumen.- 4. Berechnung der absoluten Maße.- § 26. Die analytische Maßformel für definite Räume.- 1. Die Hauptsätze.- 2. Beweis für Satz 26.1.- 3. Weitere Ausführungen.- § 27. Die geometrische Theorie der Einheiten.- 1. Einführung.- 2. Diskontinuitätsbereiche.- 3. Das invariante Volumenelement.- 4. Das absolute Gruppenmaß.- 5. Die geometrische Bedeutung der Einheitentheorie.- § 28. Die analytische Maßformel für allgemeine Räume.- 1. Die Hauptsätze.- 2. Der Beweis.- Hinweise auf nicht berücksichtigte Literatur.- Anmerkungen.- Namen- und Sachverzeichnis.