Analysis 2: Mit Einer Einführung in Die Vektor- Und Matrizenrechnung Ein Lehr- Und Arbeitsbuch

ISBN-13: 9783540641186 / Niemiecki / Miękka / 1998 / 316 str.

Helmut Neunzert; Winfried G. Eschmann; Arndt Blickensdörfer-Ehlers

Opis

47 n l1; Ilvll . Ilwll fUr alle v, wE lR sondere den Paragraphen 4 (ab Seite 34) inten siv studieren und sich stets den Fall n=3 ver Ziel 6 oder im Koordinatenschreibweise: 1 1 anschaulichen. Sie sollten wissen, was ein Nor Ziel 7 n n 2"2 n 2"2 (l: v.) ( w.) I r. v. w. I " malenvektor zu einer (Hyper-)Ebene ist (Defini i=1 1. 1. i=1 1. i=1 1. tion (16.27), Seite 35), wie alle Normalenvek toren "aussehen" (Satz (16.30), Seite 36), und Ziel 3 Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz sollten wie man den Abstand d eines Punktes p von einer Sie eben so gut kennen wie die Dreiecksunglei (Hyper-)Ebene E berechnet ((16.35), Seite 37). chung (16.13), Seite 31: 1st E in Hessescher Normalform gegeben, also Ilu]vll; llull + Ilvll fUr alle u, v E lRn. n E={xElR I =c} mit II a II = 1, Als spezieller Winkel zwischen Vektoren ist der so gilt rechte Winkel ausfUhrlich untersucht worden d= Ic-1 . (ab Seite 32). Die Definition (16.15), Seite 32, Die auf den Seiten 38 bis 41 ausfUhrlich be Ziel 4 der OrthogonalitHt mUssen Sie kennen. schriebene Methode der kleinsten Quadrate wer Ziel 5 Sie sollten wissen, was man unter einer Ortho den Sie im Laufe Ihres Studiums sicher noch gonal- oder Orthonormalbasis eines Unterraumes hHufig auf konkrete MeBreihen anwenden mUssen."

Spis treści

15. Der Vektorraum IRN.- § 1 Der IRn und seine anschaulichen Deutun- gen im Falle n=2 und n=3.- Anschauliche Deutungen des IR3.- § 2 Lineare Funktionen und ihre Niveaumengen.- Der Graph linearer Funktionen.- Niveaumengen.- § 3 Geraden und Ebenen.- Geraden als Durchschnitt zweier Ebenen.- Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene.- § 4 Unterräume des IRn.- Der Unterraum No(f).- Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- Basis und Dimension.- Zusammenfassung.- 16. Das Skalarprodukt.- § 1 Definition und elementare Eigenschaften des Skalarproduktes.- § 2 Die Länge von Vektoren.- Kugeln und Sphären im IRn.- Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz.- § 3 Orthogonalität von Vektoren des IRn.- Orthonormalbasen.- § 4 Normalenvektoren zu Hyperebenen des IRn.- Die Methode der kleinsten Quadrate in der Ausgleichsrechnung.- §5 Winkelmessung im IRn.- Projektionen.- § 6 Anhang: Skalarprodukt auf cn.- Zusammenfassung.- 17. Das Vektorprodukt.- § 1 Definition und Eigenschaften des Vektorproduktes.- Ein Beispiel aus der ElektrizitäTSLEHRE.- Ein Beispiel aus der Mechanik.- § 2 Das Spatprodukt.- § 3 Das Spatprodukt als Determinante.- § 4 Geometrische Anwendungen von Vektor- und Spatprodukt.- Zusammenfassung.- 18. Matrizen.- § 1 Definition einer Matrix.- Die Koeffizientenmatrix eines Glei-chungssystems.- Gleichungssystem als Matrizengleichung.- § 2 Lineare Abbildungen.- § 3 Matrizenmultiplikation.- § 4 Addition und S-Multiplikation Für Matrizen.- § 5 Der Rang einer Matrix.- Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix.- Elementare Spalten- und Zeilenumformungen.- Zusammenfassung.- 19. Lineare Gleichungssysteme.- § 1 Begriffserklärungen.- § 2 Ein Lösungsverfahren.- Elementare Zeilenumformungen.- Die Zeilennormalform.- Der Gauß-Jordan-Algorithmus.- § 3 Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- Ein Lösbarkeitskriterium.- Die Lösungen.- § 4 Homogene und inhomogene Systeme.- § 5 Eine weitere Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus.- Berechnung der inversen Matrix.- § 6 Anhang: Fixpunkte linearer Abbildungen.- Zusammenfassung.- 20. Determinanten.- § 1 Definition und Eigenschaften.- Der Entwicklungssatz.- Berechnung von Determinanten.- § 2 Invertierbare Matrizen.- Invertierbarkeits-Kriterium und Produktsatz.- Inversen-Berechnung.- Die Cramersche Regel.- Zusammenfassung.- 21. Differentiation Im IRN.- § 1 Funktionen im IRn.- Beispiele.- Veranschaulichung.- § 2 Partielle Differenzierbarkeit.- Partielle Funktionen.- Offene Mengen.- Partielle Ableitungen.- § 3 Stetigkeit.- Folgen im IRn.- Stetige Funktionen IRn?IR.- Stetige Vektorfelder.- § 4 Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- Stetig partiell differenzierbare Funktionen.- Ein Spezialfall der Kettenregel.- Partiell differenzierbare Vektorfelder Der Gradient.- Der Gradient.- § 5 Geometrie.- Kurven und Tangenten.- Richtungsableitungen.- Gradient und Niveaumengen.- § 6 Totale Differenzierbarkeit.- Lineare Approximation stetig partiell differenzierbarer Funktionen.- Total differenzierbare Vektorfelder.- Die Kettenregel.- Zusammenfassung.- 22. Anwendungen Der Differentialrechnung Im IRN.- § 1 Höhere partielle Ableitungen.- Rotation, Divergenz, Laplace-Operator.- Die Taylor-Formel.- § 2 Lokale Extrema.- Notwendige Bedingung.- Hinreichende Bedingung.- Extrema unter Nebenbedingungen.- § 3 Nicht-lineare Gleichungssysteme.- Eindeutige Auflösbarkeit.- Implizite Funktionen.- Zusammenfassung.- 23. Kurvenintegral und Potential.- § 1 Gerichtete Kurven.- Parameterwechsel.- § 2 Das Kurvenintegral.- Arbeit.- Definition des Kurvenintegrals.- Rechenregeln für Kurvenintegrale.- § 3 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen und Potential.- Der Hauptsatz für Kurvenintegrale.- Potentiale und ihre Konstruktion.- § 4 Bogenlänge und Kurvenintegrale über Skalarfelder.- Definition der Bogenlänge.- Kurvenintegrale über Skalarfelder.- Zusammenfassung.- 24. Differentialgleichungen.- § 1 Definitionen und theoretische Grundlagen.- Richtungsfeld.- Anfangswertproblem.- § 2 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen.- Näherungsverfahren.- Der Satz von Picar-Lindelöf.- § 3 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- Separable Differentialgleichungen.- Einführung neuer Variablen.- Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung.- Bernoulli’sche und Riccati’sche Differentialgleichung.- Exakte Differentialgleichungen.- Kurze Zusammenfassung.- § 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- Lösung der inhomogenen Differential-gleichung.- Randwertprobleme.- Zusammenfassung.- Lösungen der Aufgaben.