Differentialgleichungen: Eine Einführung Unter Besonderer Berücksichtigung Der Anwendungen

ISBN-13: 9783519320333 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 318 str.

Lothar Collatz

Opis

gestellte Aufgaben, Methode der finiten Elemente, Verzweigungsprobleme und anderes. Bei dem Problem der Modernisierung der Darstellung glaubte ich, behutsam vorge- hen zu mussen. Es gibt genugend viele sehr abstrakte, oft auf der Funktionalanalysis basierende Lehrbucher uber Differentialgleichungen, bei denen aber gewohnlich die Anwendungen und die konkrete Seite zu kurz kommen. Es lag mir aber sehr daran, da Ingenieure und Naturwissenschaftler die Darstellung verstehen konnen. Damit aber den Anwendern der Zugang zu moderner mathematischer Literatur nicht ver- baut wird, habe ich mich entschlossen, den grundlegenden allgemeinen Existenz-und Eindeutigkeitssatz zweimal zu bringen, einmal in der klassischen Weise und ein zweites Mal in funktionalanalytischer Sprechweise; der Leser wird bemerken, da die bei den Beweise in gleicher Weise vorgehen. An dieser Stelle sei mir ein Wort zur allgemeinen Situation der Mathematik gestat- tet: Bei der Mathematik, die doch von ihrer Anwendbarkeit lebt, besteht vielfach immer noch die Gefahr, die Abstraktionen uber zu bewerten und die Konkretisierun- gen zu vernachlassigen. Haufig wird ein guter Ingenieur mit einer konkreten Diffe- rentialgleichung besser fertig als ein Mathematiker, und die Mathematik verliert an Boden. Das bedeutet immer noch eine ernst zu nehmende Gefahr fur die Mathematik. Bei der zweiten Auflage haben mir die Herren Prof. Dr. Gunter Meinardus, Dr. Alfred Meyer und Dr. Rudiger Nicolovius sehr geholfen. Sie haben nicht nur die muhevolle Uberprufung bis in alle Einzelheiten des Zahlenmaterials vorgenommen, sondern mir auch zahlreiche wertvolle Erganzungs- und Verbesserungsvorschlage gemacht, z. B. verdankt ihnen die Zusammenstellung in Kapitel III Nr. 20 die Uber- sichtlichkeit und Vollstandigkeit.

Spis treści

Einteilung der Differentialgleichungen.- 1. Bezeichnungen.- 2. Physikalische Beispiele für Differentialgleichungen.- I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen.- 3. Lösungskurven im Richtungsfeld.- 4. Trennung der Veränderlichen.- 5. Ähnlichkeitsdifferentialgleichung.- 6. Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare Fälle.- § 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung.- 7. Homogene und inhomogene Gleichung, triviale Lösung.- 8. Lösung der homogenen Gleichung.- 9. Lösung der inhomogenen Gleichung.- § 3 Bernoullische Differentialgleichung.- 10. Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung.- 11. Die Riccatische Differentialgleichung.- § 4 Der integrierende Faktor.- 12. Exakte Differentialgleichung.- 13. Der integrierende Faktor.- § 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage.- 14. Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder.- 15. Nichteindeutigkeit der Lösung.- 16. Die Lipschitz-Bedingung, schärfere und schwächere Form.- 17. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen.- § 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 18. Der Existenzsatz.- 19. Der Eindeutigkeitsbeweis.- 20. System von Differentialgleichungen und eine Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 21. Einige Grundbegriffe der Funktionalanalysis.- 22. Banachscher Fixpunktsatz und der Existenzsatz bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.- § 7 Singuläre Linienelemente.- 23. Reguläre und singuläre Linienelemente. Definitionen und Beispiele.- 24. Isolierte singuläre Punkte.- 25. Zur Theorie der isolierten singulären Punkte.- 26. Die Clairautsche und d’Alembertsche Differentialgleichung.- § 8 Schwingungen.- 27. Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven.- 28. Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven.- 29. Periodische Schwingungen autonomer ungedämpfter Systeme mit einem Freiheitsgrad.- § 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen.- 30. Aufgaben.- 31. Lösungen.- II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.- § 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen.- 1. Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor.- 2. Die Gleichung y? = f(y) und das Energieintegral.- 3. Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt.- 4. Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse $$ \frac{{{y^{\left(v\right)}}}} $$.- § 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen.- 5. Bezeichnungen.- 6. Der Oberlagerungssatz.- 7. Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung.- § 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung.- 8. Lineare Abhängigkeit von Funktionen.- 9. Die Wronskische Determinante für lineare Unabhängigkeit von Funktionen.- 10. Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung.- § 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 11. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung.- 12. Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung.- 13. Stabilitätskriterium.- 14. Die Gleichung für erzwungene Schwingungen.- 15. Lösung der homogenen Schwingungsgleichung.- § 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 16. Das Verfahren der Variation der Konstanten.- 17. Die „Faustregel“.- 18. Einführung einer komplexen Differentialgleichung.- 19. Der Resonanzfall.- § 6 Die Eulersche Differentialgleichung.- 20. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung.- 21. Beispiele.- § 7 Systeme linearer Differentialgleichungen.- 22. Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten).- 23. Fundamentalsystem von Lösungen.- 24. Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Konstanten.- 25. Matrix A konstant, charakterische Zahlen der Matrix.- 26. Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen.- 27. Anwendung auf die Schwingungslehre.- 28. Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normalisierbarer Matrix.- 29. Transformation normaler und normalisierbarer Matrizen auf Diagonalgestalt.- § 8 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 30. Technische Beispiele für Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 31. Periodische Lösungen des homogenen Systems.- 32. Stabilität.- 33. Periodische Lösungen beim inhomogenen System.- 34. Beispiel für die Stabilitätstheorie.- § 9 Laplace-Transformation.- 35. Definition der Laplace-Transformation.- 36. Differentiation und Integration der Originalelemente.- 37. Laplace-Transformation bei Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 38. Abklingvorgänge und periodische Lösungen.- 39. Faltungssatz und Integralgleichungen 1. Art.- 40. Umkehrtransformation und Tabelle.- III Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben.- 1. Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben.- § 1 Beispiele linearer Randwertaufgaben.- 2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung.- 3. Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben.- § 2 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben.- 4. Differentialgleichung der Kettenlinie.- 5. Die Differentialgleichung y? = y2.- 6. Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei y? = ?y3.- § 3 Die Alternative bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben.- 8. Die allgemeine Alternative.- § 4 Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion.- 9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen.- 10. Die Greensche Funktion als Einflußfunktion.- 11. Allgemeine Definition der Greenschen Funktion.- 12. Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe.- § 5 Beispiele von Eigenwertaufgaben.- 13. Die vollhomogene Randwertaufgabe.- 14. Die nichtlineare Randwertaufgabe.- 15. Partielle Differentialgleichungen.- 16. Der Bernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen.- § 6 Eigenwertaufgaben und Orthonormalsysteme.- 17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben.- 18. Orthogonalität der Eigenfunktionen.- 19. Orthonormalsystem.- 20. Approximation im Mittel.- 21. Zum Entwicklungssatz.- 22. Der Quotienteneinschließungssatz.- § 7 Beziehungen zur Variationsrechnung.- 23. Einfache Beispiele.- 24. Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung im einfachsten Falle.- 25. Freie Randwertaufgaben und Variationsrechnung.- § 8 Verzweigungsprobleme.- 26. Verzweigungsaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2 Ordnung.- 27. Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprobleme.- 28. Beispiel: Verzweigungsdiagramm bei einer Urysohnschen Integralgleichung.- § 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III.- 29. Aufgaben.- 30. Lösungen.- IV Spezielle Differentialgleichungen.- § 1 Kugelfunktionen.- 1. Lösung der Potentialgleichung.- 2. Die erzeugende Funktion.- 3. Kugelfunktionen zweiter Art.- 4. Eine andere explizite Darstellung der Legendreschen Polynome.- 5. Orthogonalität.- § 2 Zylinderfunktionen.- 6. Partielle Schwingungsdifferentialgleichung einer Membran.- 7. Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen.- 8. Die erzeugende Funktion.- 9. Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Funktion.- 10. Integraldarstellung.- 11. Beispiel aus der Astronomie: Die Keplersche Gleichung.- 12. Bessel-Funktionen zweiter Art.- 13. Allgemeinere Differentialgleichungen.- 14. Schwingungsformen der Kreismembran.- § 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion.- 15. Reihenansatz, determinierende Gleichung.- 16. Wurzeln der determinierenden Gleichung.- 17. Beispiel: Hypergeometrische Gleichung.- 18. Störungsrechnung und singuläre Stellen.- 19. Beispiel zur Technik der Reihenentwicklung.- V Exkurs in die partiellen Differentialgleichungen.- § 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und eine nichtlineare Gleichung.- 1. Einfache lineare partielle Differentialgleichungen.- 2. Wellengleichung und Potentialgleichung.- 3. Überschlagen einer Welle bei einer nichtlinearen Differentialgleichung.- § 2 Anfangs- und Randwertaufgaben.- 4. Die 3 Grundtypen einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung.- 5. Einfluß- und Fortsetzungsgebiet.- 6. Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich.- 7. Beispiel: Temperaturverteilung.- § 3 Randmaximumsatz und Monotonie.- 8. Randmaximumsatz der Potentialtheorie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum.- 9. Stetige Abhängigkeit der Lösung der Randwertaufgabe von den Daten.- 10. Monotoniesätze, Optimierung und Approximation.- 11. Numerisches Beispiel: Torsionsproblem.- § 4 Sachgemäßheit und freie Randwertaufgaben.- 12. Sachgemäße und unsachgemäße Aufgaben.- 13. Weitere inkorrekt gestellte Aufgaben.- 14. Beispiele freier Randwertaufgaben.- § 5 Beziehungen zur Variationsrechnung und Methode der finiten Elemente.- 15. Variationsproblem für die 1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie.- 16. Ritzsches Verfahren.- 17. Methode der finiten Elemente.- 18. Beispiel.- § 6 Laplace- und Fourier-Transformation bei partiellen Differentialgleichungen.- 19. Eine parabolische Gleichung (Wärmeleitungsgleichung).- 20. Laplace-Transformation bei der Wellengleichung.- 21. Reziprozitätsformeln der Fouriertransformation.- 22. Fourier-Transformation bei der Wärmeleitungsgleichung.- VI Anhang Einige Näherungsmethoden und weitere Übungsaufgaben.- § 1 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 1. Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren.- 2. Angenäherte numerische Integration nach Runge und Kutta.- 3. Verfahren der zentralen Differenzen.- 4. Differenzenverfahren.- 5. Mehrstellenverfahren.- 6. Ritzsches Verfahren.- § 2 Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen.- 7. Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.- 8. Lösungen.- 9. Vermischte Aufgaben zu Kapitel II und III.- 10. Lösungen.- 11. Vermischte Aufgaben zu Kapitel IV und V.- 12. Lösungen.- § 3 Einige biographische Daten.- 13. Lebenszeiten einiger Mathematiker.- Einige Lehrbücher über Differentialgleichungen und weiterführende Bücher.