Grundlagen Der Mathematik I

ISBN-13: 9783642868955 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 480 str.

David Hilbert; Paul Bernays

Spis treści

§ 1. Das Problem der Widerspruchsfreiheit in der Axiomatik als logisches Entscheidungsproblem.- a) Formale Axiomatik.- 1. Verhältnis der formalen zur inhaltlichen Axiomatik; Frage der Widerspruchsfreiheit; Arithmetisierung.- 2. Geometrische Axiome als Beispiel.- 3. Rein logische Fassung der Axiomatik.- b) Das Entscheidungsproblem.- 1. Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit.- 2. Entscheidung für endliche Individuenbereiche.- 3. Methode der Aufweisung.- c) Die Frage der Widerspruchsfreiheit bei unendlichem Individuenbereich.- 1. Formeln, die nicht im Endlichen erfüllbar sind; die Zahlenreihe als Modell.- 2. Problematik des Unendlichen.- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit als Unmöglichkeitsbeweis; Methode der Arithmetisierung.- § 2. Die elementare Zahlentheorie. — Das finite Schließen und seine Grenzen.- a) Die Methode der anschaulichen Überlegung und ihre Anwendung in der elementaren Zahlentheorie.- 1. Begriff der Ziffer; Beziehung „kleiner“; Addition.- 2. Rechengesetze; vollständige Induktion; Multiplikation; Teilbarkeit; Primzahl.- 3. Rekursive Definitionen.- 4. Unmöglichkeitsbeweis.- b) Weitere Anwendungen anschaulicher Überlegungen.- 1. Beziehung zwischen Zahlentheorie und Anzahlenlehre.- 2. Standpunkt der formalen Algebra.- c) Der finite Standpunkt; Überschreitung dieses Standpunktes bereits in der Zahlentheorie.- 1. Logische Charakterisierung des finiten Standpunktes.- 2. Das „tertium non datur“ für ganze Zahlen; das Prinzip der kleinsten Zahl.- d) Nichtfinite Methoden in der Analysis.- 1. Verschiedene Definitionen der reellen Zahl.- 2. Obere Grenze einer Zahlenfolge; obere Grenze einer Zahlenmenge.- 3. Das Auswahlprinzip.- e) Untersuchungen zur direkten finiten Begründung der Arithmetik; Rückkehr zur früheren Problemstellung; die Beweistheorie.- § 3. Die Formalisierung des logischen Schließens I: Der Aussagenkalkul.- a) Theorie der Wahrheitsfunktionen.- 1. Die Wahrheitsfunktionen und ihre Schemata.- 2. Ersetzbarkeit; Ersetzungsregeln.- 3. Beispiele von Ersetzbarkeiten.- 4. Dualität; konjunktive und disjunktive Normalform; identisch wahre Ausdrücke; Entscheidungsverfahren.- 5. Ausgezeichnete Normalform; Entscheidung über Ersetzbarkeit; Beispiele.- b) Anwendung der Theorie der Wahrheitsfunktionen auf das logische Schließen; Formalisierung aussagenlogischer Schlüsse mittels der identisch wahren Ausdrücke, der Einsetzungsregel und des Schlußschemas.- c) Deduktive Aussagenlogik.- 1. Problemstellung.- 2. Ein System der deduktiven Aussagenlogik; Vollständigkeitseigenschaften dieses Systems.- 3. Positive Logik; reguläre Implikationsformeln; positiv identische Implikationsformeln; Möglichkeiten der Kürzung.- d) Unabhängigkeitsbeweise nach der Methode der Wertung.- 1. Die logische Interpretation als Wertung; das allgemeine Verfahren.- 2. Unabhängigkeitsbeweise für das aufgestellte System; noch ein weiterer Unabhängigkeitsbeweis.- 3. Anwendung der Wertungsmethode auf die Frage der Vertretbarkeit von Formeln durch Schemata.- e) Rückkehr zu der unter b) betrachteten Art der Formalisierung des Schließens; abkürzende Regeln; Bemerkung über den Fall eines Widerspruchs.- § 4. Die Formalisierung des Schließens II: Der Prädikatenkalkul.- a) Einführung der Individuenvariablen; Begriff der Formel; Einsetzungsregel; Beispiel; Vergleich mit dem inhaltlichen Schließen.- b) Die gebundenen Variablen und die Regeln für Allzeichen und Seinszeichen.- 1. Unzulänglichkeit der freien Variablen.- 2. Einführung der gebundenen Variablen; Allzeichen und Seinszeichen; Regel der Umbenennung; Vermeidung von Mehrdeutigkeiten; Erweiterung des Begriffs der Formel sowie der Einsetzungsregel.- 3. Heuristische Einführung der Regeln für die Allzeichen und Seinszeichen; inhaltliche Deutung der Formeln und Schemata.- 4. Zusammenstellung der Regeln des Prädikatenkalkuls; Darstellung der Formen kategorischer Urteile; Ausschluß des leeren Individuenbereichs.- c) Ausführung von Ableitungen.- 1. Einige abgeleitete Regeln.- 2. Ableitung von Formeln.- d) Systematische Fragen.- 1. Begriff der k-zahlig identischen Formel und der im Endlichen identischen Formel; deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln; Widerspruchsfreiheit des Prädikatenkalkuls; Vollständigkeitsfragen.- 2. Exkurs über die mengentheoretische Prädikatenlogik; Vorläufiges zu den Fragen der Vollständigkeit; das Entscheidungsproblem und seine Verschärfung unter dem deduktiven Gesichtspunkt.- e) Betrachtungen über den Formalismus des Prädikatenkalkuls.- 1. Begriff der Überführbarkeit; abgeleitete Regeln.- 2. Überführung von Formeln in pränexe Formeln; Beispiele; Abgrenzung von Fällen der Lösung des Entscheidungsproblems an Hand der pränexen Normalform.- 3. Zerlegung einer Formel des einstelligen Prädikatenkalkuls in Primärformeln; Beispiel.- f) Deduktionsgleichheit und Deduktionstheorem.- 1. Begriff der Deduktionsgleichheit; zwei wesentliche Fälle von Deduktionsgleichheit; Überführbarkeit und Deduktionsgleichheit.- 2. Das Deduktionstheorem.- 3. Anwendungen des Deduktionstheorems: Zurückführung axiomatischer Fragen auf solche der Ableitbarkeit von Formeln des Prädikatenkalkuls; erleichterte Feststellung der Ableitbarkeit; Betrachtung einer gebräuchlichen Schlußweise.- 4. Deduktionsgleichheit einer jeden Formel mit einer Skolemschen Normalform sowie auch mit einer Normaldisjunktion; Vereinfachung des Überganges.- § 5. Hinzunahme der Identität. Vollständigkeit des einstelligen Prädikatenkalkuls.- a) Erweiterung des Formalismus.- 1. Das Gleichheitszeichen; Darstellung von Anzahlaussagen; die Gleichheitsaxiome und die formalen Eigenschaften der Identität.- 2. Verwendung der Gleichheitsaxiome zu Umformungen, insbesondere solchen von Anzahlbedingungen; Anzahlformeln.- 3. Zerlegung einer Formel des erweiterten einstelligen Prädikatenkalkuls in Primärformeln.- 4. Ausdehnung des Begriffes der k-zahlig identischen Formel; deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln; Eindeutigkeitsbetrachtung.- 5. Hinzunahme von Funktionszeichen; Begriff des Terms; ableitbare Formeln.- b) Lösung von Entscheidungsproblemen; Vollständigkeitssätze.- 1. Entscheidung über die Ableitbarkeit solcher pränexer Formeln des Prädikatenkalkuls, bei denen jedes Allzeichen jedem Seinszeichen vorhergeht; Entscheidbarkeit im Endlichen.- 2. Ableitbarkeit einer jeden im Endlichen identischen Formel des einstelligen Prädikatenkalkuls, Nachweis mit Hilfe des vorherigen Entscheidungsverfahrens; ein mengentheoretischer Nachweis und seine finite Verschärfung.- 3. Deduktionsgleiche Normalform für eine Formel des erweiterten einstelligen Prädikatenkalkuls.- 4. Vollständigkeitssätze für den erweiterten einstelligen Prädikatenkalkul.- § 6. Widerspruchsfreiheit unendlicher Individuenbereiche. Anfänge der Zahlentheorie.- a) Überleitung von der Frage der Unableitbarkeit gewisser im Endlichen identischer Formeln des Prädikatenkalkuls zur Frage der Widerspruchsfreiheit eines zahlentheoretischen Axiomensystems.- 1. Ersetzung der Formelvariablen durch Prädikatensymbole; eine Abhängigkeit zwischen den betrachteten Formeln.- 2. Einbeziehung der Gleichheitsaxiome; die Dedekindsche Unendlichkeitsdefinition; Einführung des Strichsymbols.- 3. Übergang zu Axiomen ohne gebundene Variablen unter Verschärfung der Existenzaxiome; das Symbol 0; Ziffern im neuen Sinne; Peanosche Axiome; Zusammenstellung der erhaltenen Axiome.- b) Allgemein logischer Teil des Nachweises der Widerspruchsfreiheit.- 1. Spezialisierung der Endformel; Ausschluß gebundener Variablen; Auflösung in Beweisfäden.- 2. Rückverlegung der Einsetzungen; Ausschaltung der freien Variablen; numerische Formeln; Definition von „wahr“ und „falsch“; „Wahrheit“ einer jeden ohne Benutzung gebundener Variablen ableitbaren Formel.- 3. Einbeziehung der gebundenen Variablen; Maßregel zur Erhaltung der Schemata bei der Rückverlegung der Einsetzungen; Unzulänglichkeit des bisherigen Verfahrens.- c) Durchführung des Nachweises der Widerspruchsfreiheit mittels eines Reduktionsverfahrens.- 1. Ausschaltung der Allzeichen; die Reduktionsschritte; Begriff der Reduzierten.- 2. Verifizierbare Formeln; Eindeutigkeitssatz; Hilfssätze.- 3. Verifizierbarkeit einer jeden ableitbaren, von Formelvariablen freien Formel; Wiedereinbeziehung der Allzeichen; Ersetzbarkeit von Axiomen durch Axiomenschemata.- d) Übergang zu einem (im Bereich der Formeln ohne Formelvariablen) deduktiv abgeschlossenen Axiomensystem.- 1. Unableitbarkeit gewisser verifizierbarer Formeln durch das betrachtete Axiomensystem; Nachweis mit Hilfe von „Ziffern zweiter Art“.- 2. Ansatz zur Vervollständigung des Axiomensystems; Ableitbarkeit einer Reihe von Äquivalenzen als hinreichende Bedingung.- 3. Deduktive Zurückführung der Äquivalenzen auf fünf zu den Axiomen hinzuzufügende Formeln; Vereinfachungen; das System (A).- 4. Vollständigkeitseigenschaften des Systems (A).- e) Einbeziehung der vollständigen Induktion.- 1. Formalisierung des Prinzips der vollständigen Induktion durch eine Formel oder durch ein Schema; Gleichwertigkeit der beiden Formalisierungen; Unverändertheit des Bereiches der ableitbaren Formeln ohne Formelvariablen bei der Hinzunahme des Induktionsschemas zu dem System (A).- 2. Vereinfachung des Axiomensystems bei Hinzunahme des Induktionsaxioms; das System (B).- f) Unabhängigkeitsbeweise.- 1. Unableitbarkeit des Induktionsaxioms aus dem System (A).- 2. Unabhängigkeitsbeweise mittels eines Substitutionsverfahrens.- 3. Feststellung der übrigen Unabhängigkeiten durch Modifikationen des Reduktionsverfahrens.- g) Darstellung des Prinzips der kleinsten Zahl durch eine Formel; Gleichwertigkeit dieser Formel mit dem Induktionsaxiom bei Zugrundelegung der übrigen Axiome des Systems (B).- § 7. Die rekursiven Definitionen.- a) Grundsätzliche Erörterungen.- 1. Das einfachste Schema der Rekursion; Formalisierung des anschaulichen Berechnungsverfahrens; Gegenüberstellung von expliziter und rekursiver Definition.- 2. Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Hinzunahme rekursiver Definitionen im Rahmen des elementaren Kalkuls mit freien Variablen; Einbeziehung des Induktionsschemas.- 3. Unmöglichkeit, die Widerspruchsfreiheit der rekursiven Definitionen schon aus der Widerspruchsfreiheit des vorherigen Axiomensystems zu folgern; Ersetzbarkeit arithmetischer Axiome durch rekursive Definitionen; explizite Definition von „ Produkte mit variabler Gliederzahl; Darstellung von allgemeinen und existentialen Aussagen über Zahlen ?n, sowie von Maximum- und Minimumausdrücken.- 3. Teilbarkeit; Division mit Rest; kleinster von 1 verschiedener Teiler; Reihe der Primzahlen; Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren; umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Zahlen > 1 und den endlichen Folgen von Zahlen; Numerierung der Zahlenpaare; größter gemeinsamer Teiler; kleinstes gemeinsames Vielfaches.- c) Erweiterungen des Schemas der Rekursion und des Induktionsschemas.- 1. Rekursionen, die sich auf das einfachste Rekursionsschema (die primitive Rekursion) zurückführen lassen: Wertverlaufsrekursionen, simultane Rekursionen.- 2. Verschränkte Rekursionen; Unzurückführbarkeit gewisser verschränkter Rekursionen auf primitive Rekursionen.- 3. Erweiterte Induktionsschemata; ihre Entbehrlichkeit.- d) Vertretbarkeit rekursiver Funktionen; Übergang zu einem für die Zahlentheorie ausreichenden Axiomensystem.- 1. Rückkehr zum vollen Formalismus; das System (C); Begriff einer wesentlichen Erweiterung eines Formalismus; Beispiele von nicht wesentlichen Erweiterungen; Vertretbarkeit einer Funktion.- 2. Nachweis, daß die Summe und die Differenz im Formalismus des Systems (B) nicht vertretbare Funktionen sind; die Rekursionsgleichungen für die Summe als Axiome; das System (D).- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit des Systems (D) nach der Methode der Reduktion; Unvertretbarkeit des Produktes im Formalismus des Systems (D).- 4. Veränderte Situation bei Hinzunahme der Rekursionsgleichungen für das Produkt; das System (Z).- e) Ergänzende Betrachtungen über die Gleichheitsaxiome.- 1. Ersetzung des zweiten Gleichheitsaxioms durch speziellere Axiome.- 2. Anwendung auf die Axiomensysteme (A), (B), (Z).- 3. Anwendung auf das Entscheidungsproblem; Eliminierbarkeit der Gleichheitsaxiome aus einer Ableitung einer Formel des Prädikatenkalkuls.- § 8. Der Begriff „derjenige, welcher“ und seine Eliminierbarkeit.- a) Die ?-Regel und ihre Handhabung.- 1. Inhaltliche Erörterung; Einführung der ?-Regel; Vermeidung von Kollisionen; Darstellung von Funktionen durch ?-Terme.- 2. Einlagerung und Überordnung; abkürzende Symbole.- 3. Die Funktion ? (A); Formalisierung des Begriffs der kleinsten Zahl durch die Funktion ?xA (x); Eindeutigkeitsformeln.- b) Deduktive Entwicklung der Zahlentheorie auf Grund des Axiomensystems (Z) unter Hinzunahme des formalisierten Begriffs der kleinsten Zahl.- 1. Begriff „kleiner“; Kongruenz; Division mit Rest; Teilbarkeit; zueinander prime Zahlen.- 2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen und von einer endlichen Folge von Zahlen; Maximum einer endlichen Folge von Zahlen.- c) Zurückführung primitiver Rekursionen auf explizite Definitionen mittels der Funktion ?xA (x) bei Zugrundelegung des Systems (Z).- 1. Heuristischer Ansatz.- 2. Formale Durchführung; Möglichkeit der Verallgemeinerung des Verfahrens.- d) Die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen (der ? -Symbole).- 1. Erweiterung der ?-Regel, Verhältnis zur ursprünglichen ?-Regel, die Terme ?(d)xA (x).- 2. Der Ansatz von Rosser und seine Vereinfachung durch Hasenjaeger. Einsetzung von ?-Termen, das Axiom {?}, Beschaffenheit der in Frage stehenden formalen Systeme.- 3. Erklärung der „Reduzierten“ einer Formel und Zurückführung des zu erbringenden Nachweises auf den Beweis der ?-freien Herleitbarkeit der nach einem gewissen Schema gebildeten Formeln.- 4. Durchführung dieses Beweises.- 5. Formulierung des Eliminationstheorems, Überführbarkeit jeder Formel in ihre Reduzierte, Vergleich verschiedener Eliminationsverfahren.- e) Folgerungen aus der Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen.- 1. Die Vertretbarkeit der rekursiven Funktionen im System (Z).- 2. Allgemeines Verfahren der Ausschaltung von Funktionszeichen durch Einführung von Prädikatensymbolen; Ausschaltung von Individuensymbolen.- 3. Durchführung des Verfahrens an dem System (Z); Ausblick auf weitere Fragestellungen.- f) Nachtrag: Ausdehnung des Satzes über die Vertretbarkeit des Gleichheitsaxioms (J2) bei Hinzunahme der ?-Regel.- Namenverzeichnis.

O autorze

David Hilbert (1862-1943) gilt als der vielleicht universellste Mathematiker des ausgehenden 19. und beginnenden 20. Jahrhunderts. Er hat auf zahlreichen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik grundlegende neue Resultate vorgelegt und wesentliche Entwicklungen angebahnt.