Optimierungsverfahren: Für Variationsaufgaben Mit Gewöhnlichen Differentialgleichungen ALS Nebenbedingungen

ISBN-13: 9783642516375 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 292 str.

H. Tolle

Opis

Die vorliegende Einfuhrung in Optimierungsverfahren mit Differen tialgleichungen als Nebenbedingungen ist aus einem Vorlesungszyklus entstanden, den ich gemeinsam mit S. Reg e n b erg im Oktober 1966 im Brennpunkt fur Navigation der Technischen Universiti: it Ber lin auf Anregung von Professor Dr.-Ing. E. R 0 g e r und Privat Dozent Dr.-Ing. H. Z e hIe gehalten und spater im Rahmen eines Lehrauftrages der Technischen Universitat Berlin fortgesetzt habe 75] . Der Band bildet eine gewisse Erganzung zu der sehr ausfuhrlichen und schonen Behandlung der klassischen Variationsrechnung durch P. Fun k 11] und der Darstellung der linearen und nichtlinearen Programmierung durch L. Colla t z und W. Wet t e r 1 i n g 7], die in den letzten Jahren im Springer-Verlag erschienen sind. Es werden ausgehend von dem in den drei iger Jahren dieses Jahrhun derts gegebenen Zugang zur Variationsrechnung von C. Car a t h e o d 0 r y 6] im wesentlichen Verfahren behandelt, die erst nach 1950 entstanden sind.

Spis treści

I. Grundlagen.- 1. Übersicht über die zu erörternden Verfahren und ihre Zusammenhänge.- 1.1. Aufgabenstellung.- 1.2. Charakterisierung der verschiedenen Optimierungsverfahren.- 1.3. Schematische Verknüpfung und zeitliche Einordnung der Verfahren.- 2. Allgemeine Skizzierung der Variationsrechnung.- 2.1. Erläuterung der Hauptbegriffe über den Zugang von Carathéodory.- 2.1.1. Der Zugang von Carathéodory.- 2.1.2. Eulersche und Hamilton-Jacobische Differentialgleichungen.- 2.1.3. Transversalität.- 2.1.4. Regularität.- 2.1.5. Berechnung der Extremalen aus Kurven gleichen Extremwerts und umgekehrt.- 2.1.6. Beispiel für die Behandlung einer Minimalaufgabe mit der Eulerschen und der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung.- 2.1.7. Die Erdman-Weierstraßschen Eckenbedingungen.- 2.2. Theorie der in y’ linearen Integranden.- 2.2.1. Problemstellung.- 2.2.2. Feststellung des Charakters der Extremalen bei fehlender Abhängigkeit von y’.- 2.2.3. Die Mielesche Problemstellung.- 2.2.4. Maximale Steighöhe einer Höhenrakete als Beispiel zur Mieleschen Theorie.- 2.3. Variationsprobleme mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 2.3.1. Verallgemeinerung der Grundbegriffe der Variationsrechnung.- 2.3.2. Besonderheiten der Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 2.3.3. Lagrangesches, Mayersches und Bolzasches Problem.- II. Indirekte Verfahren.- 1. Das Pontryaginsche Maximumprinzip.- 1.1. Das Grundtheorem.- 1.1.1. Aufgabenstellung.- 1.1.2. Notwendige Bedingungen für 1.1.1.- 1.1.3. Ergänzende Erläuterungen.- 1.2. Die Sätze der Pontryaginschen Theorie.- 1.2.1. Grundlagen.- 1.2.2. Zusammenstellung der Hauptsätze der Pontryaginsche Theorie.- 1.2.3. Behandlung der maximalen Steighöhe einer Höhenrakete mit der Pontryaginschen Theorie.- 1.3. Lineare schnelligkeitsoptimale Systeme.- 1.3.1. Besonderheiten der linearen Systeme.- 1.3.2. Zwei charakteristische Beispiele.- 1.3.3. Allgemeine Zusammenhänge.- 1.4. Das Syntheseproblem.- 1.4.1. Erläuterungen zur Problemstellung.- 1.4.2. Allgemeine Aussagen zum Syntheseproblem.- 2. Anpassung der Variationsrechnung an die neueren Aufgabenstellungen.- 2.1. Das Mayersche und das Lagrangesche Problem mit der Pontryaginschen Unterscheidung zwischen Lagekoordinaten und Steuerfunktionen.- 2.1.1. Umformulierung des Mayerschen und des Lagrangeschen Problems.- 2.1.2. Vergleich der sich ergebenden Bedingungsgleichungen mit dem Pontryaginschen Maximumprinzip.- 2.1.3. Das Prinzip der Vereinfachung der Aufgabenstellung durch Erweiterung der Nebenbedingungen.- 2.1.4. Beispiel: Optimaler Flug im Vakuum.- 2.2. Einfache Herleitung für die durch Nebenbedingungen induzierten Forderungen für das Vorliegen eines Optimums.- 2.2.1. Die Lagrangesche Herleitung der Eulerschen Gleichung.- 2.2.2. Anwendung der Lagrangeschen Herleitung auf allgemeinere Aufgabenstellungen durch formale Erweiterung.- 2.2.3. Einfache Beschränkungen für die Steuerfunktionen.- 2.3. Allgemeine Behandlung von Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 2.3.1. Formulierung der Einschränkung durch Ungleichungen.- 2.3.2. Die Optimierungsbedingungen bei Vorliegen von Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 2.3.3. Eine identische Lösung der Eulerschen Gleichungen für das eingeschränkte Teilstück.- 2.3.4. Ein Beispiel für Optimierungsaufgaben mit Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 2.4. Sprünge in den Lagekoordinaten.- 2.4.1. Problemstellung.- 2.4.2. Bedingungen für Sprünge in den Lagekoordinaten.- 3. Numerische Losung des Randwertproblems für Systeme gewöhnlicher, nichtlinearer Differentialgleichungen.- 3.1. Grundlagen.- 3.1.1. Problemstellung.- 3.1.2. Ausgangsgleichungen.- 3.2. Iterative Erfüllung der Randbedingungen bei Erfüllung der Differentialgleichungen.- 3.2.1. Systematische Variation der Anfangswerte.- 3.2.2. Beispiel: Optimaler Flug im Vakuum.- 3.2.3. Exakte Berechnung der partiellen Ableitungen nach den freien Anfangswerten.- 3.2.4. Weitere Methoden.- 3.3. Iterative Erfüllung der Differentialgleichungen.- 3.3.1. Darstellung des Grundprinzips.- 3.3.2. Ähnlichkeiten des Verfahrens mit dem Newtonschen Verfahren zur Bestimmung der Wurzeln einer Punktion f(z?) = 0.- 3.3.3. Ergänzende Bemerkungen.- III. Direkte Verfahren.- 1. Gradientenverfahren 1. Ordnung.- 1.1. Das Gradientenverfahren für gewöhnliche Extremalaufgaben.- 1.1.1. Grundgleichungen.- 1.1.2. Stufenoptimierung als Beispiel zum Gradientenverfahren.- 1.1.3. Gewöhnliche Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen.- 1.1.4. Grenzen des Gradientenverfahrens.- 1.2. Das Gradientenverfahren für einfache Variationsprobleme.- 1.3. Das Gradientenverfahren für Optimierungsprobleme mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 1.3.1. Die Schlüsselgleichung für Optimierungsprobleme mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 1.3.2. Diskussion verschiedener einfacher Aufgabenstellungen.- 1.3.3. Einschränkungen für Steuerfunktionen und Lagekoordinaten.- 1.3.4. Behandlung der maximalen Steighöhe einer Höhenrakete mit dem Gradientenverfahren.- 1.3.5. Erörterung der allgemeinen Aufgabenstellung.- 1.3.6. Approximationsgrad der Originaltrajektorien.- 2. Verallgemeinerungen des Gradientenverfahrens 1. Ordnung und verwandte Verfahren.- 2.1. Das Gradientenverfahren 2. Ordnung.- 2.1.1. Definition des Gradientenverfahrens 2. Ordnung.- 2.1.2. Herleitung der Formeln.- 2.2. Verfahren teilweiser Entwicklung bis zur 2. Ordnung.- 2.2.1. Grundformeln der Teilentwicklung.- 2.2.2. Lösung der allgemeinen Aufgabenstellung gemäß der Teilentwicklung.- 2.2.3. Das einfache Extr.-H-Verfahren.- 2.2.4. Verallgemeinerungen des einfachen Extr.-H-Verfahrens.- 2.3. Zusammenhänge zwischen der numerischen Lösung der Bedingungsgleichungen und dem Gradientenverfahren.- 2.3.1. Systematische Querverbindungen.- 2.3.2. Vergleich der Güte der verschiedenen beschriebenen Verfahren.- 3. Das Bellmansche Verfahren des “dynamischen Programmierens”.- 3.1. Das Bellmansche Verfahren für gewöhnliche Extremalaufgaben.- 3.1.1. Vorbemerkungen.- 3.1.2. Das Bellmansche Verfahren in seiner einfachsten Form.- 3.1.3. Lösung eines elementaren Beispiels.- 3.1.4. Allgemeine Vorteile des Bellmanschen Verfahrens und Vergleich mit dem systematischen Absuchen eines Punktgitters.- 3.2. Das Bellmansche Verfahren für einfache Variationsprobleme.- 3.2.1. Das Bellmansche Vorgehen.- 3.2.2. Die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung als Grenzwert des Bellmanschen Verfahrens.- 3.3. Das Bellmansche Verfahren für Optimierungsprobleme mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen.- 3.3.1. Behandlung der Pontryaginschen Aufgabenstellung.- 3.3.2. Grundsätzliche Erörterung eines Beispiels.- 3.3.3. Analytische Betrachtung des Beispiels entsprechend einem Grenzübergang beim Bellmanschen Verfahren und nach dem Pontryaginschen Maximumprinzip.- 3.3.4. Schlußfolgerungen.- 3.3.5. Variationsmöglichkeiten beim Bellmanschen Verfahren.- 3.4. Numerische Aspekte des Bellmanschen Verfahrens.- 3.4.1. Abschätzung des Rechenaufwandes.- 3.4.2. Polynom-Approximation zur Abschwächung des Dimensionsproblems.- 3.4.3. Behandlung der maximalen Steighöhe einer Höhenrakete mit dem Bellmanschen Verfahren.- 3.5. Lineare Prozesse mit quadratischen Leistungskriterien.- 3.5.1. Grundlagen.- 3.5.2. Ein praktisches Beispiel.- 3.5.3. Analytische Lösung mit dem Bellmanschen Verfahren.- 1. Bücher.- 2. Aufsätze.- 3. Übersichten.- 4. Anmerkungen zur Literatur.