Mathematik Für Chemiker: Eine Einführung in Die Mathematische Behandlung Naturwissenschaftlicher Probleme

ISBN-13: 9783798510258 / Niemiecki / Miękka / 1995 / 456 str.

Manfred Stockhausen

Opis

Mathematik fur Chemiker ist eine gut verstandliche, didaktisch klare Einfuhrung in die mathematische Behandlung naturwissenschaftlicher Probleme. Das Buch bietet das mathematische Basisrepertoire fur den Studenten der Chemie und anderer naturwissenschaftlicher Fachrichtungen. Es vermittelt das notige mathematische Grundwissen und geht auf die Rolle ein, die die Mathematik in der Begriffs- und Theorienbildung spielt. Auf strenge mathematische Herleitungen wird dabei weitgehend verzichtet, die anschauliche Begrundung vorgezogen."

Spis treści

Einleitung: Über das Verhältnis von Mathematik und Naturwissenschaften.- 1. Vom Meßwert zum funktionalen Zusammenhang.- 1.1 Einiges über Meßgrößen als Zahlen und als Skalare oder Vektoren.- 1.1.1 Zahlen.- 1.1.2 Skalare und Vektoren.- 1.2 Meßwerte und Meßfehler.- 1.2.1 Streuung von Meßwerten durch statistische Einflüsse: Theoretische Betrachtungen.- 1.2.2 Streuung von Meßwerten durch statistische Einflüsse: Praktische Handhabun.- 1.3 Statistische Fehler in Meßreihen geringen Umfangs.- 1.3.1 Einiges über Stichproben.- 1.3.2 Beurteilung von Mittelwert und Standardabweichung bei angenäherter Normalverteilung.- 1.3.3 Nicht-normale Verteilungen.- 1.4 Stochastische und funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Variablen.- 1.4.1 Korrelation und Korrelationsanalyse.- 1.4.2 Lineare Regression und Allgemeines über Ausgleichsrechnung.- 1.4.3 Der funktionale Zusammenhang als Abstraktion.- 2. Funktionen.- 2.1 Über mathematische Funktionen und ihre Darstellung.- 2.1.1 Allgemeines und Terminologisches.- 2.1.2 Die graphische Darstellung von Funktionen.- 2.1.3 Transformation von Ortskoordinaten.- 2.2 Einige wichtige Funktionen einer Variablen.- 2.2.1 Algebraische Funktionen.- 2.2.2 Trigonometrische Funktionen.- 2.2.3 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion.- 2.2.4 Zwei spezielle, stückweise definierte Funktionen.- 2.2.5 Modifikation gegebener Funktionen durch multiplikative oder additive Zusätze.- 2.3 Die Stetigkeit von Funktionen.- 2.3.1 Grenzwerte und Stetigkeit.- 2.3.2 Einige Eigenschaften stetiger Funktionen.- 2.3.3 Stetige Funktionen in naturwissenschaftlichen Zusammenhängen.- 2.4 Vermischtes zu Funktionen mehrerer Variablen.- 2.4.1 Erweiterung einiger Begriffe.- 2.4.2 Kugelflächenfunktionen.- 2.4.3 Bemerkungen über vektorielle Ortsfunktionen (Vektorfelder).- 3. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen.- 3.1 Der Differentialquotient einer Funktion.- 3.1.1 Der Differentialquotient als Lösung des Tangentenproblems.- 3.1.2 Der Differentialquotient als abgeleitete Funktion.- 3.1.3 Differentiale.- 3.1.4 Naturwissenschaftliche Anwendungen?.- 3.2 Das Differenzieren.- 3.2.1 Die Differentiation analytisch gegebener Funktionen; allgemeine Differentiationsregeln.- 3.2.2 Die Differentiation numerisch gegebener Funktionen.- 3.2.3 Die Differentiation graphisch gegebener Funktionen.- 3.3 Höhere Ableitungen.- 3.4 Einige praktische Anwendungen der Differentialrechnung.- 3.4.1 Lineare Approximation von Funktionen und Fehlerdiskussion.- 3.4.2 Ableitungen als Hilfsmittel der Kurvendiskussion.- 3.4.3 Variation von Parametern; Anpassung und Ausgleichsrechnung.- 3.4.4 Behebung von Unbestimmtheiten.- 3.5 Potenzreihenentwicklung einer Funktion.- 3.5.1 Beschreibung von Meßergebnissen durch ganze rationale Funktionen.- 3.5.2 Entwicklung einer analytisch gegebenen Funktion in eine Potenzreihe.- 3.5.3 Einiges über unendliche Reihen.- 3.5.4 Beispiele.- 4. Differentialrechnung von Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen.- 4.1 Neue Gesichtspunkte bei der Erweiterung der Differentialrechnung.- 4.1.1 Die verschiedenen Differentialquotienten und das Rechnen damit.- 4.1.2 Wechsel der Variablen.- 4.1.3 Funktionaldeterminanten als Rechenhilfsmittel.- 4.2 Einige Anwendungen.- 4.3 Differentialrechnung mit vektoriellen Größen.- 5. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen.- 5.1 Stammfunktion und Integral einer Funktion.- 5.1.1 Die Stammfunktion einer Funktion.- 5.1.2 Das Integral als Lösung des Flächenproblems.- 5.1.3 Der Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integral.- 5.2 Das Integrieren.- 5.2.1 Die Integration analytisch gegebener Funktionen; allgemeine Integrationsregeln.- 5.2.2 Die Integration numerisch gegebener Funktionen.- 5.2.3 Die Integration graphisch gegebener Funktionen.- 5.3 Definition von Funktionen durch Integrale.- 5.4 Die Integration einfacher Differentialgleichungen.- 5.4.1 Allgemeine Vorbemerkungen.- 5.4.2 Einige Lösungsschemata und Lösungsbeispiele.- 5.4.3 Differentialgleichungen spezieller Funktionen.- 6. Integralrechnung von Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen.- 6.1 Anschauliche Einführung.- 6.2 Linienintegrale.- 6.2.1 Das allgemeine Kurvenintegral und seine Berechnung.- 6.2.2 Wegunabhängige Kurvenintegrale.- 6.3 Flächenintegrale.- 6.4 Integralrechnung mit vektoriellen Größen.- 7. Ein Blick auf die Funktionentheorie.- 7.1 Funktionen einer komplexen Variablen und ihre Darstellung.- 7.2 Differential- und Integralrechnung im Falle einer komplexen Variablen.- Zwischenbemerkung.- 8. Vektortransformationen im Dreidimensionalen.- 8.1 Koordinatentransformation bei Drehung der Basis.- 8.2 Vektortransformation in fester Basis.- 8.2.1 Transformation eines Vektors durch Drehung.- 8.2.2 Lineare Transformation eines Vektors.- 8.2.3 Einiges über Tensoren.- 9. Matrizen und Determinanten.- 9.1 Matrizen.- 9.1.1 Matrizenrechnung.- 9.1.2 Transformation von Matrizen.- 9.2 Determinanten und weitere Charakteristika von Matrizen.- 9.2.1 Die Determinante und ihre Berechnung.- 9.2.2 Der Rang einer Matrix.- 9.2.3 Zwei Exempel: Reziproke Matrizen, orthogonale Matrizen.- 9.3 Einiges über lineare Gleichungssysteme.- 9.4 Eigenwerte von Matrizen.- 9.4.1 Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix.- 9.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix.- 9.4.3 Gleichzeitige Diagonalisierung und gemeinsame Eigenvektoren zweier Matrizen.- 9.4.4 Ergänzungen zum Thema Matrizentransformation.- 9.4.5 Physikalisch-chemische Fragen: Ausblick auf Anwendungen.- 10. Gruppen.- 10.1 Die Gruppe als algebraische Struktur.- 10.1.1 Erste Beispielgruppe.- 10.1.2 Gruppenaxiome und ergänzende Begriffe.- 10.2 Darstellungen von Gruppen.- 10.2.1 Die Darstellung durch Matrizensysteme.- 10.2.2 Irreduzible Darstellungen.- 10.2.3 Zweite Beispielgruppe.- 10.2.4 Charaktere.- 10.2.5 Zum Begriff „Produkt„ in der Gruppentheorie.- 10.3 Einige Bemerkungen über Symmetriegruppen.- 11. Vektorräume höherer Dimension.- 11.1 Die Verallgemeinerung des Vektorbegriffs.- 11.1.1 Der lineare Vektorraum.- 11.1.2 Vektorraum mit Skalarprodukt.- 11.1.3 Ergänzungen.- 11.2 Funktionen als Vektoren.- 11.2.1 Die Interpretation einer Funktion als Vektor.- 11.2.2 Transformation von Vektoren, die Funktionen sind.- 12. Orthogonale Funktionensysteme.- 12.1 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen.- 12.2 Entwicklung von Funktionen einer Variablen nach trigonometrischen Funktionen (Fourierentwicklung).- 12.2.1 Basisfunktionen und Entwicklungskoeffizienten der Fourierreihe.- 12.2.2 Fourierreihe als Spektrum.- 12.2.3 Das Spektrum nichtperiodischer Funktionen (Fourierintegral).- 12.3 Entwicklung von Funktionen zweier Variablen nach Kugelflächenfunktionen.- 13. Differentialgleichungen.- 13.1 Eigenwerte bei Differentialgleichungen.- 13.2 Lineare Differentialgleichungen.- 13.2.1 Einiges zur Integration einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung.- 13.2.2 Einiges über Systeme von linearen Differentialgleichungen.- 13.3 Partielle Differentialgleichungen.- 13.3.1 Die Wellengleichung.- 13.3.2 Die Schrödingergleichung.