Mathematik Für Ökonomen I: Differentialrechnung Und Integralrechnung Von Funktionen Einer Veränderlichen

ISBN-13: 9783540062523 / Niemiecki / MiÄ™kka / 1974

M. J. Beckmann; Hans Paul Kunzi; Martin J. Beckmann

Opis

Im ersten Kapitel haben wir den Funktionsbegriff und die wichtigen Begriffe des Grenzwertes und der Stetigkeit einer Funk tion eingefuhrt. Will man die Anwendungsmoglichkeiten des Funk tionsbegriffs erweitern und seine Aussagekraft vertiefen, so mussen wir das Verhalten der Funktionen naher untersuchen. Wir mussen vor allem die Art und Weise, wie sich der Funktionswert f(x) andert, wenn x einen bestimmten Bereich durchlauft, naher be trachten. Besondere Bedeutung kommt der durchschnittlichen An derung einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu. Unter der durchschnittlichen Anderung der Funktion f im Intervall x:::::: x + Li x verstehen wir den Quotienten f(x + Li x) - f(x) Lif(x) Lix . Lasst man die Intervallange Lix gegen 0 streben, so strebt unter .. d d D h h . Lif(x) . b. U mstan en er ure se mttswert gegen emen estImmten Grenzwert. Derartige Grenzwerte, die in der Mathematik und in der Wirtschaftswissenschaft grosse Bedeutung besitzen, bilden den Ge genstand dieses Kapitels. 2.2 Der Differentialquotient 2.2.1 Definition des Differentialquotienten Die Funktion f sei im Intervall a::: x::: b definiert. Sind x und x + Li x zwei Punkte des Intervalls, so betrachten wir zunachst die 00 Lif(x) f(x + Lix) - f(x) durchschmtthche Anderung = Lix von f 1m Intervall x:::::: x+Lix (bzw. x+Lix:::::: x). Lif(x) Man nennt auch einen DijJerenzenquotienten von f an der Stelle x. Lix 67 Die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten lasst sich aus der Abb. 46 leicht ablesen. Es gilt: tgtp = Af(x) ."

Spis treści

1. Zahlen, Mengen und Funktionen.- 1.1 Zahlen.- 1.1.1 Einleitung.- 1.1.2 Über das System der reellen Zahlen.- 1.1.3 Einiges über Ungleichungen und den absoluten Betrag.- a) Ungleichungen.- b) Intervalle.- c) Vorzeichen und absoluter Betrag.- 1.1.4 Zahlen und Größen in der Ökonomie.- 1.2 Mengen.- 1.2.1 Begriff der Menge.- 1.2.2 Teilmengen.- 1.2.3 Vereinigungs-, Durchschnitts- und Produktmengen.- 1.2.4 Abbildungen.- 1.3 Funktionen.- 1.3.1 Algebraische Operationen.- 1.3.2 Graphische Darstellung.- 1.3.3 Die elementaren Funktionen.- a) Rationale Funktionen.- b) Algebraische Funktionen.- c) Trigonometrische Funktionen.- d) Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion.- 1.3.4 Folgen (Funktionen mit ganzzahligen Veränderlichen).- 1.4 Funktionen in der Wirtschaftswissenschaft.- 1.4.1 Die Nachfragefunktionen.- 1.4.2 Produktionsfunktionen.- 1.4.3 Kostenfunktionen.- 1.4.4 Die Angebotsfunktion.- 1.4.5 Die Konsumfunktion.- 1.4.6 Die Investitionsfunktion.- 1.4.7 Die aggregierte Produktionsfunktion.- 1.4.8 Die aggregierte Angebotsfunktion.- 1.4.9 Die Nachfrage nach Transaktionskasse.- 1.4.10 Die Liquiditätspräferenzfunktion (Liquidity preference).- 1.5 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 1.5.1 Beschränkte Zahlenmengen.- 1.5.2 Die beschränkten Zahlenfolgen.- 1.5.3 Definition des Häufungspunktes einer Folge.- 1.5.4 Monotone und konvergente Zahlenfolgen.- 1.5.5 Die Zahl e.- 1.5.6 Das Rechnen mit Grenzwerten.- 1.6 Grenzwerte von Funktionen.- 1.7 Stetige Funktionen.- 1.7.1 Definition der Stetigkeit.- 1.7.2 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 1.7.3 Die Stetigkeit ökonomischer Funktionen.- 1.8 Anhang zum 1. Kapitel.- 1.8.1 Die Polarkoordinaten.- 1.8.2 Kurvenscharen.- 1.8.3 Die komplexen Zahlen.- Der Begriff der komplexen Zahl.- 1.8.4 Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- a) Addition und Subtraktion.- b) Multiplikation.- c) Division.- d) Das Potenzieren.- e) Das Radizieren.- 2. Differentialrechnung.- 2.1 Einleitung.- 2.2 Der Differentialquotient.- 2.2.1 Definition des Differentialquotienten.- 2.2.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion.- 2.2.3 Ein physikalisches Beispiel.- 2.2.4 Ein ökonomisches Beispiel.- 2.2.5 Direkte Berechnung der ersten Ableitung.- 2.2.6 Ökonomische Begriffe, die auf Ableitungen beruhen.- 2.3 Differentiationsregeln.- 2.3.1 Die Differentiation der Funktionen f(x) = c =const. und g(x) = x.- 2.3.2 Die Differentiation der Summe zweier Funktionen.- 2.3.3 Die Differentiation eines Produktes zweier Funktionen.- 2.3.4 Die Differentiation der Potenzfunktion f(x) = xn.- 2.3.5 Die Differentiation des Quotienten zweier Funktionen.- 2.3.6 Die Differentiation der inversen Funktion.- 2.3.7 Die Kettenregel oder die Differentiation von zusammengesetzten Funktionen.- 2.4 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion.- 2.4.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion.- 2.4.2 Eigenschaften der Logarithmusfunktion.- 2.4.3 Beziehungen zwischen Logarithmusfunktionen mit verschiedener Basis.- 2.4.4 Die Differentiation der Logarithmusfunktion.- 2.4.5 Die Differentiation der Exponentialfunktion.- 2.5 Wachstumsraten.- 2.5.1 Stetiges Wachstum mit konstanter Rate.- 2.5.2 Zins und Zinseszins.- 2.6 Die logarithmische Ableitung und die Elastizität einer Funktion.- 2.6.1 Die logarithmische Darstellung.- 2.6.2 Die logarithmische Ableitung.- 2.6.3 Die Elastizität einer Funktion.- 2.6.4 Die Preiselastizität der Nachfrage.- 2.6.5 Die Elastizität anderer ökonomischer Funktionen.- 2.7 Die trigonometrischen Funktionen.- 2.7.1 Zusammenstellung einiger wichtiger Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.- 2.7.2 Die Differentiation der trigonometrischen Funktionen.- 2.8 Die zyklometrischen Funktionen.- 2.8.1 Der Begriff der zyklometrischen Funktionen.- 2.8.2 Die Differentiation der zyklometrischen Funktionen.- 2.9 Hyperbolische Funktionen.- 2.10 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 2.10.1 Der Satz von Rolle.- 2.10.2 Der Mittelwertsatz.- 2.10.3 Monotone Funktionen.- 2.11 Das Differential.- 2.11.1 Der Begriff des Differentials.- 2.11.2 Regeln für die Bildung des Differentials.- 2.11.3 Eine Anwendung des Differentials auf die Fehlerrechnung.- 2.12 Höhere Ableitungen.- 2.12.1 Der Begriff der höheren Ableitungen.- 2.12.2 Die n-te Ableitung eines Produktes.- 2.12.3 Ein physikalisches Beispiel.- 2.12.4 Ökonomische Beispiele.- 2.13 Konvexe und konkave Funktionen.- 2.13.1 Der Begriff der konvexen Funktion.- 2.13.2 Eigenschaften konvexer Funktionen.- Der Stützgeradensatz für konvexe Funktionen.- 2.13.3 Konvexe Bereiche.- 2.13.4 Konkave, quasikonkave und quasikonvexe Funktionen.- 2.13.5 Ökonomische Beispiele.- 3. Diskussion von Funktionen.- 3.1 Allgemeine Kurvendiskussion.- 3.1.1 Erste Stufe.- 3.1.2 Zweite Stufe.- a) Das lokale Verhalten einer Funktion.- b) Eine globale Eigenschaft.- 3.1.3 Dritte Stufe.- 3.1.4 Ein Beispiel.- 3.1.5 Mathematische Beispiele zur Optimierung.- 3.2 Ökonomische Beispiele zur Optimierung.- 3.2.1 Gewinnmaximierung.- 3.2.2 Die optimale Einsatzmenge in der Produktion..- 3.2.3 Stückkostenminimierung.- 3.3 Spezielle Funktionen in der Ökonomie.- 3.3.1 Engel-Funktionen.- 3.3.2 Produktionsfunktionen.- 4. Die Integralrechnung.- 4.1 Der Begriff des bestimmten Integrals.- 4.1.1 Einleitung.- 4.1.2 Die Definition des bestimmten Integrals.- 4.1.3 Sätze über das bestimmte Integral.- 4.2 Mittelwertsätze der Integralrechnung.- 4.3 Das unbestimmte Integral.- 4.3.1 Der Begriff des unbestimmten Integrals.- 4.3.2 Zusammenstellung unbestimmter Integrale.- 4.4 Der Hauptsatz der Integralrechnung.- 4.5 Die Substitutionsmethode.- 4.5.1 Die Substitutionsmethode für unbestimmte Integrale.- 4.5.2 Die Substitutionsmethode für bestimmte Integrale.- 4.6 Die Methode der partiellen Integration.- 4.7 Die Integration rationaler Funktionen.- 4.7.1 Eigenschaften rationaler Funktionen.- 4.7.2 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen.- 4.7.3 Die Integration der rationalen Funktionen.- 4.8 Uneigentliche Integrale.- 4.8.1 Die Integration von Funktionen mit Sprungstellen.- 4.8.2 Die Integration von Funktionen mit Polen.- 4.8.3 Unendliche Integrationsintervalle.- 4.9 Einige ökonomische Anwendungen der Integralrechnung.- 4.9.1 Kapitalisierung.- 4.9.2 Konstante Abschreibungsrate.- 4.9.3 Interner Zinssatz.- 4.9.4 Der Produktpreis bei räumlichem Marktgleichgewicht.- 4.9.5 Die Konsumentenrente.- a) Lineare Nachfrage.- b) Nachfragefunktion mit konstanter Elastizität.- 5. Reihen.- 5.1 Begriffe und Definitionen.- 5.2 Reihen mit positiven Gliedern.- 5.2.1 Das Wurzelkriterium.- 5.2.2 Das Quotientenkriterium.- 5.2.3 Kriterien für die Divergenz.- 5.3 Absolute und bedingte Konvergenz.- 5.4 Ökonomische Beispiele.- 5.4.1 Der Multiplikatoreffekt bei einmaliger Investition.- 5.4.2 Der Multiplikatoreffekt bei andauernder Investition.- 5.4.3 Zinseszins.- 5.4.4 Der Kapitalwert eines Einkommenstromes.- 5.4.5 Annuitäten.- 5.5 Gleichmäßige Konvergenz.- 5.6 Potenzreihen.- 5.7 Taylorsche Formeln und Taylorsche Reihen.- 5.8 Die Berührung von Kurven und ein Kriterium für Extremalstellen.- 5.9 Unbestimmte Ausdrücke (die L’Hospitalsche Regel).- Namen- und Sachverzeichnis.