Numerische Mathematik Für Ingenieure Und Physiker: Band 2: Numerische Methoden Der Analysis

ISBN-13: 9783540518914 / Niemiecki / MiÄ™kka / 1989 / 474 str.

Willi Trnig; Peter Spellucci; Willi Tarnig

Opis

Der zweite Band dieses Lehrbuches und Nachschlagewerkes enthalt in drei Teilen numerische Methoden zur Interpolation, Approximation und numerischen Integration und zur numerischen Losung von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Bei den Differentialgleichungen werden sowohl Anfangs- als auch Randwertprobleme betrachtet und hierfur Differenzenverfahren und Variationsmethoden untersucht. Als Spezialfall der Variationsmethoden wird die Methode der finiten Elemente behandelt. Bei den gewohnlichen Differentialgleichungen wird auf die numerische Losung der in technischen Anwendungen wichtigen steifen Differentialgleichungssysteme eingegangen. Die numerische Losung von Randwertproblemen gewohnlicher und elliptischer Differentialgleichungen wird durch eine Einfuhrung in die Mehrgitterverfahren abgerundet. Infolge der raschen Entwicklung numerischer Verfahren musste der zweite Band gegenuber dem der ersten Auflage erheblich erweitert werden. Vorausgesetzt werden mathematische Kenntnisse, wie sie Ingenieuren und Physikern im Grundstudium an Technischen Universitaten vermittelt werden. Zusatzliche Kenntnisse uber Differentialgleichungen sind nutzlich. Auch fur Mathematiker und Informatiker, die sich mit der Anwendung moderner numerischer Methoden beschaftigen, ist das Buch interessant."

Spis treści

V Interpolation, Approximation und numerische Integration.- 11 Interpolation und Approximation.- 11.1 Interpolation durch Polynome.- 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom.- 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation.- 11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen.- 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2.2 Darstellung des Fehlers.- 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen.- 11.3 Ergänzungen zur Interpolation. Numerische Differentiation.- 11.3.1 Hermite-Interpolation.- 11.3.2 Inverse Interpolation.- 11.3.3 Interpolation als Approximationsprozeß.- 11.3.4 Numerische Differentiation.- 11.4 Approximation durch Polynome.- 11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem.- 11.4.2 Die Polynomapproximation.- 11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen.- 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen.- 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogonalfunktionen.- 11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen.- 11.6.1 Konvergenzfragen.- 11.6.2 Legendresche Polynome.- 11.6.3 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion*.- 11.7 Approximation periodischer Funktionen.- 11.7.1 Trigonometrische Approximation.- 11.7.2 Näherungsformeln für die Fourierkoeffizienten.- 11.7.3 Komplexe Form der trigonometrischen Approximation.- 11.8 Approximation empirischer Funktionen.- 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme.- 11.8.2 Approximation durch Polynome.- 11.8.3 Approximation periodischer Funktionen, schnelle Fourierapproximation*.- 11.9 Zweidimensionale Approximation*.- 11.10 Orthogonale Anpassung*.- 12 Spline—Interpolation.- 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen.- 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges.- 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen.- 12.2 Definition der kubischen Splines.- 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion.- 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines.- 12.3 Der kubische Interpolationsspline.- 12.3.1 Berechnung des Splines.- 12.3.2 Der Algorithmus.- 12.4 Fehlerbetrachtungen.- 12.5 Weitere Splinekonstruktionen.- 12.6 Darstellung differenzierbarer Kurven durch Splinefunktionen*.- 12.7 Basis-Darstellung der kubischen Spline-Funktionen.- 12.8 Zweidimensionale Spline-Interpolation*.- 12.9 Beispiel.- 13 Numerische Integration.- 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ.- 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln.- 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln.- 13.2 Summierte Quadraturformeln.- 13.2.1 Das Verfahren.- 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln.- 13.3 Romberg-Integration.- 13.3.1 Das Prinzip.- 13.3.2 Der Algorithmus.- 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration.- 13.3.4 Ergänzungen.- 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren.- 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung.- 13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte.- 13.4.3 Ergänzungen.- 13.5 Adaptive Quadratur und Kontrolle des Quadraturfehlers*.- 13.6 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale.- 13.7 Numerische Kubatur.- 13.7.1 Tensorprodukt-Methoden*.- 13.7.2 Summierte Kubaturverfahren.- VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 14 Anfangsprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren.- 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren.- 14.1.3 Das Polygonzug verfahren.- 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren.- 14.2 Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.1 Allgemeine Herleitung der Verfahren.- 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren.- 14.3 Konsistenz und Konvergenz.- 14.3.1 Konsistente Verfahren.- 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren.- 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung.- 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 14.4 Schrittweitensteuerung und Kontrolle des globalen Diskretisierungs- fehlers*.- 14.5 Ergänzungen zur Theorie der Einschritt-Verfahren.- 14.5.1 Rundungsfehlereinfluß.- 14.5.2 Parameterabhängige Differentialgleichungen*.- 14.5.3 Differentialgleichungen mit unstetiger bzw. nicht differenzierbarer rechter Seite*.- 14.6 Mehrschritt-Verfahren.- 14.6.1 Einführung.- 14.6.2 Kurzer Uberblick über die Theorie der Mehrschritt-Verfahren.- 14.6.3 Anwendung von Mehrschritt-Verfahren in der Praxis*.- 14.7 Steife Differentialgleichungen.- 14.7.1 Einführung.- 14.7.2 Lineare Stabilität von Diskretisierungsverfahren für Anfangswertprobleme.- 14.7.3 Nichtlineare Stabilität*.- 14.7.4 Implizite Runge-Kutta-Verfahren und Rosenbrock-Verfahren*.- 14.8 Differentialgleichungen in impliziter Form*.- 15 Rand— und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie.- 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems.- 15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen.- 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren.- 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem.- 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren.- 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens.- 15.4 Die Methode der finiten Elemente.- 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen.- 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen.- 15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen*.- 15.5 Schieß verfahren.- 15.5.1 Einfachschieß verfahren.- 15.5.2 Das numerische Einfachschießverfahren.- 15.5.3 Das Schieß verfahren für nicht lineare Randwertaufgaben*.- 15.6 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme.- 15.6.1 Das Eigenwertproblem.- 15.6.2 Das Differenzenverfahren.- 15.7 Ergänzungen.- 15.7.1 Elementares Beispiel bei Anwendung nichtäquidistanter Gitter.- 15.7.2 Differentialgleichung 4. Ordnung.- VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen.- 16 Differenzenverfahren.- 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken.- 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen 2. Ordnung.- 16.1.2 Typeneinteilung.- 16.1.3 Charakteristiken.- 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme.- 16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem.- 16.2.2 Das Differenzenverfahren.- 16.3 Explizite Differenzenverfahren.- 16.3.1 Problemstellung.- 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren.- 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens.- 16.4 Implizite Differenzenverfahren.- 16.4.1 Konstruktion der Verfahren.- 16.4.2 Konvergenz der Verfahren.- 16.4.3 Nichtlineare Probleme.- 16.5 Die Linienmethode.- 16.5.1 Das Prinzip des Verfahrens.- 16.5.2 Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme.- 16.5.3 Nichtlineare parabolische Differentialgleichungen.- 16.6 Ergänzungen.- 16.6.1 Parabolische Probleme in 2 und 3 Raumvariablen*.- 16.6.2 Differentialgleichungen in der Strömungsmechanik*.- 17 Hyperbolische Systeme 1. Ordnung.- 17.1 Einige Grundlagen der Theorie.- 17.1.1 Klassifizierung.- 17.1.2 Normalform.- 17.1.3 Charakteristiken.- 17.1.4 Das Anfangswertproblem.- 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungsmechanik.- 17.2 Charakteristikenverfahren.- 17.2.1 Das Prinzip.- 17.2.2 Der lineare Fall.- 17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall.- 17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern.- 17.3.1 Das Anfangswertproblem.- 17.3.2 Das Differenzenverfahren.- 17.3.3 Zwei spezielle Verfahren.- 17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren.- 18 Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 18.1 Elliptische Randwertprobleme.- 18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme.- 18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme.- 18.1.3 Allgemeine Variationsprobleme und Randwertprobleme.- 18.2 Differenzenverfahren.- 18.2.1 Das Modellproblem.- 18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete.- 18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben.- 18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente.- 18.3.1 Das Ritzsche Verfahren.- 18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente.- 18.3.3 Die praktische Aufstellung des FE-Gleichungssystems*.- 18.3.4 Ansatzfunktionen höherer Ordnung.- 18.3.5 Isoparametrische Elemente*.- 18.3.6 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen.- 18.3.7 Ergänzungen.- 19 Lösung diskretisierter Randwertprobleme durch iterative Mehrgitterverfahren.- 19.1 Das eindimensionale Modellproblem.- 19.1.1 Das Modellproblem.- 19.1.2 Glättende Iterationen.- 19.1.3 Ein Zweigitterverfahren.- 19.1.4 Mehrgitterverfahren.- 19.2 Randwertprobleme der Poisson-Gleichung.- 19.2.1 Glättende Iterationen.- 19.2.2 Restriktion und Prolongation.- 19.2.3 Mehrgitterverfahren.- 19.2.4 Rechenaufwand.- 19.2.5 Schlußbemerkungen.- 20 Hinweise zu weiteren Verfahren für Randwertprobleme und Integralgleichungen.- 20.1 Kollokationsverfahren.- 20.2 Die Randelementmethode*.- 20.3 Hinweise zur Lösung von Integralgleichungen*.