Einführung in Die Bayes-Statistik

ISBN-13: 9783540666707 / Niemiecki / Twarda / 2000 / 225 str.

Karl-Rudolf Koch

Opis

Das Buch fuhrt auf einfache und verstandliche Weise in die Bayes-Statistik ein. Ausgehend vom Bayes-Theorem werden die Schatzung unbekannter Parameter, die Festlegung von Konfidenzregionen fur die unbekannten Parameter und die Prufung von Hypothesen fur die Parameter abgeleitet. Angewendet werden die Verfahren fur die Parameterschatzung im linearen Modell, fur die Parameterschatzung, die sich robust gegenuber Ausreiern in den Beobachtungen verhalt, fur die Pradiktion und Filterung, die Varianz- und Kovarianzkomponentenschatzung und die Mustererkennung. Fur Entscheidungen in Systemen mit Unsicherheiten dienen Bayes-Netze. Lassen sich notwendige Integrale analytisch nicht losen, werden numerische Verfahren mit Hilfe von Zufallswerten eingesetzt.

Spis treści

1 Einleitung.- 2 Wahrscheinlichkeit.- 2.1 Gesetze der Wahrscheinlichkeit.- 2.1.1 Deduktives und plausibles Schließen.- 2.1.2 Aussagenalgebra.- 2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit.- 2.1.4 Produkt- und Summengesetz der Wahrscheinlichkeit.- 2.1.5 Verallgemeinertes Summengesetz.- 2.1.6 Axiome der Wahrscheinlichkeit.- 2.1.7 Kettenregel und Unabhängigkeit.- 2.1.8 Bayes-Theorem.- 2.1.9 Rekursive Anwendung des Bayes-Theorems.- 2.2 Verteilungen.- 2.2.1 Diskrete Verteilung.- 2.2.2 Stetige Verteilung.- 2.2.3 Binomialverteilung.- 2.2.4 Mehrdimensionale diskrete und stetige Verteilungen.- 2.2.5 Randverteilung.- 2.2.6 Bedingte Verteilung.- 2.2.7 Unabhängige Zufallsvariable und Kettenregel.- 2.2.8 Verallgemeinertes Bayes-Theorem.- 2.3 Erwartungswert, Varianz und Kovarianz.- 2.3.1 Erwartungswert.- 2.3.2 Varianz und Kovarianz.- 2.3.3 Erwartungswert einer quadratischen Form.- 2.4 Univariate Verteilungen.- 2.4.1 Normalverteilung.- 2.4.2 Gammaverteilung.- 2.4.3 Invertierte Gammaverteilung.- 2.4.4 Betaverteilung.- 2.4.5 x2-Verteilung.- 2.4.6 F-Verteilung.- 2.4.7 t-Verteilung.- 2.4.8 Exponentialverteilung.- 2.4.9 Cauchy-Verteilung.- 2.5 Multivariate Verteilungen.- 2.5.1 Multivariate Normalverteilung.- 2.5.2 Multivariate t- Verteilung.- 2.5.3 Normal-Gammaverteilung.- 2.6 Priori-Dichten.- 2.6.1 Nichtinformative Priori-Dichten.- 2.6.2 Priori-Dichten aus maximaler Entropie.- 2.6.3 Konjugierte Priori-Dichten.- 3 Parameterschätzung, Konfidenzregionen und Hypothesenprüfung.- 3.1 Bayes-Strategie.- 3.2 Punktschätzung.- 3.2.1 Quadratische Kostenfunktion.- 3.2.2 Kostenfunktion der absoluten Fehler.- 3.2.3 Null-Eins-Kosten.- 3.3 Bereichsschätzung.- 3.3.1 Konfidenzregion.- 3.3.2 Grenze einer Konfidenzregion.- 3.4 Hypothesenprüfung.- 3.4.1 Verschiedene Hypothesen.- 3.4.2 Test von Hypothesen.- 3.4.3 Spezielle Priori-Dichten für Hypothesen.- 3.4.4 Test der Punkt-Nullhypothesen durch Konfidenzregionen.- 4 Lineares Modell.- 4.1 Definition und Likelihoodfunktion.- 4.2 Lineares Modell mit bekanntem Varianzfaktor.- 4.2.1 Nichtinformative Priori-Dichte.- 4.2.2 Methode der kleinsten Quadrate.- 4.2.3 Schätzung des Varianzfaktors in der traditionellen Statistik.- 4.2.4 Lineares Modell mit Restriktionen der traditionellen Statistik.- 4.2.5 Robuste Parameterschätzung.- 4.2.6 Informative Priori-Dichte.- 4.2.7 Kaiman-Filter.- 4.3 Lineares Modell mit unbekanntem Varianzfaktor.- 4.3.1 Nichtinformative Priori-Dichte.- 4.3.2 Informative Priori-Dichte.- 4.4 Lineares Modell mit nicht vollem Rang.- 4.4.1 Nichtinformative Priori-Dichte.- 4.4.2 Informative Priori-Dichte.- 5 Spezielle Modelle und Anwendungen.- 5.1 Prädiktion und Filterung.- 5.1.1 Modell der Prädiktion und Filterung als spezielles lineares Modell.- 5.1.2 Spezielles Modell der Prädiktion und Filterung.- 5.2 Varianz- und Kovarianzkomponenten.- 5.2.1 Modell und Likelihoodfunktion.- 5.2.2 Nichtinformative Priori-Dichte.- 5.2.3 Informative Priori-Dichte.- 5.2.4 Varianzkomponenten.- 5.3 Mustererkennung.- 5.3.1 Klassifizierung mit der Bayes-Strategie.- 5.3.2 Normalverteilung mit bekannten und unbekannten Parametern.- 5.3.3 Texturparameter.- 5.4 Bayes-Netze.- 5.4.1 Systeme mit Unsicherheiten.- 5.4.2 Aufbau eines Bayes-Netzes.- 5.4.3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.- 5.4.4 Bayes-Netz in Form einer Kette.- 5.4.5 Bayes-Netz in Form eines Baumes.- 5.4.6 Bayes-Netz in Form eines Mehrfachbaumes.- 6 Numerische Verfahren.- 6.1 Generierung von Zufallswerten.- 6.1.1 Generierung von Zufallszahlen.- 6.1.2 Inversionsmethode.- 6.1.3 Verwerfungsmethode.- 6.1.4 Generierung von Werten normalverteilter Zufallsvariablen.- 6.2 Monte-Carlo-Integration.- 6.2.1 Monte-Carlo-Integration der wesentlichen Stichprobe.- 6.2.2 Einfache Monte-Carlo-Integration.- 6.2.3 Berechnung von Schätzwerten, Konfidenzregionen und Wahrscheinlichkeiten für Hypothesen.- 6.2.4 Bestimmung von Randverteilungen.- 6.2.5 Konfidenzregionen für robuste Parameterschätzungen als Beispiel.- 6.3 Monte-Carlo-Methode mit Markoff-Ketten.- 6.3.1 Gibbs-Verfahren.- 6.3.2 Berechnung von Schätzwerten, Konfidenzregionen und Wahrscheinlichkeiten für Hypothesen.- 6.3.3 Bestimmung von Randverteilungen.- 6.3.4 Fortsetzung des Beispiels: Konfidenzregionen für robuste Parameter Schätzungen.- Literatur.