Analytische Funktionen in Der Zahlentheorie

ISBN-13: 9783519002895 / Niemiecki / Miękka / 2000 / 288 str.

Ekkehard Kr Tzel; Ekkehard Kratzel

Opis

Das Buch ist entstanden aus einer Vorlesung, die ich im Wintersemester 1993/94 an der Universitat Wien gehalten habe, und aus zahlreichen Vortragen in Seminaren in den Folgejahren. Es handelt sich nicht urn eine breit angelegte Einfiihrung in die analytische Zahlentheorie, sondern urn eine mehr in die Tiefe gehende Behandlung einzelner Abschnitte, deren Auswahl nattirlich von den Interessen des Autors be einflufit ist. 1m inhaltlichen Mittelpunkt stehen Funktionalgleichungen analytischer Funktionen und ihre Anwendungen auf - Reziprozitatsgesetze der Zahlentheorie, - die Behandlung von Gitterpunktsanzahlen in konvexen Korpern, - weitere zahlentheoretische Probleme wie etwa die Abschatzung Weylscher Summen, die sich von selbst aus dem Zusammenhang heraus ergeben. Das Buch wendet sich an einen breit gefacherten Leserkreis: an Personen, die forschend in der analytischen Zahlentheorie tatig sind, an Personen, die sich in das Gebiet der analytischen Zahlentheorie selbstandig einarbeiten wollen, und an Stu dierende hoherer Semester, die tiber Grundkenntnisse der elementaren Zahlentheorie und der Funktionentheorie verfiigen. Gelegentlich werden einige Ergebnisse aus der Theorie der speziellen Funktionen und der Integraltransformationen gebraucht. Hier wird auf entsprechende Literatur verwiesen. Das Buch ist in 5 Kapitel eingeteilt. Dabei wird es durch die Kapitel 2, 3 und 5 gepragt. In den kurzen Kapiteln 1 und 4 werden nur spater benotigte Hilfsmittel bereitgestellt, damit sie dann den FluB der Handlung nicht unterbrechen."

Spis treści

1 Exponentialsummen I.- 1.1 Die Kusmin-Landausche Ungleichung.- 1.2 Der Satz von van der Corput.- 1.3 Die Fehlerfunktion.- 1.4 Anmerkungen.- 2 Reziprozitätsgesetze.- 2.1 Gaußsche Summen.- 2.2 Exponentialsummen mit quadratischem Polynom.- 2.3 Die Jacobische Thetafunktion.- 2.4 Funktionalgleichungen analytischer Funktionen.- 2.5 Grenzfälle der Thetafunktionen.- 2.6 Die Dedekindsche Etafunktion.- 2.7 Dedekindsche Summen.- 2.8 Anmerkungen.- 3 Höhere Eta- und Thetafunktionen.- 3.1 Höhere Etafunktionen.- 3.2 Höhere Dedekindsche Summen.- 3.3 Partitionen.- 3.4 Höhere Thetafunktionen.- 3.4.1 Die kubische Thetafunktion.- 3.4.2 Die biquadratische Thetafunktion.- 3.4.3 Asymptotische Darstellungen.- 3.5 Höhere Gaußsche Summen.- 3.5.1 Gaußsche Summen der Ordnung k.- 3.5.2 Kubische Gaußsche Summen.- 3.5.3 Anwendungen: Kongruenzen.- 3.6 Grenzfälle der höheren Thetafunktionen.- 3.6.1 Der kubische Fall.- 3.6.2 Der biquadratische Fall.- 3.6.3 Der allgemeine Fall.- 3.7 Weylsche Exponentialsummen.- 3.8 Anmerkungen.- 4 Exponentialsummen II.- 4.1 Zweifache Exponentialsummen I.- 4.2 Zweifache Exponentialsummen II.- 4.3 Zweifache Exponentialsummen III.- 4.4 Anmerkungen.- 5 Konvexe Körper.- 5.1 Geometrische Grundlagen.- 5.2 Analytische Funktionen der konvexen Körper.- 5.2.1 Analytische Funktionen der Ellipsoide.- 5.2.2 Die Kappafunktion eines konvexen Körpers.- 5.2.3 Die Thetafunktion eines konvexen Körpers.- 5.2.4 Die Hlawkasche Zetafunktion.- 5.3 Gitterpunkte.- 5.3.1 Elementare Abschätzungen.- 5.3.2 Kreis und Kugel.- 5.3.3 Allgemeine konvexe Körper.- 5.3.4 Existenz von Randpunkten mit Krümmung 0.- 5.3.5 Anmerkungen.- 6 Literaturverzeichnis.- 7 Index.

O autorze

Professor Dr. Ekkehard Krätzel, Universität Wien

Blurb

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.