Numerische Mathematik Für Ingenieure Und Physiker: Band 1: Numerische Methoden Der Algebra

ISBN-13: 9783540191926 / Niemiecki / Miękka / 1988 / 345 str.

Willi Tarnig; Peter Spellucci

Opis

Das auf zwei Bande angelegte Werk soll ein Lehr- und Nachschlagewerk sein. Es will Ingenieure und Naturwissenschaftler mit der Auswahl von solchen effizienten numerischen Verfahren vertraut machen, die bei der Losung von technischen und naturwissenschaftlichen Aufgaben von Bedeutung sind. Der erste Band enthalt in vier Teilen numerische Methoden zur Nullstellenberechnung bei Gleichungen, zur Losung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen und zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen. Die vorliegende zweite Auflage enthalt ausser kleineren Erganzungen, Anderungen und Korrekturen eine Anzahl neuer Abschnitte. So werden etwa die Teile uber die Losung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen und uber Eigenwertberechnung durch neue Verfahren wesentlich erweitert und der Entwicklung der letzten Jahre angepasst. Vorausgesetzt werden mathematische Kenntnisse, wie sie Ingenieuren und Physikern im Grundstudium an Technischen Universitaten vermittelt werden. Auch fur Mathematiker und Informatiker, die sich mit der Anwendung moderner numerischer Methoden beschaftigen, ist das Buch von Interesse."

Spis treści

I Hilfsmittel, Nullstellenberechnung bei Gleichungen.- 1 Hilfsmittel.- 1.1 Punkte und Vektoren.- 1.1.1 Schreibweise.- 1.1.2 Definitionen.- 1.1.3 Normierung. Skalares Produkt.- 1.1.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 1.2 Matrizen.- 1.2.1 Definitionen.- 1.2.2 Matrixnormen.- 1.2.3 Eigenwerte. Spektralradius.- 1.2.4 Rang einer Matrix.- 1.3 Spezielle Matrizen.- 1.3.1 Positiv semidefinite und positiv definite Matrizen.- 1.3.2 Diagonal-, Tridiagonal- und Block-Tridiagonal-Matrizen.- 1.3.3 Weitere, für die Anwendungen wichtige Matrizen.- 1.4 Lineare Gleichungssysteme.- 1.4.1 Bezeichnungen. Lösbarkeit.- 1.4.2 Lösung homogener Gleichungssysteme.- 1.4.3 Lösung inhomogener Gleichungssysteme.- 1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme.- 1.5.1 Darstellungsform. Eigenschaften.- 1.5.2 Funktionalmatrix.- 1.6 Iterationsverfahren.- 1.6.1 Konstruktion.- 1.6.2 Konvergenz.- 1.6.3 Konvergenz bei kontrahierender Abbildung.- 1.6.4 Fehlerabschätzungen.- 1.6.5 Der Satz von Ostrowski.- 1.6.6 Lokale und globale Konvergenz.- 1.7 Hilfsmittel aus der Analysis im Rn.- 1.7.1 Vektorfunktionen.- 1.7.2 Ableitungen und Funktionalmatrix.- 1.7.3 Mittelwertsatz und Taylorscher Satz.- 1.8 Aufgaben.- 2 Berechnung der Nullstellen von Funktionen.- 2.1 Intervallschachtelungsverfahren.- 2.1.1 Verfahrensvorschriften.- 2.1.2 Konvergenz.- 2.2 Newtonsches Verfahren.- 2.2.1 Konstruktion des Verfahrens.- 2.2.2 Konvergenz.- 2.2.3 Weitere Konvergenzkriterien.- 2.2.4 Monotone Konvergenz.- 2.3 Sekantenverfahren.- 2.3.1 Verfahrensvorschrift.- 2.3.2 Konvergenz.- 2.4 Konvergenzordnung der Verfahren. Ergänzungen.- 2.4.1 Vorbereitungen.- 2.4.2 Konvergenzordnung des Newtonschen Verfahrens.- 2.4.3 Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens.- 2.4.4 Verbesserung der Konvergenzordnung.- 2.4.5 Berechnung mehrfacher Nullstellen.- 2.4.6 Rundungsfehlereinflüsse.- 2.5 Tabellarische Zusammenstellung der Verfahren.- 2.6 Beispiele.- 2.7 Aufgaben.- 3 Berechnung der Funktionswerte und Nullstellen von Polynomen.- 3.1 Das Horner-Schema.- 3.1.1 Eigenschaften von Polynomen.- 3.1.2 Entwicklung des Horner-Schemas.- 3.1.3 Das Rechenschema.- 3.1.4 Anwendung auf komplexe Polynome.- 3.2 Berechnung der reellen Wurzeln.- 3.2.1 Lage der Nullstellen.- 3.2.2 Anwendung des Newtonschen Verfahrens.- 3.2.3 Schranken für die Nullstellen.- 3.2.4 Das Newton-Maehly-Verfahren.- 3.3 Berechnung von Polynomnullstellen beim Vorliegen komplexer Nullstellen.- 3.3.1 Die Methode von Hirano.- 3.4 Aufgaben.- II Lösung linearer Gleichungssysteme.- 4 Der Gaußsche Algorithmus.- 4.1 Inhomogene Gleichungssysteme.- 4.1.1 Das Prinzip des Gaußschen Algorithmus.- 4.1.2 Der Gaußsche Algorithmus ohne Pivotisierung.- 4.1.3 Mathematische Formulierung bei Spaltenpivotisierung.- 4.1.4 Allgemeine inhomogene Systeme.- 4.1.5 Auswirkung von Rundungsfehlern.- 4.2 Homogene Gleichungssysteme.- 4.3 Berechnimg der inversen Matrix.- 4.3.1 Ein einfaches Verfahren.- 4.3.2 Das Gauß-Jordan-Verfahren.- 4.4 Konditionsanalyse und Rundungsfehlereinfluß.- 4.4.1 Eine allgemeine Fehlerabschätzung.- 4.4.2 Die Konditionszahl einer Matrix.- 4.4.3 Brauchbarkeit einer Näherungslösung bei fehlerhaften Ausgangsdaten.- 4.4.4 Skalierungseinfluß beim Gaußschen Algorithmus.- 4.5 Nachiteration.- 4.5.1 Nachiteration bei der Lösung von Gleichungssystemen.- 4.5.2 Fehleranalyse.- 4.5.3 Der Iterationsalgorithmus.- 4.6 Aufgaben.- 5 Weitere direkte Verfahren.- 5.1 Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix.- 5.1.1 Vereinfachungen bei der Rechnung.- 5.1.2 Die Rechenvorschrift.- 5.1.3 Das Cholesky-Verfahren.- 5.2 Gleichungssysteme mit Tridiagonalmatrix.- 5.2.1 Der Algorithmus.- 5.2.2 Diagonaldominante Tridiagonalmatrizen.- 5.3 Gleichungssysteme mit Block-Tridiagonalmatrix.- 5.3.1 Eigenschaften von Block-Tridiagonalmatrizen.- 5.3.2 Der Algorithmus.- 5.4 Ergänzungen.- 5.4.1 Die Bunch-Parlett-Zerlegung.- 5.4.2 Gaußscher Algorithmus bei sehr großen Bandsystemen. Die FRONT-Lösungsmethode von Irons.- 5.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung und die QR-Zerlegung nach Householder.- 5.4.4 Sehr große Systeme und ihr Auftreten.- 5.5 Rechenaufwand und Zusammenstellung wichtiger Verfahren.- 5.5.1 Die Zahl der Rechenoperationen.- 5.5.2 Zusammenstellung wichtiger Verfahren.- 5.6 Beispiel.- 5.7 Aufgaben.- 6 Iterative Verfahren.- 6.1 Konstruktion von Iterationsverfahren. Konvergenz.- 6.1.1 Die Fixpunktform.- 6.1.2 Konstruktion von Iterationsverfahren.- 6.1.3 Konvergenz der linearen stationären Einschrittverfahren.- 6.1.4 Die Jordansche Normalform einer Matrix.- 6.1.5 Spektralradius und Konvergenz.- 6.2 OR-Verfahren in Gesamtschritten.- 6.2.1 Das Jacobi-OR-Verfahren.- 6.2.2 Die Konvergenz des Jacobi-OR-Verfahrens.- 6.2.3 Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix.- 6.3 SOR-Verfahren.- 6.3.1 Die Iterationsvorschrift.- 6.3.2 Konvergenz bei diagonaldominanter Matrix.- 6.3.3 Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix.- 6.3.4 Spektralradius und Konvergenzgeschwindigkeit.- 6.4 Bestimmung des Relaxationsparameters für das SOR-Verfahren.- 6.4.1 Matrizen mit der „Property A“.- 6.4.2 Die Berechnung des optimalen Relaxationsparameters.- 6.5 Komplexe Gleichungssysteme.- 6.5.1 Das Auftreten komplexer Gleichungssysteme.- 6.5.2 Anwendung der Relaxationsverfahren.- 6.5.3 Konvergenz bei hermitescher Matrix.- 6.6 Zur Konvergenzgeschwindigkeit der Verfahren.- 6.6.1 Die mittlere und asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit.- 6.6.2 Der Einfluß des Relaxationsparameters.- 6.6.3 Fehlerabschätzungen.- 6.7 Block-Relaxationsverfahren.- 6.7.1 Gleichungssysteme mit Block-Matrizen.- 6.7.2 Block-Relaxationsverfahren.- 6.8 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren).- 6.9 Tabellarische Zusammenstellung der Jacobi- und SOR-Verfahren.- 6.10 Beispiel.- III Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.- 7 Allgemeine Iterationsverfahren.- 7.1 Vorbereitungen. Konvergenz.- 7.1.1 Bezeichnungen.- 7.1.2 Die Bedeutung der Funktionalmatrix für die Konvergenz.- 7.1.3 Lokale Konvergenz.- 7.1.4 Der Ausdruck O.- 7.2 Das Newtonsche Verfahren.- 7.2.1 Die Rechenvorschrift.- 7.2.2 Konvergenzkriterien.- 7.2.3 Die Bestimmung der Umgebung B0.- 7.3 Weitere Verfahren vom Newton-Typ.- 7.3.1 Modifizierte Newtonsche Verfahren.- 7.3.2 Nichtlineare Ausgleichsrechnung.- 7.3.3 Das Gauß-Newton-Verfahren.- 7.3.4 Einbettungsverfahren.- 7.4 Quasi-Newton-Verfahren.- 7.5 Konvergenzordnung.- 7.5.1 Quadratische Konvergenz des Newtonschen Verfahrens.- 7.5.2 Konvergenzordnung des modifizierten Newtonschen Verfahrens.- 7.6 Tabellarische Zusammenstellung einiger Verfahren.- 7.7 Beispiel.- 7.8 Aufgaben.- 8 Iterationsverfahren für große nichtlineare Gleichungssysteme.- 8.1 Nichtlineare SOR-Verfahren.- 8.1.1 Nichtlineare Gauß-Seidel-Verfahren.- 8.1.2 SOR- und SOR-Newton-Verfahren.- 8.1.3 Lokale und globale Konvergenz der Verfahren.- 8.2 Das cg-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme.- 8.2.1 Die Verfahrensvorschrift.- 8.2.2 Präkonditionierung.- 8.3 Das Verfahren von Schubert.- 8.4 Beispiel.- 8.5 Aufgaben.- IV Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 9 Grundlagen, Abschätzungen, Elementare Transformationen.- 9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 9.1.1 Das charakteristische Polynom.- 9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen.- 9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen.- 9.2.1 Ein Schwingungsproblem.- 9.2.2 Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und ein Differenzenverfahren.- 9.3 Abschätzungen von Eigenwerten. Fehleraussagen.- 9.3.1 Die Lage der Eigenwerte.- 9.3.2 Eine a-posteriori-Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen.- 9.4 Ähnlickeitstransformation auf einfache Gestalt.- 10 Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 10.1 Unterraummethoden.- 10.1.1 Die Verfahren von v. Mises und Wielandt.- 10.1.2 Die simultane Vektoriteration.- 10.1.3 Das Lanczos-Verfahren.- 10.2 Transformationsmethoden.- 10.2.1 Das Jacobi-Verfahren.- 10.2.2 Das QL-Verfahren.- 10.3 Verfahren zur Bestimmung individueller Eigenwerte.- 10.4 Allgemeine Eigenwertprobleme.- 10.5 Die Singulärwertzerlegung (svd).- 10.6 Das Nullstellenverfahren von Jenkins und Traub.