Gitter -- Reste -- Würfel: 91 Mathematische Probleme Mit Lösungen

ISBN-13: 9783528084769 / Niemiecki / Miękka / 1984 / 250 str.

Ross Honsberger

Opis

Die Mathematik ist mit klugen Ideen reichlich versehen. Und wie lange man sie auch immer betreibt, aufregende Uberraschungen schei nen ihr nie auszugehen. Keineswegs findet man diese mathematischen Edelsteine nur in schwierigen Arbeiten auf fortgeschrittener Stufe. Auch einfache Probleme konnen voll von Einfallsreichtum und Ge nialitat sein. Der hier vorliegende Band diskutiert eine ganze Schar elementarer Aufgaben, die hauptsachlich der Zeitschrift American Mathematical Monthly, 1894-1975 entnommen wurden. Sie enthal ten viele wunderbare Ideen, ungefahr zwanzig sind einfach schon. Paul Erdos vertritt die Theorie, daB Gott ein Buch besitzt, in dem alle mathematischen Satze mit ihren allerschonsten Beweisen stehen. Wenn Erdos einen Beweis als besonders genial hervorheben will, sagt er: "Der ist aus dem Buch " Vielleicht ist es an dieser Stelle nicht un passend zu behaupten, daB dieses Buch mit der Vorstellung geschrie ben worden ist, daB alle Reichtumer unseres Lebens Geschenke Got tes sind, die wir annehmen und verteilen sollten. Fur den GroBteil des Buches muBten die Kenntnisse eines Studienan fangers mehr als ausreichen. Gelegentlich wird Spezielleres vorausge setzt. Aber sogar in diesem Fall handelt es sich meistens urn gewohn liche, elementare Themen, die nur aus Zeitmangel in den heutigen Vorlesungszyklen erst spater behandelt werden. Ich verweise z.B. auf den Satz von Pick und Grundkenntnisse aus dem Bereich der Kreis spiegelung. Kein Leser sollte beunruhigt sein, wenn er diese Dinge nicht kennt, da man sie sich sofort aneignen kann, wenn man sie braucht. Hinweise auf solche Themen werden im Text angegeben.

Spis treści

1 Das Schachturnier.- 2 Die geordneten Partitionen von n..- 3 Gebiete in einem Kreis.- 4 Die Fährboote.- 5 Der vorstehende Halbkreis.- 6 Das Chauffeurproblem.- 7 Die Wandschirme in der Ecke.- 8 Färbungen der Ebene.- 9 Ein ins Auge springendes Maximum.- 10 cos 17 ×=f (cos x).- 11 Ein Quadrat im Gitter.- 12 Ein undurchlässiges Quadrat.- 13 Das Spiel der X und 0.- 14 Eine überraschende Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke.- 15 Die Ziffern der Zahl 44444444.- 16 ?(n) + ?(n)=n·d(n).- 17 k-Haufen.- 18 Eine Summe minimaler Zahlen.- 19 Die drei letzten Stellen der Zahl 79999.- 20 Ein Würfelspiel.- 21 Der durchbohrte Würfel.- 22 Doppelfolgen.- 23 Punkttrennende Kreise.- 24 Über die Längen der Seiten eines Dreiecks.- 25 Keine Analysis, bitte!.- 26 ab und ba.- 27 Eine mathematische Scherzfrage.- 28 Landkarten auf der Kugel.- 29 Konvexe Gebiete der Ebene.- 30 Ein diophantisches Gleichungssystem.- 31 Eine reflektierte Tangente.- 32 Das wohlzerstörte Schachbrett.- 33 Die Schneebälle.- 34 Die Zahlen zwischen 1 und einer Milliarde.- 35 Aneinanderstoßende, einander nicht überlappende Einheitsquadrate.- 36 Eine diophantische Gleichung.- 37 Die Folge der Fibonacci-Zahlen.- 38 Eine Ungleichung von Erd ös.- 39 Gitterpunktverteilung.- 40 Perfekte Zahlen.- 41 Die Seiten im Viereck.- 42 Primzahlen in arithmetischen Folgen.- 43 Cevasche Strecken.- 44 Die Kühe und die Schafe.- 45 Eine Folge von Quadraten.- 46 Das eingeschriebene Zehneck.- 47 Rote und blaue Punkte.- 48 Die Methode von Swale.- 49 ?(n).- 50 Eine Sehne konstanter Länge.- 51 Die Anzahl der inneren Diagonalen.- 52 Gefälschte Würfel.- 53 Eine merkw ürdige Folge.- 54 Lange Ketten aufeinanderfolgender nat ürlicher Zahlen.- 55 Ein minimales eingeschriebenes Viereck.- 56 Dreieckszahlen.- 57 Regelmäßige n-Ecke.- 58 Die Fermatschen Zahlen.- 59 Eine Ungleichung für Reziprokwerte.- 60 Eine vollkommene vierte Potenz.- 61 Quadratpackungen.- 62 Die roten und die gr ünen Bälle.- 63 Zusammengesetzte Glieder arithmetischer Folgen.- 64 Aufeinanderstoßende gleichseitige Dreiecke.- 65 Prüfungen.- 66 Eine Anwendung des Satzes von Ptolemäus.- 67 Noch eine diophantische Gleichung.- 68 Eine ungew öhnliche Eigenschaft komplexer Zahlen.- 69 Eine Kreiskette.- 70 Gleiche Ziffern am Ende einer Quadratzahl.- 71 Eine Winkelhalbierende.- 72 Ein Ungleichungssystem.- 73 Eine unerwartete Eigenschaft des regelmäßigen 26-Ecks.- 74 Mehr über vollkommene Quadrate.- 75 Ein ungew öhnliches Polynom.- 76 Schwerpunkte, die auf einem Kreis liegen.- 77 Ein einfacher Rest.- 78 Eine merkw ürdige Eigenschaft von 3.- 79 Ein Quadrat im Quadrat.- 80 Immer ein Quadrat.- 81 Eine Einteilung der nat ürlichen Zahlen.- 82 Dreiecke, deren Seitenlängen benachbarte Glieder einer arithmetischen Folge sind.- 83 Durch Permutationen bestimmte Brüche.- 85 Binomialkoeffizienten.- 85 Die Fermatsche Zahl F73.- 86 Ein Sehnenviereck.- 87 Besondere Tripel nat ürlicher Zahlen.- 88 Primzahlsummen.- 89 Noch eine merkw ürdige Folge.- 90 Ellipsen im Gitter.- 91 Archimedische Dreiecke.- Übungen.- Liste der nach Themen geordneten Probleme.