Integralgleichungen

ISBN-13: 9783815420898 / Niemiecki / Miękka / 1996 / 170 str.

Alois Kufner; Pavel Drabek

Opis

Dieser Band der Reihe "Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler" fuhrt in die Grundlagen der Thematik Integralgleichungen ein. Dabei handelt es sich um einen Problemkreis, der vom theoretischen Standpunkt aus wichtig ist und auch viele Anwendungen findet. Beim Leser werden Grundkenntnisse aus den Anfangssemestern vorausgesetzt. Bis auf wenige Ausnahmen wird die in diesem Buch dargelegte Theorie fur stetige Funktionen auf kompakten Inter vallen entwickelt. Man kann also problemlos mit dem Riemannschen Integral begriff auskommen. Das Buch besteht aus funf Teilen; jeder der 15 numerierten Abschnitte ist unter gliedert: 7.3 bezeichnet den dritten Unterabschnitt von Abschnitt 7, und (7.3) steht fur die dritte Formel in diesem Abschnitt. In der Einfuhrung wird dem Leser eine erste Begegnung mit Integralgleichun gen ermoglicht. Ausserdem werden einige Aufgabenstellungen aus der Praxis vorgestellt, deren mathematische Formulierung auf Integralgleichungen fuhrt. Der zweite Teil befasst sich mit der Losung einiger spezieller Typen von Integral gleichungen. Die Laplace-Transformation wird hier als Werkzeug zur Losung Volterrascher Gleichungen mit Faltungskern benutzt. Im Fall Fredholmscher Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern wird der enge Zusammenhang der Theorie der Integralgleichungen mit der linearen Algebra aufgezeigt. Zum Ab schluss wird dann die Fredholmsche Alternative formuliert. Im folgenden Teil steht die Losbarkeit von Integralgleichungen im Mittelpunkt."

Spis treści

Einführung.- 1 Einige Aufgaben, die auf Integralgleichungen führen.- 2 Klassifikation von Integralgleichungen.- 2.1 Lineare Integralgleichungen.- 2.2 Nichtlineare Integralgleichungen.- 2.3 Systeme von Integralgleichungen.- 2.4 Integralgleichungen mit mehreren Veränderlichen.- 2.5 Integrodifferentialgleichungen.- 2.6 Beispiele.- 3 Der Integraloperator. Eigenfunktionen und charakteristische Werte.- 3.1 Der Integraloperator.- 3.2 Charakteristische Werte und Eigenfunktionen.- 4 Die Methode der schrittweisen Näherungen.- 4.1 Die Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art.- 4.2 Die Volterrasche Integralgleichung zweiter Art.- 4.3 Iterierte Kerne.- 4.4 Die Resolvente.- 4.5 Aufgaben.- Spezielle Integralgleichungen. Allgemeine Aussagen zur Lösbarkeit.- 5 Gleichungen mit Faltungskern.- 5.1 Faltung zweier Funktionen.- 5.2 Die Laplace-Transformierte der Gleichung (5.1).- 5.3 Übergang zur ursprünglichen Gleichung.- 5.4 Aufgaben.- 6 Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern.- 6.1 Der ausgeartete Kern.- 6.2 Die Lösbarkeit der Gleichungen mit ausgeartetem Kern.- 7 Die Fredholmsche Alternative.- 7.1 Der transponierte Kern.- 7.2 Orthogonalität zweier Funktionen.- 7.3 Lösbarkeit einer Fredholmschen Integralgleichung zweiter Art für beliebige Parameterwerte ?.- 7.4 Fredholmsche Alternative.- 7.5 Eine praktische Bemerkung.- 7.6 Aufgaben.- Lösbarkeit von Integralgleichungen.- 8 Operatoren in normierten Vektorräumen.- 8.1 Normierter Vektorraum, Skalarprodukt.- 8.2 Lineare Operatoren.- 8.3 Die Norm eines beschränkten linearen Operators.- 8.4 Eigenwerte und Eigenelemente eines linearen Operators. Spektrum eines linearen Operators.- 8.5 Selbstadjungierte Operatoren.- 9 Selbstadjungierte Integraloperatoren.- 9.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen selbstadjungierter Integraloperatoren.- 9.2 Aufgaben.- 10 Bilineare Zerlegung eines symmetrischen Kerns.- 10.1 Das maximale ONS eines Kerns.- 10.2 Bilineare Zerlegung der iterierten Kerne.- 10.3 Der Satz von Hilbert-Schmidt und seine Folgerungen.- 10.4 Aufgaben.- 11 Lösbarkeit von Gleichungen mit symmetrischem Kern.- 11.1 Die eindeutige Lösbarkeit.- 11.2 Der Fall eines charakteristischen Wertes % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBamXvP5wqonvsaeHbd9wDYLwzYbqe % e0evGueE0jxyaibaieYlf9irVeeu0dXdh9vqqj-hEeeu0xXdbba9fr % Fj0-OqFfea0dXdd9vqaq-JfrVkFHe9pgea0dXdar-Jb9hs0dXdbPYx % e9vr0-vr0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaa % aaaaaapeGaeqiVd0Maeyypa0JafqiVd0MbaGaaaaa!3BB1!$$\mu = \tilde \mu $$.- 11.3 Die Resolvente.- 11.4 Hermitesche Kerne.- 11.5 Fredholmsche Alternative für einen stetigen Kern (Beweisprinzip).- 11.6 Aufgaben.- 12 Integralgleichungen erster Art.- 12.1 Volterrasche Integralgleichungen erster Art.- 12.2 Fredholmsche Integralgleichungen erster Art.- 12.3 Aufgaben.- Der Zusammenhang zwischen Integral- und Differentialgleichungen.- 13 Das Sturm-Liouvillesche Problem.- 13.1 Eine Randwertaufgabe.- 13.2 Übergang zur Integralgleichung.- 13.3 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Sturm-Liouvilleschen Problems.- 13.4 Parameterabhängige Randwertaufgaben.- 13.5 Aufgaben.- Einige Approximationsmethoden.- 14 Die Methode der Quadraturformeln.- 14.1 Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art.- 14.2 Fredholmsche Integralgleichung erster Art.- 14.3 Volterrasche Integralgleichung zweiter Art.- 14.4 Volterrasche Integralgleichung erster Art.- 14.5 Nichtlineare Integralgleichungen.- 14.6 Aufgaben.- 15 Die Momentenmethode, die Methode der kleinsten Quadrate und die Kollokationsmethode.- 15.1 Die Momentenmethode.- 15.2 Die Methode der kleinsten Quadrate.- 15.3 Die Kollokationsmethode.- 15.4 Aufgaben.- Lösungen und Lösungshinweise.- Literatur.