Einführung in Die Lineare Und Nichtlineare Optimierung Für Ingenieure

ISBN-13: 9783519029526 / Niemiecki / Miękka / 1983 / 232 str.

Werner Krabs

Opis

wie es dazu notig ist. Die sich anschliessende Minimierung von Funktionen ohne Nebenbedingungen kommt im Ingenieurbereich recht oft vor und dient daruber hinaus ebenfalls als Hilfsmittel zur Losung nichtlinearer Optimie rungsprobleme mit Nebenbedingungen. Diese wurden unterteilt nach linearen und nichtlinearen Nebenbedingungen und letztere nach Gleichungen, Unglei chungen und einer Mischung von Gleichungen und Ungleichungen. Im letzten Kapitel wird auf einige Optimierungsprobleme aus dem Ingenieur wesen und der chemischen Verfahrenstechnik eingegangen, von denen zwei aus Ingenieurfachbereichen der Technischen Hochschule Darmstadt stammen. Diese Probleme fugen sich teilweise erst nach einer geeigneten Aufbereitung in den Rahmen dieses Buches ein und sind - wie z.B. das Optimierungsproblem in der Nachrichtentechnik - mathematisch sehr anspruchsvoll, so dass sie nicht in allen Einzelheiten rigoros dargestellt werden konnten. Anhand die ser Probleme wird auch versucht zu verdeutlichen, dass die zuvor dargestell ten Losungsmethoden nicht immer ohne zusatzliche Manipulationen erfolg reich angewendet werden konnen. Als Literatur wurden mit einigen Ausnahmen nur Bucher angegeben und in Form von bibliographischen Bemerkungen zitiert, soweit sie in direktem Be zug zum Stoff dieses Buches stehen. Das Gleiche gilt fur gelegentliche Zi tate im Text. Die getroffene Auswahl ist sicher nicht vollstandig und be steht auch uberwiegend aus Buchern mit mathematischer Auspragung im Sinne der Zielsetzung dieses Buches. Mathematische Zeitschriftenartikel wurden allgemein nicht aufgenommen, weil erstens ihre immense Zahl grosse Informa tionsschwierigkeiten bereitet und zweitens die meisten wirklich relevanten Arbeiten in die Lehrbuchliteratur aufgenommen werden oder worden sind. Zur Erganzung dieses Buches reicht daher die Lekture weiterer Lehrbucher im allgemeinen

Spis treści

1. Einführung in die lineare Optimierung.- 1.1. Beispiele linearer Optimierungsprobleme und eine graphische Lösungsmethode bei Problemen mit zwei Variablen.- 1.2. Das allgemeine lineare Optimierungsproblem.- 1.2.1. Problemstellung und einfache Umformungen.- 1.2.2. Eigenschaften der Mengen der zulässigen und optimalen Lösungen.- 1.3. Die Simplexmethode.- 1.3.1. Beschreibung der Methode anhand von Beispielen.- 1.3.2. Allgemeine Beschreibung der Methode.- 1.3.3. Algorithmische Durchführung.- 1.3.4. Gewinnung einer Startlösung.- 2. Minimierung von Funktionen ohne Nebenbedingenen.- 2.1. Probleme der Ausgleichsrechnung; die Methode der kleinsten Quadrate.- 2.2. Minimierung differenzierbarer Funktionen.- 2.2.1. Der allgemeine Fall.- 2.2.2. Der Fall konvexer Funktionen.- 2.3. Abstiegsmethoden.- 2.3.1. Die Idee der Abstiegsmethoden.- 2.3.2. Einige Varianten.- 2.3.2.1. Die Methoden der konjugierten Richtungen.- 2.3.2.2. Das Newton-Verfahren und Varianten.- 2.3.2.3. Quasi-Newton-Verfahren.- 2.3.3. Eindimensionale Minimierung.- 2.4. Bibliographische Bemerkungen.- 3. Minimierung von Funktionen unter linearen Nebenbedingungen.- 3.1. Ausgleichsrechnung unter linearen Nebenbedingungen und allgemeine Problemstellung.- 3.2. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimalpunkte.- 3.3. Methoden der zulässigen Richtungen.- 3.3.1. Die Idee der Methoden.- 3.3.2. Spezielle Formen.- 3.3.2.1. Methode des steilsten Abstiegs.- 3.3.2.2. Verfahren der projizierten Gradienten.- 3.4. Quadratische Optimierung.- 3.4.1. Allgemeine Aussagen.- 3.4.2. Lösungen quadratischer Optimierungsprobleme als Komplementaritätsprobleme.- 3.5. Bibliographische Bemerkungen.- 4. Minimierung von Funktionen unter nichtlinearen Nebenbedingungen.- 4.1. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.- 4.1.1. Die Lagrangesche Multiplikatorenregel.- 4.1.2. Ein Spezialfall mit einer Anwendung.- 4.1.3. Der Fall affin-linearer Nebenbedingungen.- 4.2. Methoden zur Minimierung von Funktionen unter Gleichungsnebenbedingungen.- 4.2.1. Das Newton-Verfahren.- 4.2.2. Das Verfahren von Marquardt.- 4.2.3. Die Penalty-Methode.- 4.3. Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen.- 4.3.1. Problemstellung und ein Beispiel.- 4.3.2. Notwendige Bedingungen für Minimalpunkte.- 4.3.3. Hinreichende Bedingungen für Minimalpunkte.- 4.4. Die Methode der zulässigen Richtungen.- 4.4.1. Die Idee der Methode.- 4.4.2. Zwei Varianten.- 4.5. Penalty- und Barriere-Methoden.- 4.5.1. Die Penalty-Methode.- 4.5.2. Die Barriere-Methode.- 4.6. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und Ungleichungen.- 4.6.1. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimalpunkte.- 4.6.2. Rückführung auf Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen.- 4.6.3. Eine Kombination aus der Penalty-Methode und der Methode der zulässigen Richtungen.- 4.7. Bibliographische Bemerkungen.- 5. Einige Optimierungsprobleme aus dem Ingenieurwesen und der 198 chemischen Verfahrenstechnik.- 5.1. Berechnung von chemischen Gleichgewichten.- 5.1.1. Problemstellung.- 5.1.2. Lösungsmethoden.- 5.1.3. Ein numerisches Beispiel.- 5.2. Ein Optimierungsproblem aus der Nachrichtentechnik.- 5.2.1. Problemstellung.- 5.2.2. Ein prinzipieller Lösungsweg im reellen Fall.- 5.2.3. Rückführung auf quadratische Optimierung.- 5.2.4. Ein numerisches Beispiel.- 5.3. Optimaler Entwurf von I-Trägern.- 5.3.1. Problemstellung.- 5.3.2. Zur Lösung mit Hilfe der Barriere-Methode.- 5.3.3. Numerische Ergebnisse.- 5.4. Optimaler Entwurf eines Transportbandes.- 5.4.1. Problemstellung.- 5.4.2. Rückführung auf die Minimierung unter Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und Ungleichungen.- Register.