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Automatisches Beweisen mittels Gröbnerbasen in der Geometrie
ISBN-13: 9783639840971 / Niemiecki / Miękka / 2015 / 412 str.
In dieser Arbeit wird durch das automatische Beweisen mittels Grobnerbasen die Dualitat der dreidimensionalen regelmaigen Polyedern sowie die Dualitat von ausgewahlten vierdimensonalen regelmaigen Polytopen nachgewiesen. Bei den dreidimensionalen regelmaigen Polyeder handelt es sich um die platonischen Korper. Diese sind der Tetra-, Hexa-, Okta-, Dodeka- und Ikosaeder. Der Hexaeder ist der bekannte Wurfel. Er ist dual zum Oktaeder. Das bedeutet, dass die Flachenmittelpunkte aller Flachen des Hexaeders einen Oktaeder bilden. Umgekehrt gilt bei den regelmaigen Korpern die gleiche Beziehung. Diese Beziehung ist in der Mathematik schon lange bekannt und kann geometrisch leicht erklart werden. Wie im dreidimensionalen Raum gibt es auch in hoherdimensionalen Raumen regelmaige Polytope. Diese besitzen ebenfalls duale Beziehungen untereinander. Die vierte Dimension nimmt hierbei eine Sonderstellung ein, da es nur dort ein regelmaiges Polytop, das 24-Zell, gibt, dass in keiner anderen Dimension ein Pendant besitzt. Ab der funften Dimension existieren nur noch die Pendants zum Wurfel, Oktaeder und Tetraeder.
In dieser Arbeit wird durch das automatische Beweisen mittels Gröbnerbasen die Dualität der dreidimensionalen regelmäßigen Polyedern sowie die Dualität von ausgewählten vierdimensonalen regelmäßigen Polytopen nachgewiesen. Bei den dreidimensionalen regelmäßigen Polyeder handelt es sich um die platonischen Körper. Diese sind der Tetra-, Hexa-, Okta-, Dodeka- und Ikosaeder. Der Hexaeder ist der bekannte Würfel. Er ist dual zum Oktaeder. Das bedeutet, dass die Flächenmittelpunkte aller Flächen des Hexaeders einen Oktaeder bilden. Umgekehrt gilt bei den regelmäßigen Körpern die gleiche Beziehung. Diese Beziehung ist in der Mathematik schon lange bekannt und kann geometrisch leicht erklärt werden. Wie im dreidimensionalen Raum gibt es auch in höherdimensionalen Räumen regelmäßige Polytope. Diese besitzen ebenfalls duale Beziehungen untereinander. Die vierte Dimension nimmt hierbei eine Sonderstellung ein, da es nur dort ein regelmäßiges Polytop, das 24-Zell, gibt, dass in keiner anderen Dimension ein Pendant besitzt. Ab der fünften Dimension existieren nur noch die Pendants zum Würfel, Oktaeder und Tetraeder.
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