Endliche Körper: Verstehen, Rechnen, Anwenden

ISBN-13: 9783540795971 / Niemiecki / Miękka / 2008 / 178 str.

Hans Kurzweil

Opis

In jedem Handy, CD-Player und Computer steckt ein Chip, der lineare Gleichungssysteme uber einem endlichen Korper blitzschnell lost, um fehlerbehaftetes Datenmaterial zu korrigieren; dieses Buch erklart das mathematische Innenleben eines solchen Chips. Endliche Korper sind Zahlenbereiche (sog. Galoisfelder) mit nur endlich vielen Zahlen, die man aber addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Das Hauptanliegen des Buches ist es, auf elementare Weise zu erklaren und zu uben, wie diese Rechungen ausgefuhrt werden. Es wendet sich an jeden, dem die mathematischen Sprache nicht fremd ist und der wissen mochte, wie endliche Korper funktionieren. Vorausgesetzt wird eine gewisse Vertrautheit mit Grundbegriffen der linearen Algebra, wie sie etwa in einer Vorlesung Ingenieurmathematik geubt werden. Obwohl der Text zielgerichtet ist, bietet er auch eine elementare Einfuhrung in die Algebra, denn endliche Korper konnen ohne algebraische Begriffe Gruppe, Vektorraum, Ring, Korper und Polynom nicht erklart werden."

Recenzje

Aus den Rezensionen:

"Zur Entschlüsselung digitaler Informationen, die geeignet codiert, aber durch Übertragungsfehler entstellt wurden, hat die Theorie der endlichen Körper eine sehr praktische Bedeutung gewonnen. Der Autor destilliert dieses Gebiet aus dem allgemeinen algebraischen Zusammenhang, in das es üblicherweise verwoben ist, völlig heraus und entwickelt mit minimalem Begriffsaufwand zielgerichtet das Instrumentarium ... Der ... Text verlangt keinerlei das Schulwissen übersteigende Vorkenntnisse. Trotz der sehr konkreten Ausrichtung ... bietet der Band auch einen ersten, in der Schule nutzbaren Einblick in algebraische Strukturen und Methoden."

(Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2007, Issue 21)

Spis treści

Der Ring der ganzen Zahlen.- Der Polynomring.- Die Teilbarkeit.- Der erweiterte Euklidische Algorithmus.- Nullstellen von Polynomen.- Zyklische Gruppen.- Die multiplikative Gruppe und die diskrete Fouriertransformation.- Das Rechnen in endlichen Körpern.- Erweiterungskörper.- Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern.- Irreduzible Polynome.- Reed–Solomon Codes.

Blurb

In jedem Handy, CD-Player und Computer steckt ein Chip, der lineare Gleichungssystem über einem endlichen Körper blitzschnell löst, um fehlerbehaftetes Datenmaterial zu korrigieren; dieses Buch erklärt also das mathematische Innenleben eines solchen Chips. Endliche Körper (sogenannte Galoisfelder) sind Zahlbereiche mit nur endlich vielen Zahlen, die man trotzdem addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Das Hauptanliegen des Buches ist es, auf elementare Weise zu erklären und zu üben, wie diese Rechnungen ausgeführt werden. In der Praxis beruht diese Arithmetik auf der 0,1- Arithmetik des Computers. Ein endlicher Körper mit 2 Elementen besteht aus den bits 0,1; acht bits erklären ein byte, und diese bytes sind die Elemente eines Körpers mit 256 Elementen.

Das Buch wendet sich an jeden, dem die mathematischen Sprache nicht fremd ist und der wissen möchte, wie endliche Körper funktionieren. Vorausgesetzt wird eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der linearen Algebra, wie sie etwa in einer Vorlesung Ingenieurmathematik geübt werden. Obwohl der Text zielgerichtet ist, bietet er auch eine elementare Einführung in die Algebra, denn endliche Körper können ohne die Begriffe - Gruppe, Vektorraum, Ring, Körper und Polynom - nicht erklärt werden.