Analytische Stellenalgebren

ISBN-13: 9783642650345 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 242 str.

Hans Grauert; Reinhold Remmert

Opis

Indocti discant, et ament meminisse periti 1. Die Idee der Riemannschen Flache wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlichen erst seit Beginn der 50er Jahre konsequent verwendet. Wie in der Funktionentheorie einer Verander lichen muB man die Gebilde untersuchen, die durch groBtmogliche analytische Fortsetzung von holomorphen Funktionen entstehen. Die gleichen Griinde wie in der klassischen Funktionentheorie machen es notwendig, die Verzweigungspunkte hinzuzunehmen. Das fiihrte jedoch auf begriffiiche Schwierigkeiten, die 1933 H. Behnke und P. Thullen in ihrem Ergebnisbericht sogar veranlaBten, diese Punkte vorerst von der Betrachtung auszuschlieBen. Eine zufriedenstellende Definition des Ver zweigungsbegriffs wurde erst 1951 von H. Behnke und K. Stein (Math. Ann. 124) gegeben. Die von ihnen eingefiihrten komplex n Riiume um fassen insbesondere die analytischen Gebilde holomorpher Funktiollen mehrerer Veranderlicher, d. h. die hOherdimensionalen Riemannschen Flachen. Dabei stellte sich heraus, daB diese Riemannschen Gebilde - anders als in der klassischen Funktionentheorie - Punkte ohne lokale Uniformisierende besitzen konnen. Solche Punkte wurden fort an singu lare Punkte genannt."

Spis treści

I. Konvergente Potenzreihenalgebren.- § 0. Formale Potenzreihen.- 1. Potenzreihen. Ordnung.- 2. Substitutionshomomorphismen.- 3. Partielle Ableitungen. Kettenregel.- 4. Topologie der koeffizientenweisen Konvergenz.- § 1. Analytische k-Banachalgebren.- 0. Bewertungen.- 1. Definition der Bt.- 2. Partielle Ableitungen.- 3. Topologische Eigenschaften der Bt.- § 2. Weierstraßsche Formel und Weierstraßscher Vorbereitungssatz für Bt.- 1. Weierstraßsche Formel.- 2. Weierstraßscher Vorbereitungssatz.- § 3. Konvergente Potenzreihen.- 1. Definition konvergenter Potenzreihen.- 2. Analytische Homomorphismen.- 3. Partielle Ableitungen.- 4. Schwache Topologie und analytische Konvergenz.- § 4. Weierstraßsche Formel und Weierstraßscher Vorbereitungssatz für Kn.- 1. Weierstraßsche Formel und Vorbereitungssatz.- 2. Scherungen.- 3. Analytische Karten in Kn.- Supplement zu § 4. Der Stickelberger-Siegelsche Beweis des Vorbereitungssatzes.- 1. Der Stickelbergersche Beweis.- 2. Der Siegeische Beweis.- 3. Herleitung der Weierstraßschen Formel aus dem Vorbereitungssatz.- § 5. Algebraische Struktur des Ringes Kn.- 1. Weierstraßhomomorphismen und Weierstraßpolynome.- 2. Noethereigenschaft.- 3. Unbeschränktheit der Corangfunktion.- 4. Cartanscher Abgeschlossenheitssatz.- 5. Primfaktorzerlegung.- 6. Henselsches Lemma.- Supplement zu § 5. Noethersche Banachalgebren über ? und ?.- § 6. Die Folgentopologie des Kn.- 1. Finale Topologien.- 2. Folgentopologie auf Kn.- 3. Stetigkeit analytischer Homomorphismen.- § 7. Folgentopologien bei lokal-kompaktem Grundkörper.- 1. Produkttopologie. Silvasche Topologie.- 2. Produkttopologie von Silvatopologien.- 3. Ausgezeichnete Umgebungen. Charakterisierung konvergenter Folgen.- 4. Folgentopologie auf Kn.- 5. Erstes Abzählbarkeitsaxiom und Folgenabschluß.- § 8. Silvatopologie auf Vektorräumen und Algebren.- 1. Definitionen.- 2. Restklassenräume und Restklassenalgebren.- 3. Beschränkte Mengen.- 4. Silvasche Vektorräume und Silvasche Algebren.- 5. Kompakte Mengen.- 6. Lokale Konvexität.- 7. Ausblick.- II. Analytische k-Stellenalgebren.- § 0. Analytische k-Stellenalgebren und analytische Moduln.- 1. Die Kategorie U.- 2. Die Kategorie MA.- § 1. Topologie auf analytischen Stellenalgebren und analytischen Moduln.- 1. Schwache Topologie auf analytischen Stellenalgebren.- 2. Folgentopologie auf analytischen Stellenalgebren.- 3. Schwache Topologie und Folgentopologie auf analytischen Moduln.- § 2. Quasi-endliche und endliche Homomorphismen.- 1. Quasi-endliche Moduln.- 2. Quasi-endliche und endliche analytische Homomorphismen.- 3. Analytische Epimorphismen und analytische Erzeugendensysteme.- 4. Ganze Elemente und endliche Homomorphismen.- 5. Analytische k-Unterstellenalgebren.- 6. Invarianz der Modultopologie.- 7. Relativtopologie und strikte Homomorphismen.- § 3. Einbettungsdimension. Epimorphismen. Umkehrsatz.- 1. Cotangentialraum. Einbettungsdimension. Ableitung.- 2. Epimorphiekriterium.- 3. Jacobischer Umkehrsatz.- 4. Satz über implizite Funktionen.- 5. Einbettungsdimension und Epimorphismen.- § 4. Dimensionstheorie analytischer k-Stellerialgebren. Aktives Lemma.- 1. Aktive Elemente.- 2. Artinsche Algebren.- 3. Dimension.- 4. Aktives Lemma.- 5. Konstruktion aktiver Elemente.- 6. Konstruktion von Parametersystemen.- 7. Tiefe eines Ideals.- § 5. Dimension und endliche analytische Homomorphismen.- 1. Invarianz der Dimension.- 2. Endliche Monomorphismen. Osgoodsches Beispiel.- 3. Reguläre analytische k-Stellenalgebren.- § 6. Krullsche Dimension. Rein-dimensionale analytische Stellenalgebren.- 1. Primidealketten.- 2. Krullscher Hauptidealsatz.- 3. Rein-dimensionale analytische k-Stellenalgebren.- § 7. Endliche Erweiterungen analytischer Stellenalgebren. Normalisierung.- 1. Endliche Erweiterungen.- 2. Normalisierung reduzierter analytischer Stellenalgebren.- III. Weiterführende Theorie analytischer k-Stellenalgebren und analytischer Moduln.- § 1. Homologische Codimension (Profondeur).- 1. M-Sequenzen.- 2. Homologische Codimension. Maximale M-Sequenzen.- 3. Profondeur und endliche Homomorphismen.- 4. Cohen-Macaulay-Moduln.- 5. Unvermischtheit.- 6. Freie Moduln und Macaulay-Moduln.- 7. Beispiele von Macaulay-Moduln.- 8. Beispiele von nicht-Macaulayschen Ringen.- § 2. Homologische Dimension (Syzygientheorie).- 1. Minimale Epimorphismen.- 2. Minimale-freie Auflösungen.- 3. Syzygienmoduln.- 4. Homologische Dimension.- 5. Homologische Dimension und homologische Codimension. Syzygiensatz.- 6. Konstruktion von Hilbert-Auflösungen.- 7. Koszul-Komplexe.- § 3. Invariante analytische k-Unterstellenalgebren.- 1. Invariante Algebren zu endlichen Automorphismengruppen.- 2. Linearisierung.- 3. Beispiele. Zyklische Gruppen.- § 4. Derivations- und Differentialmoduln.- 1. Derivationen.- 2. Differentialmoduln.- 3. Existenz von Differentialmoduln.- 4. Eigenschaften der Differentialmoduln.- 5. Regularitätskriterium.- 6. Äußere Differentialformen über kn. Poincaré-Sequenz.- 7. Exaktheit der Poincaré-Sequenz.- § 5. Analytische Tensorprodukte.- 1. Definition und Existenz.- 2. Endlichkeit und Freiheit.- 3. Faseralgebren und endliche Homomorphismen.- 4. Das analytische Tensorprodukt analytischer Moduln.- 5. Invarianz unter endlichen Homomorphismen.- 6. Einbettungsdimension und Dimension.- 7. Normalität und Nullteilerfreiheit.- 8. Reduziertheit.- 9. Homologische Codimension.- 10. Differentialmoduln.- Anhang. Algebraische Hilfsmittel.- § 1. Ringe und Moduln.- 1. Idealpotenzen. Nilpotente Ideale.- 2. Primideale.- 3. Radikale. Reduzierte Ringe. Multiplikative Mengen.- 4. Torsionsmoduln. Quotientenmoduln.- 5. Rang und Corang.- 6. Noethersche Moduln.- 8. Zerlegungssatz von Lasker-Noether.- § 2. Endliche Moduln über noetherschen Stellenringen.- 2. Lemma von Nakayama.- 3. Krullscher Durchschnittsatz.- 4. Corang.- 5. Jacobirang.- 6. Einbettungsdimension.- 7. Freie Moduln.- § 3. Normale noethersche Integritätsringe.- 1. Ganze Elemente. Dedekindsches Lemma.- 2. Ganzer Abschluß. Normalisierung.- 3. Charakterisierung ganz-abgeschlossener Ringe.- 4. Hauptidealsatz.- 5. Minimale Primideale.- 6. Teilbarkeitstheorie.- § 4. Reduzierte und noethersche Ringe.- 1. Direkte Summen von Ringen.- 2. Epimorphiesatz.- 3. Reduzierte noethersche Ringe.- 4. Charakterisierung von Torsionsmoduln.- Literatur.

O autorze

Hans Grauert studierte in Münster und Zürich, wo er 1958 promovierte. Seit dem 1. Oktober 1959 war er bis zu seiner Emeritierung ordentlicher Professor in Göttingen. Er hatte Gastprofessuren u.a. in Princeton und Paris. Er gilt als einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker der Nachkriegszeit. Sein Spezialgebiet ist die Funktionentheorie mehrerer 'Veränderlicher'.