Konstruktive Methoden Der Konformen Abbildung

ISBN-13: 9783642872259 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 294 str.

Dieter Gaier

Opis

Das Erscheinen der elektronischen Rechenanlagen hat fur die kon struktiven Methoden der konformen Abbildung einen starkenAufschwung gebracht. Wahrend es fruher eine auBerst zeitraubende Aufgabe war, eine konforme Abbildung wenigstens mit maBiger Genauigkeit herzu stellen, wurde es nun moglich, groBere Versuchsserien auszufuhren und damit die Gute von Verfahren besser zu beurteilen; auch konnten jetzt schwierigere Probleme angegriffen werden, wie etwa die effektive kon forme Abbildung mehrfach zusammenhangender Gebiete auf Normal gebiete. Dieser von der Praxis herkommende Impuls hat andererseits zahlreiche Mathematiker dazu angeregt, sich mit der theoretischen Durch forschung der Methoden weiter zu beschaftigen. Durch den engen Kon takt zwischen theoretischen Disziplinen (Funktionentheorie, reelle Analysis, Funktionalanalysis) und der Experimentalmathematik haben heute die Methoden der konformen Abbildung eine besondere Anziehungs kraft bekommen. Das vorliegende Buch versucht, diese beiden Aspekte gleichermaBen zu berucksichtigen. Der theoretisch interessierte Leser findet die not wendigen funktionentheoretischen Satze, Konvergenzuntersuchungen und Fehlerabschatzungen, wahrend andererseits dem Praktiker Anleitung zur Gewinnung konkreter numerischer Ergebnisse gegeben wird. 1m Vor dergrund stehen die Integralgleichungsmethoden, die das Problem der konformen Abbildung an seiner empfindlichsten Stelle, an der Zuordnung der Rander, angreifen. Sodann werden Polynome mit Extremaleigen schaften zur konformen Abbildung verwendet, und danach verschiedene weitere, z. T. sehr nutzliche Einzelmethoden behandelt. 1m FaIle mehr fachen Zusammenhangs treten die funktionentheoretischen Iterations verfahren hinzu, bei denen das Problem auf die konforme Abbildung ein fach zusammenhangender Gebiete reduziert wird."

Spis treści

I. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete durch Lösung von Integralgleichungen mit Neumannschem Kern.- § 1. Vorbemerkungen.- 1.1. Geometrische Vorbemerkungen und Bezeichnungen.- a) Rektifizierbare und glatte Kurven.- b) Bezeichnungen.- c) Der Neumannsche Kern K(s, t).- 1.2. Randwerte von Cauchy-Integralen.- § 2. Aufstellung der Integralgleichungen.- 2.1. Die Integralgleichung von Lichtenstein.- 2.2. Die Integralgleichung von Gerschgorin.- 2.3. Die Integralgleichung von Carrier.- 2.4. Umformung von ?(s) in der Integralgleichung von Lichtenstein.- 2.5. Integralgleichungen für Außengebiete.- a) Der Punkt ? ist Fixpunkt.- b) Der Punkt ? ist Bild eines endlichen Punktes.- 2.6. Konforme Abbildung auf ein Horizontalschlitzgebiet.- 2.7. Integralgleichungen für ??(s).- a) Die Integralgleichung von Banin.- b) Die Integralgleichung von Warschawski und Stiefel.- 2.8. Gebiete mit Ecken; Integralgleichung von Arbenz.- 2.9. Gebiete mit Ecken; Analogon zur Integralgleichung von Lichtenstein.- §3. Iterative Lösung der Integralgleichungen von § 2.- 3.1. Konvergenzaussagen mit Hilfe der Fredholmschen Theorie.- a) Allgemeine Konvergenzaussagen.- b) Gewinnung von Fehlerabschätzungen.- 3.2. Konvexe Gebiete.- 3.3. Der Konvergenzbeweis von Warschawski.- a) Eigenwerte und Eigenfunktionen von (3.9).- b) Einführung eines Hilbertraumes H und eines Operators T.- c) Zwei Hilfssätze.- d) Der Konvergenzbeweis.- 3.4. Untersuchung der Ableitungen und der allgemeinen Integralgleichungen (3.1).- a) Konvergenz der Folge {?n?(s)}.- b) Die Integralgleichungen (3.1).- c) Folgerungen für die Integralgleichungen von § 2.- 3.5. Abschätzungen für |?2|.- a) Abschätzungen für |?2|durch geometrische Annahmen.- b) Vergleichssätze.- 3.6. Über die Stieltjes-Integralgleichungen aus 2.8 und 2.9.- § 4. Numerische Lösung verschiedener Integralgleichungen von § 2.- 4.1. Diskretisierung der Integralgleichung.- a) Auffassung als Stieltjes-Integral.- b) Auffassung als Riemann-Integral.- c) Diskretisierung der adjungierten Integralgleichung.- 4.2. Abschätzung des Fehlers zwischen diskreter und kontinuierlicher Lösung.- a) Weitere Eigenschaften von K(s, t).- b) Abschätzungen von f?(s) und f”(s).- c) Abschätzung des Quadraturfehlers.- d) Abschätzung von |f(si) - fi|.- 4.3. Lösung des diskreten Problems; Konvergenzbeschleunigung.- a) Direkte Methoden.- b) Iterationsmethoden.- 4.4. Bericht über numerische Experimente.- § 5. Verschiedenes.- 5.1. Methode der Störungsrechnung.- 5.2. Weitere Methode zur Behandlung von Gebieten mit Ecken.- II. Das Verfahren von Theodorsen zur konformen Abbildung von |𝓏|< 1 auf ein Gebiet.- §1. Die Theorie des Verfahrens von Theodorsen.- 1.1. Konjugierte Funktionen.- a) Im Einheitskreis konjugierte Funktionen.- b) Eigenschaften konjugierter Funktionen.- 1.2. Die Integralgleichung von Theodorsen.- a) Ableitung der Integralgleichung.- b) Bestimmung von f(z) für |z| < 1.- c) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der Theodorsenschen Integralgleichung.- 1.3. Iterative Lösung der Integralgleichung von Theodorsen.- a) Die Ungleichung von Warschawski.- b) Der Konvergenzbeweis von Warschawski.- 1.4. Zusätzliche Ergebnisse zum Theodorsen-Verfahren.- a) Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit.- b) Konvergenz der Ableitungen.- c) Abschätzung von |fn(z) - f(z)|.- d) Sternigkeit der Kurven Cn.- e) Die Bedingung ? < 1.- § 2. Über die Berechnung konjugierter Funktionen.- 2.1. Die Methode von Wittich.- a) Ableitung der Formel.- b) Eigenschaften der Matrix 1D582.- 2.2. Andere Methoden mit äquidistanten Knoten.- a) Die Methode von Theodorsen.- b) Die Methode von Naiman.- c) Die Methode von Timman.- d) Die Methode von Multhopp.- e) Vergleich der Methoden.- 2.3. Verwendung nicht äquidistanter Knoten.- a) Die Formeln von Flügge-Lotz.- b) Die Formeln von Muggia.- § 3. Numerische Lösung der Integralgleichung von Theodorsen.- 3.1. Diskretisierung der Integralgleichung.- a) Ableitung der Vektorgleichung.- b) Die Operatorgleichung (3.2).- c) Geometrische Deutung von ??(?).- 3.2. Lösung des diskreten Problems nach dem Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.- a) Gesamtschrittverfahren.- b) Einzelschrittverfahren.- c) Mittelung beim Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.- 3.3. Lösung des diskreten Problems nach dem Newton-Verfahren.- a) Durchführung eines Newton-Schrittes.- b) Konvergenz des Newton-Verfahrens.- 3.4. Abschätzung des Fehlers zwischen diskreter und kontinuierlicher Lösung.- a) Vorbemerkungen.- b) Abschätzung des Fehlervektors.- c) Abschätzung von ?(?) — ??(?).- d) Abschätzung von log ?(?(?)) — T(?).- 3.5. Bericht über numerische Experimente.- a) Durchführung der Rechnung.- b) Eine Versuchsreihe.- c) Weitere Experimente.- § 4. Verschiedene mit dem Theodorsen-Verfahren verwandte Abbildungsmethoden.- 4.1. Das Verfahren von Matthieu, Nehari und v. Kármán-Trefftz.- a) Ableitung der Funktionalgleichung.- b) Die erste Näherung.- 4.2. Das Verfahren von Kulisch und Melentjew.- a) Iterative Lösung von (4.1).- b) Das Verfahren von Bergström.- 4.3. Spezielle Verfahren zur Profilabbildung.- a) Das Verfahren von Timman.- b) Das Verfahren von Riegels und Wittich.- 4.4. Das Verfahren von Friberg.- 4.5. Störungsmethode von Yoshikawa.- 4.6. Weitere Zitate.- III. Approximation konformer Abbildungen durch Polynome mit Extremaleigenschaften.- § 1. Zwei Minimalprobleme und ihre Lösung durch Ritz-Ansatz.- 1.1. Vorbereitungen.- a) Die Räume L2(G) und L2(C).- b) Die Greensche Formel.- 1.2. Erstes Minimalproblem.- 1.3. Ritz-Ansatz zur Lösung von Problem I.- a) Existenz und Eindeutigkeit des Minimalpolynoms Pn(z).- b) Gewinnung des Minimalpolynoms.- c) Approximation von F0(z) durch die Polynome Pn(z).- 1.4. Zweites Minimalproblem.- 1.5. Ritz-Ansatz zur Lösung von Problem II.- a) Existenz und Eindeutigkeit des Minimalpolynoms Pn(z).- b) Gewinnung des Minimalpolynoms.- c) Approximation von F0(z) durch die Polynome Pn(z).- §2. Die Verwendung orthogonaler Polynome zur konformen Abbildung.- 2.1. Gewinnung der orthogonalen Polynome.- a) Orthogonalisierungsverfahren von E. Schmidt.- b) Gewinnung der pn(z) mit Hilfe von Determinanten.- 2.2. Darstellung der Minimalpolynome Pn(z) und der Kernfunktionen.- 2.3. Das asymptotische Verhalten der pn(z).- a) Verhalten innerhalb C.- b) Verhalten auf und außerhalb C.- 2.4. Einige weitere Eigenschaften der Kernfunktionen.- § 3. Numerische Gewinnung der Näherungspolynome.- 3.1. Direkte Gewinnung der Minimalpolynome.- 3.2. Durchführung des Orthonormierungsprozesses.- a) Orthonormierungsprozeß für Vektoren.- b) Verbesserung eines fast orthogonalen Vektors.- c) Orthonormierungsprozeß für Funktionen.- d) Gewinnung der Minimalpolynome Pn(z).- e) Orthonormale harmonische Polynome.- 3.3. Bericht über numerische Experimente.- a) Orthonormale Polynome für das Einheitsquadrat.- b) Die Versuche von Davis-Rabinowitz und Hochstrasser.- c) Die Versuche von Bergman-Herriot.- d) Weitere Versuche.- e) Folgerungen.- f) Zusatz: Bericht über eine neue Versuchsserie.- IV. Weitere Methoden zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete.- § 1. Konforme Abbildung eines Gebiets mit Hilfe harmonischer Interpolationspolynome.- 1.1. Lösung des Dirichletschen Problems mit harmonischen Interpolationspolynomen.- 1.2. Anwendung auf die konforme Abbildung.- 1.3. Bericht über numerische Experimente.- 1.4. Modifikation des Verfahrens.- §2. Die Methoden von Kantorowitsch.- 2.1. Methode der unendlichen, nichtlinearen Gleichungssysteme.- 2.2. Störungsmethode von Kantorowitsch.- 2.3. Konforme Abbildung von Gebiet auf Kreis.- a) Methode der nichtlinearen Gleichungssysteme.- b) Störungsmethode.- § 3. Polygonabbildungen.- 3.1. Die Schwarz-Christoffelschen Formeln; das Parameterproblem.- 3.2. Weitere Methoden der Parameterbestimmung.- a) Methode von Ahlfors.- b) Methode von Kufarev.- c) Methode von Bergman.- 3.3. Spezielle Polygonabbildungen.- § 4. Sonstige Abbildungsverfahren.- 4.1. Schmiegungsverfahren.- a) Abbildung auf den Einheitskreis.- b) Abbildung auf die obere Halbebene.- 4.2. Die Methode der Extremalpunkte von Leja.- 4.3. Analogmethoden.- a) Gegebene Funktion.- b) Gegebenes Gebiet.- V. Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete auf Normalgebiete.- § 1. Abbildung auf Normalgebiete.- 1.1. Zusammenstellung der wichtigsten Normalgebiete.- 1.2. Konforme Abbildung auf einen Kreisring.- § 2. Die Methode der Integralgleichungen mit Neumannschem Kern.- 2.1. Konforme Abbildung auf ein Horizontalschlitzgebiet.- a) Unendliches Gebiet.- b) Endliches Gebiet.- 2.2. Konforme Abbildung auf ein Radialschlitzgebiet.- 2.3. Konforme Abbildung auf einen Kreisring.- a) Ableitung der Integralgleichung.- b) Bericht über ein numerisches Experiment.- 2.4. Konforme Abbildung auf einen Kreisring nach Royden.- § 3. Erweiterung der Methode von Theodorsen-Garrick für Ringgebiete.- 3.1. Vorbetrachtungen.- a) Einige Hilfsfunktionen.- b) Drei Operatoren in L2(-?, + ?).- c) Das Dirichletsche Problem für den Kreisring.- 3.2. Das Integralgleichungspaar von Garrick.- a) Konjugierte Funktionen im Ring.- b) Ableitung der Integralgleichungen von Garrick.- c) Ermittlung von f(z) für z ? R.- d) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der Gleichungen (3.13) und (3.14).- 3.3. Iterative Lösung der Integralgleichungen von Garrick.- a) Aufstellung der Iterationen; Konvergenzsatz.- b) Beweis des Konvergenzsatzes.- 3.4. Bericht über numerische Experimente.- § 4. Funktionentheoretische Iterationsverfahren.- 4.1. Vorbereitende Sätze und Definitionen.- a) Verzerrungssatz für Kreisringabbildungen.- b) Zwei Abschätzungen für Ringgebiete.- c) Spiegelung von Gebieten.- 4.2. Konforme Abbildung auf einen Kreisring nach Komatu.- a) Angabe des Verfahrens.- b) Konvergenz und Fehlerabschätzung.- c) Die Form der Kurven Cm.- 4.3. Variationen des Verfahrens von Komatu.- a) Variation des Verfahrens nach Hübner.- b) Variation des Verfahrens nach Landau.- c) Faktorisierung der Kreisringabbildung.- d) Schmiegungsverfahren.- 4.4. Numerische Durchführung des Verfahrens von Komatu an einem Beispiel.- a) Ausgangsgebiet G0 und exakte Kreisringabbildung.- b) Anwendung des Komatu-Verfahrens auf das Gebiet G0.- 4.5. Konforme Abbildung auf ein Vollkreisgebiet.- a) Schilderung der beiden Koebeschen Verfahren.- b) Konvergenz der Verfahren.- c) Faktorisierung der Vollkreisabbildung.- d) Bericht über ein Experiment.- 4.6. Konforme Abbildung auf Schlitz- und Lemniskatengebiete.- a) Iterationsverfahren zur Gewinnung der ?-Schlitzabbildung.- b) Konvergenz des Verfahrens.- c) Konforme Abbildung auf Lemniskatengebiete.- d) Zusatz: Faktorisierung und iterative Gewinnung beliebiger schlichter Funktionen.- § 5. Verschiedene weitere Methoden zur konformen Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete.- 5.1. Konforme Abbildung auf Normalgebiete mit Hilfe von Orthonormal-systemen oder der Bergmanschen Kernfunktion.- 5.2. Konforme Abbildung auf Normalgebiete durch Lösung von Extremal-problemen mit direkten Methoden.- a) Allgemeines Minimumproblem, seine Lösung durch Ritz-Ansatz.- b) Approximation der Kernfunktion über ein Minimalproblem.- c) Approximation von ??(z) über ein Minimalproblem.- 5.3. Konforme Abbildung eines Ringgebiets auf einen Kreisring durch Lösung von Extremalproblemen.- a) Verwendung der Methode von 5.2,a).- b) Extremalprobleme von Khajalia.- 5.4. Übertragung der Methoden von Kantorowitsch.- 5.5. Sonstige Methoden.- Anhang 1. Hilfsabbildungen.- a) Einfacher Zusammenhang.- b) Zweifacher Zusammenhang.- Anhang 2. Literatur über Anwendungsgebiete der konformen Abbildung.- Anhang 3. Konforme Abbildung veränderlicher Gebiete.- a) Abbildung von Gebiet auf Einheitskreis.- b) Abbildung von Einheitskreis auf Gebiet.- c) Weitere Literatur.- Anhang 4. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung.- Anhang 5. Einige bekannte konforme Abbildungen.- Literatur.- Nachträge.