Höhere Mathematische Methoden Für Ingenieure Und Physiker

ISBN-13: 9783540503880 / Niemiecki / Miękka / 1988 / 455 str.

Peter Plaschko; Klaus Brod

Opis

Das Buch fuhrt mathematische Methoden zur Berechnung der Losungen von Differentialgleichungen vor. Einen Schwerpunkt dabei bilden Naherungsverfahren. Im Unterschied zu rein mathematischen Lehrbuchern, die oft mit hohem Abstraktionsgrad arbeiten und der strengen Beweisfuhrung haufig viel Raum widmen, geht das vorliegende Buch ausfuhrlich auf Anwendungen und Methoden ein, die in der Praxis besonders wichtig sind. Ein abschliessendes Kapitel behandelt das aktuelle Thema deterministisch-chaotischer Systeme. Die Autoren wenden sich an Studenten im Hauptstudium sowie an in der Forschung arbeitende Ingenieure und Physiker, aber auch an andere Naturwissenschaftler, die sich mit Losungsproblemen komplizierter Differntialgleichungen beschaftigen."

Spis treści

1 Einführung.- 1.1 Die linearisierte Wellengleichung.- 1.2 Emission von Schallwellen durch eine oszillierende Kugel.- 1.3 Streuung von Schallwellen an Zylindern.- Aufgaben.- 2 Formale Theorie asymptotischer Entwicklungen.- 2.1 Definitionen.- 2.2 Eindeutigkeit asymptotischer Entwicklungen.- 2.3 Konvergenz und Genauigkeit asymptotischer Entwicklungen.- 2.4 Gleichmäßige Gültigkeit.- 2.5 Mathematische Operationen mit asymptotischen Entwicklungen.- 2.5.1 Linearkombinationen.- 2.5.2 Integration.- 2.5.3 Multiplikation.- 2.5.4 Differentiation.- 2.6 Koordinaten-Entwicklungen.- 2.7 Stokessches Phänomen.- Aufgaben.- 3 Reihenansätze zur Lösung von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 3.1 Reihenentwicklungen an Stellen der Bestimmtheit.- 3.1.1 Zusammenfallende Lösungen der determinierenden Gleichung.- 3.1.2 Der Fall ?2 = ?1 ? N.- 3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen.- 3.1.4 Die Rayleigh-Gleichung.- 3.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 3.3 Lösungen in Umgebungen von Stellen der Unbestimmtheit.- 3.4 Summation divergenter Reihen.- Aufgaben.- 4 Integraltransformationen zur Lösung linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 4.1 Verallgemeinerte Laplace- bzw. Fourier—Transformationen.- 4.1.1 Die verallgemeinerten Fehlerfunktionen.- 4.1.2 Die Airy-Funktionen.- 4.1.3 Verallgemeinerte Airy-Funktionen.- 4.1.4 Parabolische Zylinderfunktionen.- 4.2 Eulersche Integraltransformationen.- 4.3 Sommerfeldsche Integraldarstellungen der Bessel-Funktionen.- 4.4 Die Gamma-Funktion und verwandte Funktionen.- Aufgaben.- 5 Asymptotische Entwicklung von Integralen.- 5.1 Die Methode partieller Integrationen (MPI).- 5.2 Das Watsonsche Lemma (WL).- 5.3 Die Laplace-Methode (LM).- 5.4 Die Methode stationärer Phasen (MSP).- 5.5 Die Sattelpunktsmethode.- 5.5.1 Asymptotische Entwicklung der Gamma-Funktion für x ? ?.- 5.5.2 Asymptotische Entwicklung der verallgemeinerten Airy Funktionen für ?x? ? ?.- 5.5.3 Asymptotische Entwicklung der parabolischen Zylinderfunktionen für ?x? ? ?.- Aufgaben.- 6 Die Wiener-Hopf-Methode.- 6.1 Wellen-Reflexion und —Transmission auf einer Saite an einer Unstetigkeit der Dichte.- 6.1.1 Herleitung der Wiener-Hopf-Gleichung.- 6.1.2 Lösung der Wiener-Hopf-Gleichung.- 6.1.3 Inversion des Fourier-Integrals.- 6.2 Wellen-Reflexion und—Transmission auf einem Balken.- 6.3 Zweidimensionale Halbebenen-Probleme.- 6.3.1 Die halbunendliche Platte mit Ladung.- 6.3.2 Hannonische Schallwellen.- 6.4 Schall-Reflexion und —Transmission in Kanälen mit Strömung.- 6.5 Anwendung der Wiener-Hopf-Methode auf Integralgleichungen.- Aufgaben.- 7 Variationsrechnung.- 7.1 Variationsmethoden für diskrete Systeme.- 7.1.1 Das Konzept der Variation eines Funktionals.- 7.1.2 Verallgemeinerung des einfachsten Variationsproblems.- 7.1.3 Hinreichende Bedingungen.- 7.1.4 Natürliche Randbedingungen auf freien Rändern.- 7.1.5 Umkehrung des Variationsproblems.- 7.1.6 Der Hamilton-Formalismus.- 7.1.6.1 Die kanonischen Gleichungen.- 7.1.6.2 Das Hamiltonsche Prinzip.- 7.1.7 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen.- 7.1.8 Die Hamilton-Jacobi-Theorie.- 7.2 Variationsmethoden für Kontinua.- 7.2.1 Das Hamiltonsche Prinzip für Kontinua.- 7.2.2 Eine Bemerkung über dissipative Systeme.- 7.2.3 Die allgemeine Wellengleichung der Akustik bei Potentialströmung.- Aufgaben.- 8 Reguläre und singuläre Störprobleme.- 8.1 Potentialströmung um einen leicht deformierten Kreiszylinder.- 8.2 Gründe für das Versagen direkter Entwicklungen.- 8.2.1 Mathematische Gründe.- 8.2.2 Physikalische Gründe.- Aufgaben.- 9 Die WKB-Methode.- 9.1 Ein singuläres Störproblem zweiter Ordnung.- 9.1.1 Ein spezielles singuläres Störproblem zweiter Ordnung.- 9.2 WKB-Ansätze zur Lösung der Wellengleichung und der Schrödinger-Gleichung.- 9.3 WKB-Ansätze zur Koordinaten-Entwicklung der Lösungen von DGLn..- 9.4 WKB-Lösungen der Orr-Sommerfeld-Gleichung.- 9.5 Wendepunktsprobleme.- 9.5.1 Der Tunneleffekt.- 9.6 Partielle Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 10 Angepaßte Asymptotische Entwicklungen (Gewöhnliche Differentialgleichungen).- 10.1 Die Modell-Grenzschicht.- 10.1.1 Asymptotische Anpassungsregeln.- 10.1.2 Gleichmäßig gültige, zuammengesetzte Entwicklungen.- 10.2 Überlappung von innerer und äußerer Entwicklung und Zwischenentwicklungen.- 10.3 lineare Grenzschichtprobleme zweiter Ordnung.- 10.3.1 Grenzschichten an Intervallrändern.- 10.3.2 Interne Grenzschichten.- 10.3.3 Randwertprobleme mit singulären Koeffizientenfunktionen.- 10.4 Hydrodynamische Stabilitätstheorie.- 10.5 Nichtlineare Grenzschichtprobleme.- Aufgaben.- 11 Angepaßte asymptotische Entwicklungen (Partielle Differentialgleichungen).- 11.1 Lineare singuläre Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 11.1.1 Elliptische Differentialgleichungen.- 11.1.2 Wärmeübergang bei großen Péclet-Zahlen.- 11.1.3 Parabolische Differentialgleichungen.- 11.2 Singuläre Randbedingungen.- 11.2.1 Potentialströmung durch ein Rohr mit einer Einschnürung.- 11.2.2 Streuung langer Schallwellen an starren Kugeln.- 11.3 Optimale Koordinaten in der hydrodynamischen Grenzschichttheorie.- Aufgaben.- 12 Die Vielvariablen-Methode und verwandte Verfahren.- 12.1 Ein Vergleich einiger Methoden.- 12.1.1 Direkte Entwicklungen.- 12.1.2 Das Lindstedt-Poincaré-Verfahren.- 12.1.3 Die Vielvariablen-Methode.- 12.1.4 Die Mittelwertsmethode und das Verfahren von Krylow, Bogoljubow und Mitropolski.- 12.1.5 Verallgemeinerungen.- 12.2 Die Methode verzerrter Koordinaten.- 12.3 Hydrodynamische Stabilitätstheorie schwach divergenter Strömungen.- Aufgaben.- 13 Deterministisches Chaos — Eine Einführung.- 13.1 Dynamische Systeme.- 13.1.1 Phasendiagramme, Attraktoren.- 13.1.2 Kontinuierliche dynamische Systeme.- 13.1.3 Diskrete dynamische Systeme.- 13.1.4 Allgemeine Betrachtungen.- 13.2 Chaotisches Verhalten dynamischer Systeme.- 13.2.1 Diskrete Systeme.- 13.2.2 Kontinuierliche Systeme.- 13.3 Geometrische Verfahren.- 13.3.1 Bifurkationen (oder Verzweigungen).- 13.3.2 Verzweigung Fixpunkt ? Grenzzyklus.- 13.3.2.1 Transkritische Verzweigung.- 13.3.2.2 Pitchfork-Bifurkation.- 13.3.2.3 Hopf-Bifurkation.- 13.3.3 Sattel-Knoten-Verzweigung.- 13.3.4 Periodenverdoppelungs-Verzweigung.- 13.3.5 Subkritische Bifurkationen.- 13.3.6 Selbstähnlichkeit.- 13.4 Analytisch-Numerische Verfahren.- 13.4.1 Dynamische Systeme.- 13.4.2 Verhalten des eingeschwungenen Systems, Attraktoren.- 13.4.3 Informationszuwachs in kontinuierlichen Systemen.- 13.4.4 Die Poincaré-Abbildung.- 13.4.5 Stabilität, Lyapunov-Exponent.- 13.4.6 Dimension.- 13.4.6.1 Hausdorff-Dimension.- 13.4.6.2 Informations-Dimension.- 13.4.6.3 Korrelations-Dimension.- 13.4.6.4 Kaplan-Yorke-Dimension (auch Lyapunov-Dimension).- 13.4.6.5 Vergleich der verschiedenen Dimensionsbegriffe.- 13.4.7 Zusammenhang verschiedener Größen am Beispiel der logistischen Parabel.- 13.5 Wege in’s Chaos.- 13.5.1 Hopf-Verzweigungs-Routen.- 13.5.1.1 Der Ruelle-Takens-Newhouse-Weg.- 13.5.1.2 Der Curry-Yorke-Weg.- 13.5.2 Sattel-Knoten-Bifurkations-Route: der Pomeau-Manneville-Weg.- 13.5.3 Perioden-Verdoppelungs-Route: der Feigenbaum-Weg.- 13.6 Das Chaos als Zustand höchster Ordnung ?.- Aufgaben.- Literatur.

O autorze

Prof. Dr.-Ing. Peter Plaschko lehrt an der Universidad Autonoma Metropolitana, Mexico.