Finite-Volumen- Und Mehrgitter-Verfahren Für Elliptische Randwertprobleme

ISBN-13: 9783519027416 / Niemiecki / Miękka / 1998 / 356 str.

Jurgen Bey

Opis

Zum Kontext dieses Buches Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen beinhaltet im allgemeinen die Losung grosser bis sehr grosser Gleichungssysteme. Bei dreidimensionalen Problemen z. B. sind mehrere Millionen Unbekannte keine Seltenheit, und obwohl die Rechenleistung der starksten Computer in den letzten Jahrzehnten exponentiell angestiegen ist, konnten viele praxis relevante Probleme heute nicht gelost werden, waren die Numeriker nicht bei der Entwicklung effizienter Algorithmen ahnlich erfolgreich gewesen. Zu den bemerkenswertesten Fortschritten auf diesem Gebiet zahlt die Entwicklung adaptiver Mehrgitter-und Multilevelverfahren, deren Erfolg auf der Verschmelzung zweier leistungsfahiger Konzepte beruht: der Kombination adaptiver Diskretisierungstechniken mit schnellen Mehrgitter- bzw. Multilevellosern. Die Anwendung adaptiver Diskretisierungstechniken dient zunachst dazu, die Anzahl der Unbekannten und damit die Dimension des zu losenden Gleichungssystems moglichst gering zu halten. Wurden fruher zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen in erster Linie gleichmassig strukturierte Rechteckgitter verwendet, so ist man heute durch den Einsatz ge eigneter Fehlerschatzer in der Lage, die Diskretisierung - ausgehend von einem relativ groben Anfangsgitter und einer entsprechend groben Naherungslosung - schrittweise an die aktuel le Naherungslosung anzupassen, bis die gewunschte Genauigkeit erreicht ist. Ublicherweise wird dazu das aktuelle Diskretisierungsgitter lokal verfeinert, und zwar an solchen Stellen, wo aufgrund entsprechender Fehlerabschatzungen eine hohere Genauigkeit zu erwarten ist, z. B. in der Nahe von Singularitaten, Grenzschichten, einspringenden Ecken, etc. Bereiche, in denen die Losung sich als hinreichend glatt herausstellt, bleiben unverfeinert oder konne- etwa bei zeit abhangigen Anwendungen - sogar wieder vergrobert werden."

Spis treści

Einführung in die Theorie und Numerik elliptischer Randwertprobleme - Funktionenräume - Elliptische Randwertprobleme - Simplizes und Triangulieren - Die Methode der Finiten Elemente Adaptive Verfeinerungsalgorithmen - Multileveltriangulierungen und adaptive Verfeinerungsalgorithmen

Blurb

Adaptive Mehrgitterverfahren zählen heute zu den schnellsten numerischen Lösungsmethoden für elliptische Randwertprobleme. Dabei wird das zugrundeliegende Diskretisierungsgitter mit Hilfe eines geeigneten Fehlerschätzers durch sukzessive Verfeinerung schrittweise an die Lösung des Problems angepaßt. Die resultierenden linearen Gleichungssysteme werden dann mit einem Mehrgitterverfahren gelöst, das seinerseits direkt auf die vorhandene Gitterhierarchie aufsetzt. Zur Diskretisierung elliptischer Randwertprobleme auf unstrukturierten Gittern, wie sie bei adaptiven Anwendungen typischerweise entstehen, werden neben dem Finite-Elemente-Verfahren immer häufiger auch Finite-Volumen-Methoden verwendet. Diese eigentlich für hyperbolische Erhaltungssätze entwickelten Verfahren bieten auch bei elliptischen Problemen eine Reihe von Vorteilen, z.B. bei der Konstruktion von Upwindverfahren für den konvektionsdominierten Fall. Das vorliegende Buch setzt sich nun mit einer ganzen Reihe interessanter Fragestellungen rund um die Theorie und Anwendung von Finite-Volumen- bzw. Mehrgitterverfahren auseinander. Dazu zählen insbesondere die Themen: - Adaptive Verfeinerung von Tetraedergittern - Verfeinerung höherdimensionaler Simplizes - Finite-Volumen-Konvergenztheorie - Upwind-Stabilisierung - Robuste Mehrgitterverfahren für Konvektions-Diffusions-Probleme. Am Beginn der Darstellung steht eine kurze Einführung in die Theorie und Numerik elliptischer Randwertprobleme. Das Buch eignet sich sowohl für den theoretisch interessierten Mathematiker als auch für den eher anwendungsbezogenen Ingenieur.