Entdeckbarkeitstheorie. Eine Theorie über die Frage, ob mathematische Objekte von Menschenhand geschaffen sind

ISBN-13: 9783656889151 / Niemiecki / Miękka / 2015 / 26 str.

Daniel Janocha

Opis

Wissenschaftlicher Aufsatz aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 1,0, Technische Universitat Darmstadt, Sprache: Deutsch, Abstract: Die Entdeckbarkeitstheorie ist eine Theorie der philosophischen Mathematik, die sich mit der Existenz derjenigen Objekte beschaftigt, mit denen Mathematik gemacht wird. In den "Grundlagen der Arithmetik" fasst Gottlob Frege kurz und pragnant den philosophischen Kerngedanken der Entdeckbarkeitstheorie zusammen: Mathematische Objekte sind nicht von Menschenhand geschaffen, sie existieren unabhangig von menschlichem Denken. Der Mensch benennt mathematische Objekte, um mit ihnen arbeiten zu konnen. Das Definieren ist dabei aber kein existenzschaffender Prozess, es ist lediglich eine Taufe, eine Namensgebung fur bereits Existierendes. Grundlegend fur die Definition aller mathematischen Objekte ist die Definition des Begriffs Menge. Georg Cantor definierte 1895 eine Menge als "jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen." John von Neumann lieferte ein mengentheoretisches Modell zur Definition der naturlichen Zahlen, also fur die elementarsten mathematischen Objekte. Die Entdeckbarkeitstheorie basiert auf von Neumanns Definition der naturlichen Zahlen und muss daher nicht auf die Peano-Axiome eingehen. Die von Neumann'sche Definition der naturlichen Zahlen motiviert das Axiomensystem der Entdeckbarkeitstheorie, aus dem die zwei Kernresultate der Entdeckbarkeitstheorie folgen: Alle mathematischen Objekte sind entdeckbar (Entdeckbarkeitscharakteristik). Aus entdeckbaren mathematischen Objekten konnen nur entdeckbare mathematische Objekte konstruiert werden (Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie). Aus der Entdeckbarkeitscharakteristik und dem Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie folgt, dass der Mensch keine mathematischen Objekte schafft, sondern mit a priori existenten Objekten arbeitet. Das Ziel