Numerische Mathematik 1

ISBN-13: 9783540678786 / Niemiecki / Twarda / 2001 / 370 str.

A. Quarteroni; R. Sacco; F. Saleri

Opis

Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das fur vielfaltige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen.
Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfaltig ausgearbeitete Einfuhrung fur Anfanger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilitat, Genauigkeit, Komplexitat)zu analysieren, und ihre Leistungsfahigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch fur Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel.

Spis treści

I: Ausgangspunkte.- 1 Grundlagen der linearen Algebra.- 1.1 Vektorräume.- 1.2 Matrizen.- 1.3 Operationen mit Matrizen.- 1.3.1 Inverse einer Matrix.- 1.3.2 Matrizen und lineare Abbildungen.- 1.3.3 Operationen mit Blockmatrizen.- 1.4 Spur und Determinante einer Matrix.- 1.5 Rang und Kern einer Matrix.- 1.6 Spezielle Matrizen.- 1.6.1 Blockdiagonale Matrizen.- 1.6.2 Trapez- und Dreiecksmatrizen.- 1.6.3 Bandmatrizen.- 1.7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 1.8 Ähniichkeitstransformationen.- 1.9 Die SingulärwertZerlegung (SVD).- 1.10 Skalarprodukte und Normen in Vektorräumen.- 1.11 Matrixnormen.- 1.11.1 Beziehung zwischen Matrixnormen und dem Spek- tralradius einer Matrix.- 1.11.2 Folgen und Reihen von Matrizen.- 1.12 Positiv dehnite, diagonaldominante und M-Matrizen.- 1.13 Übungen.- 2 Grundlagen der Numerischen Mathematik.- 2.1 Korrektheit und Konditionszahl eines Problems.- 2.2 Stabilität numerischer Methoden.- 2.2.1 Beziehungen zwischen Stabilität und Konvergenz.- 2.3 A priori und a posteriori. Analysis.- 2.4 Felllerquellen in Berechnungsmodellen.- 2.5 Computerzahlen.- 2.5.1 Das Positionssystem.- 2.5.2 Das Gleitkommazahlensystem.- 2.5.3 Verteilung von Gleitpunktzahlen.- 2.5.4 lEC/IEEE Arithmetik.- 2.5.5 Runden einer reellen Zahl In Maschinendarstellung.- 2.5.6 Maschinengleitpunktoperationen.- 2.6 Übungen.- II: Numerische lineare Algebra.- 3 Direkte Methoden zur Lösung linearer Systeme.- 3.1 Stabilitätsanalyse linearer Systeme.- 3.1.1 Die Konditionszahl einer Matrix.- 3.1.2 A prior Vorwärtsanalyse.- 3.1.3 A priori Riickwärtsanalyse.- 3.1.4 A posteriori Analyse.- 3.2 Lösung von Drcicckssystemen.- 3.2.1 Implementation der Substitutionsmethoden.- 3.2.2 Rundungsfehleranalyse.- 3.2.3Inverse einer Dreiecksmatrix.- 3.3 Gauß-Ehniination (GEM) und LU-Faktorisierung.- 3.3.1 GEM als Faktorisierungsmethode.- 3.3.2 Die Auswirkung von Rundungsfehlem.- 3.3.3 Implementation dor LU-Faktorisierung.- 3.3.4 Kompakte Formen der Faktorisierung.- 3.4 Andere Arten der Zerlegung.- 3.4.1 LDMT-Faktorisierung.- 3.4.2 Symmetrische und positiv definite Matrizen: Die Cholesky-Faktorisierung.- 3.4.3 Rechteckmatrizen: Die QR-Faktorisierung.- 3.5 Pivotisierung.- 3.6 Berechnung der Invcrsen einer Matrix.- 3.7 Bandsysteme.- 3.7.1 TVidiagonale Matrizen.- 3.7.2 Aspekte der Impteiiieiitierung.- 3.8 Blocksysteine.- 3.8.1 Block-LU-Faktorisierung.- 3.8.2 Inverse einer blockpartitionierten Matrix.- 3.8.3 Blocktridiagonale Systeme.- 3.9 Schwachbesetzte Matrizen.- 3.9.1 Cuthill-McKee-Algorithmus.- 3.9.2 Zerlegung in Substrukturen.- 3.9.3 Geschachtelte Zerlegung.- 3.10 Die durch die GEM erzielte Genauigkeit der Lösung.- 3.11 Approximative Berechnung von K(A).- 3.12 Verbesserung der Genauigkeit der GEM.- 3.12.1 Skalierung.- 3.12.2 Iterative Verbesserung.- 3.13 Unbestimmte Systeme.- 3.14 Anwendungen.- 3.14.1 Knotenanalyse eines Fachwerkes.- 3.14.2 Regularisierung eines Dreiecksgitters.- 3.15 Übungen.- 4 Iterative Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- 4.1 Über die Konvergenz iterativer Methoden.- 4.2 Lineare iterative Methoden.- 4.2.1 Jacobi-, Gauß-Seidel- und Relaxationsmethoden.- 4.2.2 Konvergenzresultate für Jacobi- und Gauß-Seidel-Ver- fahren.- 4.2.3 Konvergenzresultate für die Relaxationsmethode.- 4.2.4 A priori Vorwärtsanalyse.- 4.2.5 Blockmatrizen.- 4.2.6 Symmetrische Form des Gauß-Seidel- und des SOR- Verfahrens.- 4.2.7 Implementierungsfragen.- 4.3 Stationäre und instationäre iterative Verfahren.- 4.3.1 Konvergcnzanalysis des Richardson-Verfahrens.- 4.3.2 Vorkonditionierer.- 4.3.3 DasGradientenverfahren.- 4.3.4 Das Verfahren der konjugierten Gradienten.- 4.3.5 Das vorkonditionierte Verfahren der konjugierten Gra- dienten.- 4.3.6 Das Verfahren der alternierenden Richtungen.- 4.4 Methoden, die auf Krylov-Teilraumiterationen basieren.- 4.4.1 Das Arnoldi-Verfahren für lineare Systeme.- 4.4.2 Das GMRES-Verfahren.- 4.4.3 Das Lanczos-Verfahren für symmetrische Systeme.- 4.5 Das Lanczos-Verfahren für unsymmetrische Systeme.- 4.6 Abbruchkriterien.- 4.6.1 Ein auf den Zuwachs basierender Abbruchtest.- 4.6.2 Ein auf das Residuum basiertes Abbruchkriterium.- 4.7 Anwendungen.- 4.7.1 Analyse eines elektrischen Netzwerkes.- 4.7.2 Finite Differenzen Analyse der Balkenbiegung.- 4.8 Übungen.- 5 Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 5.1 Geometrische Lage der Eigenwerte.- 5.2 Stabilität und Analyse der Kondition.- 5.2.1 A priori Abschätzungen.- 5.2.2 A posteriori Abschätzungen.- 5.3 Die Methode der Vektoriteration.- 5.3.1 Approximation des betragsmäßig größten Eigenwertes.- 5.3.2 Inverse Iteration.- 5.3.3 Implementierungsaspekte.- 5.4 Die QR-Iteration.- 5.5 Das Basisverfahren der QR,-Iteration.- 5.6 Die QR-Methode für Matrizen in Hessenberg-Form.- 5.6.1 Householder- und Givens-Transformationsmatrizen.- 5.6.2 Reduktion einer Matrix in Hessenberg-Form.- 5.6.3 QR-Faktorisierung einer Matrix in Hessenberg-Form.- 5.6.4 Die Basisform der QR-Iteration beginnend mit oberer Hessenberg-Form.- 5.6.5 Implementation der Transformationsmatrizen.- 5.7 Die QR-Iteration mit Verschiebungen.- 5.7.1 Die QR-Methode mit einfacher Verschiebung.- 5.7.2 Die QR-Methode mit doppelter Verschiebung.- 5.8 Berechnung der Eigenvektoren und die SVD einer Matrix.- 5.8.1 Die inverse Hessenberg-Iteration.- 5.8.2 Berechnung der Eigenvektoren aus der Schur-Form einer Matrix.- 5.8.3 Approximative Berechnung der SVD einer Matrix.- 5.9 Das verallgemeinerte Eigenwertproblem.- 5.9.1 Berechnung der verallgemeinerten reellen Schur-Form.- 5.9.2 Verallgemeinerte reelle Schur-Form von symmctrisch- definiten Büscheln.- 5.10 Methoden für Eigenwerte symmetrischer Matrizen.- 5.10.1 Die Jacobi-Methode.- 5.10.2 Die Methode der Sturmschen Ketten.- 5.11 Das Lanczos-Verfahren.- 5.12 Anwendungen.- 5.12.1 Analyse der Knicklast eines Balkens.- 5.12.2Freie dynamische Schwingungen einer Brücke.- 5.13 Übvmgen.- III: Nichtlineare Gleichungen und Optimierung.- 6 Bestimmung der Wurzehi nichtlinearer Gleichungen.- 6.1 Kondition einer nichtlinearen Gleichung.- 6.2 Ein geometrisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung.- 6.2.1Die Bisektionsmethode.- 6.2.2 Das Sehnenverfahren, das Sekantenverfahren, die Re- gula Falsi und das Newton-Vorfahren.- 6.2.3 Das Dckker-Brent-Verfahren.- 6.3 Fixpunkt-Iterationen für nichthneare Gleichungen.- 6.3.1 Konvergenzresultate für einige Fixpunktmethoden..- 6.4 Nullstellen algebraischer Gleichungen.- 6.4.1 Das Hornerschema und die Reduktion.- 6.4.2 Das Newton-Horner-Schema.- 6.4.3 Das Muller-Verfahren.- 6.5 Abbruchkriterien.- 6.6 Nachbearbeitungstechniken für iterative Methoden.- 6.6.1 Ait ken-Beschleunigung.- 6.6.2Techniken für mehrfache Wurzeln.- 6.7 Anwendungen.- 6.7.1Analyse derZustandsgieichung für reale Gase.- 6.7.2 Analyse einer nichtlinearen elektrischen Schaltung.- 6.8 Übungen.- 7 Nichtlineare Systeme und numerische Optimierung.- 7.1 Lösung nichthnearer Gleichungssysteme.- 7.1.1 Newton-Verfahren und seine Varianten.- 7.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren.- 7.1.3 Quasi-Newton-Verfahr en.- 7.1.4 Sekantenähnliche Verfahren.- 7.1.5 Fixpunktmethoden.- 7.2 Nichtrestringierte Optimierung.- 7.2.1 Direkte Suchverfahren.- 7.2.2 Abstiegsmethoden.- 7.2.3 Liniensuchverfahren.- 7.2.4 Abstiegsmethoden für quadratische Funktionen.- 7.2.5 Newton-ähnliche Methoden zur Minimierung von Funk- tionen.- 7.2.6 Quasi-Newton-Verfahren.- 7.2.7 Sekantenähnliche Verfahren.- 7.3 Optimierung unter Nebenbedingungen.- 7.3.1 Notwendige Kuhn-Tucker Bedingungen für nichth- neare Optimierung.- 7.3.2 Die Strafmethode.- 7.3.3 Die Methode der Langrangeschen Multiplikatoren.- 7.4 Anwendungen.- 7.4.1 Lösung eines nichtHnearen Systems bei der Halblei- terbauteilsimulation.- 7.4.2 Nichtlineare Regularisierung eines Diskretisierungs- gitters.- 7.5 Übungen.- Literatur.- Index der MATLAB Programme.

Blurb

Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das für vielfältige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen.
Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfältig ausgearbeitete Einführung für Anfänger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre Grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilität, Genauigkeit, Komplexität)zu analysieren, und ihre Leistungsfähigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch für Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel.