Mathematik Für Wirtschaftswissenschaftler: Mit 76 Aufgaben U. Lösungen

ISBN-13: 9783409634731 / Niemiecki / Miękka / 1981 / 266 str.

Siegmar St Ppler

Opis

Die KomplexWit, Undurchschaubarkeit und Lebendigkeit der wirtschaftlichen Erschei- nungen lassenjeden Versuch, sie zu beschreiben und zu analysieren, zu einer Suche nach den "wesentlichen" Zusammenhlingen werden. Vielleicht findet man dann derartige Beziehungen, die fur eine Darstellung einfach genug sind, die jedoch bei einer rein verbalen Darstellung nur in unmittelbarem Bezug zu dem empirisch Erflten verstanden werden konnen. Die Aufdeckung von Widerspriichen, die sich in Folge der Ungenauigkeit der Sprache einschleichen konnen, oder die Ableitung der dem Sachverhalt innewohnenden Konsequenzen werden durch das anschau- liche Verstiindnis der Begriffe und die Intuition sehr erschwert oder sogar unmoglich gemacht. Die Mathematik mit ihren spezifizierten, trocken anmutenden Strukturen erscheint den leben- digen okonomischen Beziehungen gegenuber zunachst als armselig oder gar unbrauchbar. Es hat sich aber gezeigt, dl sich im Bereich der quantifizierbaren Gro en (und nicht nur dort) die ver- bal beschriebenen Zusammenhiinge auch mathematisch darstellen lassen mit zusatzlichen Vor- teilen. Der Bezug zum Anschaulichen wird durch die weitere Abstraktion zunachst aufgehoben. Auf dieser abstrakten Ebene ist es moglich, sowohl die Widerspriiche oder Trivialitaten leichter zu erkennen, als auch nach den mathematischen Regeln (deren Anwendung in Folge der Iden- tifizierung der okonornischen mit der mathematischen Struktur gerechtfertigt ist) Folgerungen abzuleiten, fUr die der Bezug zur Relaitat wieder hergestellt werden kann. Die Mathematik ist dabei nichts weiter als eine prazise, flir viele okonomische Probleme geeignete Sprache.

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Spis treści

1. Mathematische Grundlagen.- 1.1. Aussagenlogik.- 1.1.1 Aussagen und Wahrheitswert.- 1.1.2. Operationen mit Aussagen.- 1.1.3. Implikation und Äquivalenz.- 1.1.4. Beweisverfahren.- 1.1.5. Zusammenfassung von Gesetzen der Aussagenlogik in der Aussagenalgebra.- Aufgaben zu 1.1.: Aussagenlogik. Analyse einfacher ökonomischer Sätze.- 1.2. Mengenlehre.- 1.2.1. Mengen.- 1.2.2. Mengenoperationen.- 1.2.3. Quantoren.- 1.2.4. Relationen und Ordnungsbeziehungen.- 1.2.5. Beziehung zwischen Aussagen- und Mengenalgebra. Der strukturelle Aspekt.- Aufgaben zu 1.2.: Mengenlehre. Erfassung eines Netzplans und auftretende Probleme.- 1.3. Algebraische Strukturen und Zahlmengen.- 1.3.1. Struktur mit einer Operation: Gruppe.- 1.3.2. Strukturen mit zwei Operationen (+ und ·): Körper und Ring 44 Aufgaben zu 1.3.: Algebraische Strukturen. Der minimale Transportweg in einem Reihenfolgeproblem.- 2. Einführung in Grundbegriffe und Probleme der linearen Algebra.- 2.1 Linearität.- 2.1.1. Linearformen und lineare Funktionen.- 2.1.2. Lineare Gleichungen.- 2.1.3. Operationen mit Linearformen und linearen Gleichungen.- Aufgaben zu 2.1.: Linearität. Die Umsatzfunktion zu einer linearen Preis-Absatz-Funktion.- 2.2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.2.1. Problemstellung.- 2.2.2. Systematische Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme.- 2.2.3. Geometrische Interpretation der Lösung linearer Gleichungssysteme.- 2.2.4. Lineare homogene Gleichungssysteme.- 2.2.5. Lineare inhomogene Gleichungssysteme.- Aufgaben zu 2.2.: Lineare Gleichungssysteme. Ein Mischungsbeispiel.- 2.3. Vektoren im Rn.- 2.3.1. Definition, Operationen und Regeln.- 2.3.2. Lineare Gleichungen in n-Vektoren.- 2.3.3. Skalarprodukt, Norm und Abstand im Rn.- Aufgaben zu 2.3.: Vektorrechnung. Ein Beispiel zur Listenverarbeitung in einer Bank.- 2.4. Ein Beispiel der Linearen Programmierung.- 3. Der lineare Vektorraum.- 3.1. Lineare Vektorräume und Unterräume.- 3.1.1. Definition des Vektorraumes.- 3.1.2. Der (lineare) Unterraum eines Vektorraumes.- 3.2. Linearkombinationen, Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 3.2.1. Linearkombination und Erzeugung von Unterräumen.- 3.2.2. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 3.3. Basis und Dimension.- 3.3.1. Basis und Austauschsätze.- 3.3.2. Basis und Dimension.- 3.3.3. Summenraum und Dimensionssatz.- 3.4. Die Lösbarkeit linearer Gleichungen und Gleichungssysteme.- 3.4.1. Lineare Gleichungen im allgemeinen Vektorraum.- 3.4.2. Lineare homogene Gleichungen.- 3.4.3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 3.5. Lineare Gleichungssysteme.- 3.5.1. Der Rang einer Matrix.- 3.5.2. Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix.- 3.5.3. Die Lösbarkeitskriterien eines linearen Gleichungssystems.- 3.5.4. Basislösungen.- Aufgaben zu 3.: Der lineare Vektorraum. Weitere Analyse des Mischungsproblems.- 4. Matrizenrechnung.- 4.1. Matrizen und Operationen.- 4.1.1. Begriff der Matrix.- 4.1.2. Addition von Matrizen und Multiplikation mit Skalaren.- 4.1.3. Matrizenmultiplikation.- 4.1.4. Spezielle Matrizen.- 4.1.5. Transposition und Symmetrie.- 4.1.6. Blockmatrizen.- Aufgaben zu 4.1.: Matrizenrechnung: Matrizen und Operationen. Problem der Materialverflechtung in einem Betrieb.- 4.2. Reguläre und singuläre Matrizen, Inverse.- 4.2.1. Regularität und Singularität.- 4.2.2. Inverse einer Matrix.- 4.2.3. Gaußscher Algorithmus zur Berechnung der Inversen.- 4.2.4. Orthogonalmatrizen. Inverse von Blockmatrizen und andere spezielle Inverse.- 4.2.5. Matrizenreihen und Leontief-Inverse.- Aufgaben zu 4.2.: Reguläre und singuläre Matrizen. Ein Problem der Input-Output-Rechnung.- 4.3. Determinanten und Matrizen.- 4.3.1. Definition und Eigenschaften.- 4.3.2. Determinante, Rang und Inverse, Cramersche Regel.- 4.3.3. Weitere skalare Funktionen auf Matrizen: Spur.- Aufgaben zu 4.3.: Determinanten und Matrizen. Probleme der gewöhnlichen linearen Regression.- 4.4. Eigenwertproblem. Quadratische Formen und definite Matrizen.- 4.4.1. Eigenwerte.- 4.4.2. Eigenwerte symmetrischer Matrizen.- 4.4.3. Quadratische Formen.- 4.4.4. Kriterien der Definität.- Aufgaben zu 4.4.: Eigenwerte und Definitheit. Probleme in der orthogonalen und gewöhnlichen linearen Regression.- 4.5. Matrizen und lineare Abbildungen (Transformationen).- 4.5.1. Abbildungen.- 4.5.2. Lineare Abbildungen.- 4.5.3. Probleme der Matrizenrechnung und Lineare Transformationen.- Aufgaben zu 4.5.: Matrizen und lineare Abbildungen. Lineare Trnsaformationen im Input-Output-Modell.- 5. Lineare Programmierung und n-dimensionale Geometrie.- 5.1. Lineare Programmierung.- 5.1.1. Das allgemeine Problem der linearen Programmierung.- 5.1.2. Die Lösung eines linearen Programms. Eine Einführung in die Simplexmethode.- 5.1.3. Der Basis- oder Eckentausch der Simplexmethode.- 5.1.4. Problem der Anfangslösung. 2-Phasen-Methode.- Aufgaben zu 5.1.: Lineare Programmierung.- 5.2. n-dimensionale Geometrie.- 5.2.1. Punktmengen, Geraden und Hyperebenen.- 5.2.2. Konvexe Mengen und Polyeder. Beschränktheit und Extremalpunkte.- 5.2.3. LP-Nebenbedingungen und konvexe Polyeder, Ecken und Maximalpunkte.- 5.2.4. Konvexe Kegel und konvexe Polyederkegel.- Aufgaben zu 5.2.: n-dimensionale Geometrie.- 6. Grundlagen der Analysis.- 6.1. Folgen, Reihen und Rentenrechnung.- 6.1.1. Absolutbetrag, Intervalle, Maximum.- 6.1.2. Folgen und Grenzwerte von Folgen. Rentenendwertformeln.- 6.1.3. Unendliche Reihen.- Aufgaben zu 6.1.: Folgen, Reihen und Rentenrechnung. Rentenbarwert und Ausgleichszahlung.- 6.2. Funktionen einer Veränderlichen.- 6.2.1. Die Funktionen und ihre elementaren Eigenschaften.- 6.2.2. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit.- Aufgaben zu 6.2.: Funktionen einer Veränderlichen.- 7. Differentialrechnung.- 7.1. Differentialrechnung der Funktionen einer Veränderlichen.- 7.1.1. Differentialquotient und Differentiationsregeln.- 7.1.2. Differentiale und Ableitungen höherer Ordnung.- 7.1.3. Der Funktionsverlauf: Monotonie und Konvexität.- 7.1.4. Extremwerte und Wendepunkt.- Aufgaben zu 7.1.: Differentialrechnung der Funktion einer Veränderlichen. Elastizität einer Funktion. Losgrößenbestimmung.- 7.2. Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Veränderlichen.- 7.2.1. Partielle Ableitungen: Gradient und totales Differential.- 7.2.2. Vektorielle Funktionen und Funktionalmatrix, lineare und quadratische Funktionen.- 7.2.3. Extremwerte einer Skalarfunktion mehrerer Variablen und zweite partielle Ableitungen.- 7.2.4. Extremwerte unter Nebenbedingungen. Der Ansatz von Lagrange.- Aufgaben zu 7.2.: Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Veränderlichen. Homogene Funktionen und Minimalkostenkombination.