Maß- Und Integrationstheorie: Eine Einführung

ISBN-13: 9783519020592 / Niemiecki / Miękka / 1981 / 361 str.

Klaus Floret; Klaus Floret

Opis

In der griechischen Mathematik hat man L ngen, Fl chen, Volumina durch das Ausschopfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, dass die Flache eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlan gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flachenstucken die Flacheninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Flache ei ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, dass der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) a Inhalt(Ae) fur alle e>O, so gab man K den Flacheninhalt a. Es ist einfach zu sehen, dass dieser Begriff des Flacheninhalts additiv ist, d. h. es gilt fur disjunkte K und K, fur die man mittels des Ausschopfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, dass K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Prazisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro ximation von innen und aussen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechte

Spis treści

§1 Vorbereitungen.- §2 Vektorverbände und Funktionale.- §3 Inhalt und Maß.- §4 Der Raum S(A) der A-Treppenfunktionen.- §5 Der Ausdehnungsprozeß.- §6 Die Konvergenzsätze.- §7 RIEMANNsches und LEBESGUEsches Integral. Das Beppo LEVI-Prinzip.- §8 Meßbare Funktionen.- §9 Meßbarkeit bezüglich ?-Algebren.- §10 Der Hauptsatz über die Äquivalenz von Maß- und DANIELL-STONEscher Integrationstheorie.- §11 BAIREsche und BORELsche Mengen. Der Darstellungssatz von F.RIESZ.- §12 Nullmengen.- §13 Produkte von Maßen.- §14 Die LEBESGUEschen Räume ?p.- §15 HILBERT-Räume.- §16 Der Satz von RADON-NIKODYM.- §17 SARDsche Ungleichung und Transformationsformel. Maße auf Hyperflachen.- Anhang: T-stetige Funktionale und BOREL-Maße.- BOURBAKIscher Ausdehnungsprozeß.- Vergleich der beiden Ausdehnungsprozesse.- Regularität ?-stetiger Funktionale.- Satz von KÖLZ0W über die strikte Lokalisierbarkeit.- reguläre BOREL-Maße.- RIESZscher Darstellungssatz.- ein nicht-reguläres BORELmaß.- BORELmaße, bei denen ? als Wert zugelassen ist.- Zusammenhang zwischen den verschiedenen Konvergenzarten.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.