Lineare Algebra Und Analytische Geometrie: Ein Lehrbuch Für Physiker Und Mathematiker

ISBN-13: 9783764371449 / Niemiecki / Miękka / 2004

Theodor Brocker

Opis

Die ersten fünf Kapitel dieses neuen Lehrbuchs entsprechen nach Inhalt und Methode dem Standard einer modernen Vorlesung über Lineare Algebra. Der Leser gelangt aber nachher direkt zu den grundlegenden Aussagen der Linearen Algebra bei Ringen. Die Darstellung ist von Anfang an anschaulich und geometrisch, sie schreitet behutsam voran in der Abstraktion. In dem Kapitel über projektive Geometrie findet man im reellen und komplexen Fall Diskussionen der projektiven Räume und Quadriken, die inhaltsreich und wesentlich für die heutige Geometrie sind. Physiker finden eine Diskussion von Quaternionen, Pauli-Matrizen, orthogonalen und unitären Gruppen sowie der Lorentzgruppe und ihrer Spinordarstellung. Die Lorentzgruppe wird durch ein Kausalitätsprinzip charakterisiert. Die topologische Beschreibung der Quadriken und die Charakterisierung der Lorentzgruppe finden sich in anderen Lehrbüchern nicht, die Erklärung der Lie-Theorie der niederdimensionalen klassischen Gruppen nur in höheren Lehrbüchern. Die wichtigen und schönen klassischen Formeln für symmetrische Polynome im Zusammenhang mit Identitäten für Endomorphismen stehen kaum anderswo so geschickt beieinander.

Spis treści

0 Schulweisheiten.- § 1 Vektoren im ?n.- § 2 Das Skalarprodukt.- § 3 Komplexe Zahlen.- § 4 Das Vektorprodukt.- § 5 Aufgaben.- I Vektorräume.- § 1 Gruppen, Ringe, Körper.- § 2 Homomorphismen.- § 3 Vektorräume.- § 4 Basen.- § 5 Geometrische Anwendungen.- § 6 Aufgaben.- II Matrizenrechnung.- § 1 Zeilenumformungen.- § 2 Lineare Abbildungen.- § 3 Matrizen.- § 4 Lineare Gleichungssysteme.- § 5 Aufgaben.- III Die Determinante.- § 1 Polynome.- § 2 Definition der Determinante.- § 3 Eigenschaften einer Determinante.- § 4 Eigenwerte.- § 5 Das charakteristische Polynom.- § 6 Aufgaben.- IV Bilinearformen.- § 1 Bilinearformen und quadratische Formen.- § 2 Euklidische Räume.- § 3 Orthogonale Gruppen.- § 4 Hauptachsentransformation.- § 5 Unitäre Räume.- § 6 Aufgaben.- V Die Jordansche Normalform.- § 1 Im Komplexen.- § 2 Im Reellen.- § 3 Die Komplexifizierung.- § 4 Unitäre und normale Endomorphismen.- § 5 Die Normalform orthogonaler Matrizen.- § 6 Berechnen der Jordansehen Normalform.- § 7 Lineare Differentialgleichungen.- § 8 Die Normalformen-Tabelle.- § 9 Aufgaben.- VI Geometrie.- § 1 Flächen zweiter Ordnung.- § 2 Kegelschnitte und Regelflächen.- § 3 Der Projektive Raum.- § 4 Projektivitäten.- § 5 Projektive Dualität.- § 6 Homogene Gleichungen.- § 7 Affine Hauptachsentransformation.- § 8 Der topologische Typ der Quadriken.- § 9 Bewegungen.- § 10 Quadriken und ihre Gleichungen.- § 11 Aufgaben.- VII Tensorrechnung.- § 1 Kategorien und Funktoren.- § 2 Das Tensorprodukt von Vektorräumen.- § 3 Alternierende Formen.- § 4 Die äußere Algebra.- § 5 Aufgaben.- VIII Lineare Gruppen und Liealgebren.- § 1 Gruppenoperationen.- § 2 Gruppen.- § 3 Affine Räume.- § 4 Gaußelimination.- § 5 Iwasawa-Zerlegung, Polarzerlegung, Jordan-Chevalley-Zerlegung.- § 6 Exponentialfunktion und Logarithmus.- § 7 Liealgebren.- § 8 Die adjungierte Darstellung.- § 9 Aufgaben.- IX Quaternionen und orthogonale Gruppen.- § 1 Die Gruppe SO(3) und ihre Liealgebra.- § 2 Quaternionen.- § 3 Die Gruppen SU(2), SO(3) und SO(4).- § 4 Die symplektischen Gruppen.- § 5 Die Lorentzgruppe.- § 6 Kausalität und die Lorentzgruppe.- § 7 Aufgaben.- X Ringe und Moduln.- § 1 Ringe.- § 2 Polynomringe.- § 3 Symmetrische Polynome.- § 4 Potenzreihen und symmetrische Polynome.- § 5 Endomorphismen und symmetrische Polynome.- § 6 Interpolation und der erste Zerlegungssatz.- § 7 Der Quotientenkörper.- § 8 Moduln.- § 9 Matrizen über Ringen.- § 10 Hauptidealringe.- § 11 Moduln über Hauptidealringen.- § 12 Anwendungen des Elementarteilersatzes.- § 13 Der charakteristische Endomorphismus.- § 14 Aufgaben.- Literatur.