Didaktik Des Mathematikunterrichts in Der Sekundarstufe II

ISBN-13: 9783528084912 / Niemiecki / Miękka / 1982 / 305 str.

Uwe-Peter Tietze

Opis

Jeder Lehrer ist mit dem Problem vertraut, dass es eine Fulle von Kriterien fachwissen schaftlicher, psychologischer und padagogischer Art gibt, nach denen Lehrstoff ausge wahlt und Unterricht durchgefuhrt werden kann. Wir wollen mit dem vorliegenden Buch solche Kriterien in einen Begrundungs-und Zielzusammenhang bringen und damit Hilfen fur die Planung und Durchfuhrung von Unterricht geben. Es ist nicht unser Ziel, fertige Curricula und Kursvorschlage vorzustellen, weil wesentliche curriculare Entscheidungen in der Verantwortung des Lehrers liegen sollten. Die fur diese Entscheidungen notigen allgemeinen fachdidaktischen Grundlagen werden in Teil I entwickelt. Nach unserer Auffassung ist es nicht sinnvoll, fachdidaktischen Untersuchungen einen theoretischen Rahmen von aussen her aufzupragen, von der Lern psychologie, der Curriculumforschung oder der allgemeinen Didaktik her. Uns ging es darum, diesen Rahmen aus der wechselseitigen Verflechtung von fachlichen, lernpsycho logischen und padagogischen Perspektiven heraus zu entwerfen. Ferner war uns daran gelegen, unterschiedliche Tendenzen und Stromungen in der Fachdidaktik kritisch darzu stellen und in die Uberlegungen mit einzubeziehen. Die Auswahl der fachlichen Gebiete Analysis, lineare Algebra/analytische Geometrie und Stochastik tragt den ublichen Lehrplanvorschlagen Rechnung. Nicht berucksichtigt wurde die Informatik, und zwar im wesentlichen aus Platzgrunden, aber auch wegen ihrer derzeit ungeklarten Stellung innerhalb des Facherkanons der Oberstufe. Die fachdidaktische Diskussion der einzelnen Gebiete erfolgt vor dem Hintergrund der Darlegungen des Teils I."

Spis treści

I: Fachdidaktische Grundfragen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II.- 1 Zur Analyse von Zielen.- 1.1 Zur Problematik der lernzielorientierten Curriculumentwicklung.- 1.1.1 Hinweise zur allgemeinen Curriculumforschung, Hinweise zu fachdidaktischen Tendenzen und Strömungen.- 1.1.2 Zur Situation der gymnasialen Sekundarstufe II.- 1.1.3 Generierung von Lernzielen für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II.- 1.2 Allgemeine Lernziele.- 1.2.1 Unterschiedliche Ansätze zur Generierung von allgemeinen Lernzielen.- 1.2.2 Ein Katalog allgemeiner Lernziele.- Schema 1.1 Daten und Fakten zur Situation des Mathematikunterrichts in der reformierten Oberstufe.- Schema 1.2 Wichtige Gesichtspunkte zur Generierung von Lernzielen und Zusammenhänge zwischen ihnen.- Schema 1.3 Mathematische Grundtätigkeiten im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II.- Schema 1.4 Repräsentieren.- Schema 1.5 Wichtige Ikonisierungen.- Schema 1.6 Wichtige Teilqualifikationen des Formalisierens in der Sekundarstufe II.- 2 Begriffs- und Regellernen.- 2.1 Das Lernen von Begriffen und Regeln aus psychologischer Sicht.- 2.2 Besonderheiten beim Lernen mathematischer Begriffe und Regeln.- 2.2.1 Unterschiedliche Formen mathematischer Begriffsbildung.- 2.2.2 Formen des Elementarisierens und Zugänglich-Machens.- 2.3 Fundamentale Ideen im Mathematikunterricht.- 2.4 Zur Frage der Lehrverfahren — einige Konsequenzen aus kognitiven Theorien des Lernens.- 2.4.1 Zur Gegenüberstellung: entdeckenlassendes Lehren versus expositorisches Lehren.- 2.4.2 Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens.- 2.4.3 Verfahren des entdeckenlassenden Lehrens im Sinne von Bruner.- 3 Problemlösen.- 3.1 Art und Funktion von Problemaufgaben.- 3.2 Heuristische Verfahrensregeln.- 3.3 Die Förderung von Problemlösefähigkeiten im Mathematikunterricht, methodische Hinweise zur Vermittlung von heuristischen Regeln.- 3.4 Empirische Untersuchungen zum Problemlösen.- Schema 3.1 Charakteristische Aspekte von Problemaufgaben.- Schema 3.2 Welche Funktion hat die Problemaufgabe im Unterricht?.- Schema 3.3 Wie sucht man die Lösung?.- Schema 3.4 Planungsschema zum Problemlosen.- 4 Beweisen im Mathematikunterricht.- 4.1 Form und Ziele des Beweisens im MU.- 4.2 Exemplarische Analyse von Beweisen.- 4.3 Beweisen: Nachvollziehen oder Selbstfinden.- Schema 4.1 Gedankliche Abfolge beim Begründen von Sätzen.- Schema 4.2 Kriterien für einen didaktisch optimalen Beweis.- Schema 4.3 Kontrolle des Beweisverständnisses.- Schema 4.4 Bewertungskriterien für Schülerbeweise.- 5 Ergänzung: Einige Hinweise zur Unterrichtsplanung.- Schema 5.1 Einige Hauptvariablen des Unterrichtsgeschehens und wichtige Beziehungen.- Schema 5.2 Handlungsdiagramm zur Planung von Unterrichtssequenzen.- II: Analysis.- 6 Positionen in der didaktischen Diskussion, historische Entwicklungslinien.- 6.1 Einführung in die Intentionen des Konzepts.- 6.2 Fachliche und fachdidaktische Positionen zum Analysisunterricht.- 6.3 Entwicklungslinien — Anmerkungen zur Geschichte der Infinitesimalrechnung.- 7 Leitideen im Analysisunterricht, die der Differential- und Integralrechnung vorausgehen.- 7.1 Reelle Zahlen.- 7.2 Zum Funktionsbegriff.- 7.3 Zum Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff.- Schema 7.1 Stetigkeitsdefinitionen.- Schema 7.2 Leitideen im Analysisunterricht.- 8 Zentrale Mathematisierungsmuster der Analysis.- 8.1 Verwendungssituationen und Mathematisieren.- 8.2 Mathematisierungsmuster in Naturwissenschaften und Technik.- 8.3 Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.- 8.4 Defizite beim Transfer von Begriffen der Analysis.- Schema 8.1 Zentrale Mathematisierungsmuster.- Schema 8.2 Reelle Funktionen als Mathematisierungsmuster (Möglichkeiten für ihre Gewinnung und Repräsentation, Eigenschaften).- Schema 8.3 Spezielle Funktionen als Mathematisierungsmuster.- 9 Bereichsspezifische Strategien und dynamische Aspekte in der Analysis.- 9.1 Bereichsspezifische Strategien.- 9.2 Zum Exaktifizieren.- 9.3 Algorithmische Aspekte — Zum Einsatz von Taschenrechnern und Computern.- Schema 9.1 Strategien in der Analysis.- 10 Fundamentale Ideen in der Differentialrechnung.- 10.1 Zugänge zum Ableitungsbegriff.- 10.2 Zur Ableitung von Funktionen.- 10.2.1 Ableitungen spezieller Funktionen.- 10.2.2 Ableitungsfunktion, Stammfunktion.- 10.2.3 Ableitungsregeln.- 10.3 Globale Sätze.- Schema 10.1 Differenzierbarkeitsdefinitionen.- Schema 10.2 Ableitungsregeln.- Schema 10.3 Globale Sätze der Differentialrechnung.- 11 Fundamentale Ideen in der Integralrechnung.- 11.1 Zugänge zum Integralbegriff.- 11.2 Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 11.3 Einige Bemerkungen zu Differentialgleichungen.- III: Analytische Geometrie und lineare Algebra.- 12 Fundamentale Ideen.- 12.1 Leitideen.- 12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster.- 12.3 Bereichsspezifische Strategien, innermathematische Problemfelder.- Schema 12.1 Leitideen zur linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik.- Schema 12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster.- Schema 12.3 Bereichsspezifische Strategien.- Schema 12.4 Elementargeometrische Probleme in vektorieller Behandlung.- Schema 12.5 Aufgabenbeispiele für einige schulrelevante Mathematisierungsprobleme.- 13 Fachdidaktische Positionen zur analytischen Geometrie und linearen Algebra (Darstellung).- 13.1 Position 1: Die analytische Geometrie der Traditionellen Mathematik (Kegelschnittlehre); die Weiterentwicklung zur vektoriellen analytischen Geometrie.- 13.2 Position 2: Begründung der linearen Algebra aus der Geometrie.- 13.3 Position 3: Der affine Raum als Vektorraum.- 13.4 Position 4: Anlehnung an die universitären Grundvorlesungen.- 13.5 Position 5: Ein Zugang über Matrizen; die Orientierung an außermathematischen Motivierungen.- 13.6 Position 6: Aufbau der linearen Algebra über die Behandlung von Gleichungssystemen.- 13.7 Position 7: n-Tupel und ihre geometrische Interpretation.- Schema 13.1 Vergleichende Übersichtsdarstellung der Positionen 3 und 4.- 14 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen, programmatische Überlegungen.- 14.1 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen, zur unterschiedlichen Behandlung einzelner Inhalte.- 14.1.1 Fragen eines axiomatisch-deduktiven Aufbaus.- 14.1.2 Unterschiedliche Behandlung des Vektorbegriffs in der SII; affine Räume.- 14.1.3 Zur Einführung des Skalarprodukts.- 14.1.4 Art und Umfang geometrischer Fragestellungen.- 14.1.5 Zur Bewertung algorithmischer und anwendungsorientierter Zugänge; lineare Gleichungssysteme und Matrizen; außermathematische Motivierung.- 14.2 Programmatische Überlegungen.- Schema 14.1 Schulrelevante Interpretationen des Vektorbegriffs.- Schema 14.2 Verschiedene Einführungen des Skalarprodukts.- 15 Ergänzung: Abbildungen, Determinanten.- 15.1 Lineare und affine Abbildungen.- 15.2 Determinanten.- Schema 15.1 Analogien bei Determinanten.- IV: Stochastik.- 16 Einleitung.- 16.1 Bemerkungen zur Geschichte der Stochastik.- 16.2 Bemerkungen zur didaktischen Konzeption.- 17 Wahrscheinlichkeitsraum.- 17.1 Zum fachlichen Hintergrund.- 17.1.1 Zu Grundlagenfragen der Wahrscheinlichkeitstheorie.- 17.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace.- 17.1.3 Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Mises.- 17.1.4 Häufigkeitsinterpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.- 17.2 Zur Behandlung des Wahrscheinlichkeitsraumes im MU.- 17.2.1 Vorbemerkung.- 17.2.2 Ereignisraum.- 17.2.3 Wahrscheinlichkeitsbegriff.- 17.2.4 Mengentheoretischer Formalismus.- 17.2.5 Bereichsspezifische Strategien.- 17.2.6 Zur Auswahl von Modellen für Wahrscheinlichkeitsräume.- 17.2.7 Zur didaktischen Diskussion über die Behandlung von Wahrscheinlichkeitsräumen.- 18 Verknüpfungen von Wahrscheinlichkeiten.- 18.1 Additionssatz.- 18.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit.- 18.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit.- 18.2.2 Totale Wahrscheinlichkeit.- 18.2.3 Bayes-Regel.- 18.2.4 Unabhängigkeit, Multiplikationssatz.- 19 Modellierungen in der Stochastik.- 19.1 Zur Problematik der Modellbildung.- 19.2 Theoretischer Weg zur Gewinnung von Modellen.- 19.2.1 Symmetrieprinzip.- 19.2.2 Kombinatorik.- 19.2.3 Laplace-Produkträume für das Ziehen mit und ohne Zurücklegen.- 19.3 Empirischer Weg zur Gewinnung von Modellen.- 19.4 Simulation von Zufallsexperimenten.- 19.5 Mathematisierungsmuster für den Stochastikunterricht.- 20 Zufallsgrößen und ihre Verteilungen.- 20.1 Zufallsgrößen, Verteilungen.- 20.2 Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung.- 20.3 Spezielle Verteilungen.- 20.3.1 Gleichverteilung.- 20.3.2 Hypergeometrische Verteilung.- 20.3.3 Binomialverteilung.- 20.3.4 Poisson-Verteilung.- 20.3.5 Normalverteilung.- 21 Grenzwertsätze.- 21.1 Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen.- 21.2 Sätze von Moivre-Laplace.- 21.3 Zentraler Grenzwertsatz.- 22 Beschreibende Statistik.- 23 Beurteilende Statistik.- 23.1 Punktschätzung.- 23.2 Intervallschätzung.- 23.3 Hypothesentest.- 24 Ergänzungen.- 24.1 Mehrdimensionale Zufallsgrößen.- 24.2 Markov-Ketten.- 25 Schema zu Teil IV.- Sachwortverzeichnis.

O autorze

Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze ist an der Technischen Universität Braunschweig im Fachbereich Erziehungswissenschaften, Abteilung Mathematik und ihrer Didaktik tätig.