Grundlagen der Mathematik II

ISBN-13: 9783642868979 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 568 str.

David Hilbert;Paul Bernays

Opis

Der vorliegende Band schließt die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes über­ nommen. Ich danke ihm für die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs stärkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe wäre die Vollendung dieses Buches unmöglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich für ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Göttingen, im März 1939 HILBERT Zur Einführung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung über den gegenwärtigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn­ gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an prägnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Für die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsächlichen, an das e-Symbol sich knüpfenden beweistheoretischen Ansätze HILBERTS und ihre Durchführung zur ein­ gehenden Darstellung zu bringen.

Spis treści

§ 1. Die Methode der Elimination der gebundenen Variablen mittels des Hileertschen ?-Symbols.- 1. Der Prozeß der symbolischen Auflösung von Existenzialformeln.- 2. Das Hilbertsche ?-Symbol und die ?-Formel.- 3. Beweis des ersten ?-Theorems.- a) Vorbereitungen.- b) Der Hilbertsche Ansatz.- c) Arten der Zusammensetzung von ?-Symbolen; Grad und Rang von ?-Termen.- d) Elimination der kritischen Formeln im allgemeinen Falle.- e) Erweiterung des Ergebnisses.- 4. Nachweise von Widerspruchsfreiheit.- a) Ein allgemeines Widerspruchsfreiheitstheorem.- b) Anwendung auf die Geometrie.- § 2. Beweistheoretische Untersuchung der Zahlentheorie mittels der an das ?-Symbol sich knüpfenden Methoden.- 1. Anwendung des Wf.-Theorems auf die Zahlentheorie.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das erste ?-Theorem.- a) Vorbereitende Überlegungen; Grundtypus; Formeln der ?-Gleichheit.- b) Gemeinsame Elimination der kritischen Formeln und der Formeln der ?-Gleichheit.- c) Verschärfte Fassung des ersten ?-Theorems und des Wf.-Theorems.- 3. Hindernisse für die Einbeziehung des unbeschränkten Induktionsschemas in das Eliminationsverfahren. Formalisierung des Induktionsprinzips mit Hilfe einer zweiten Formel für das ?-Symbol. Überleitung zu dem ursprünglichen Hilbertschen Ansatz.- 4. Der ursprüngliche Hilbertsche Ansatz zur Ausschaltung der ?-Symbole und seine weitere Verfolgung.- a) Einfachste Fälle.- b) Vorbereitungen zur Behandlung des allgemeinen Falles.- c) Durchführung des Hilbertschen Ansatzes bei Beschränkung auf ?-Terme vom Range 1.- d) Bildung einer Aufeinanderfolge von Gesamtersetzungen im allgemeinen Fall.- e) Nachweis der Bestimmbarkeit einer Resolvente im Falle, daß alle kritischen Formeln solche von erster Art sind.- f) Versagen der Beweismethode bei der Hinzunahme kritischer Formeln zweiter Art von beliebigem Rang. Ergänzung des vorherigen Resultates.- g) Verwertung des erhaltenen Ergebnisses für das Wf.-Theorem.- § 3. Anwendung des ?-Symbols auf die Untersuchung des logischen Formalismus.- 1. Das zweite ?-Theorem.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das zweite ?-Theorem Anknüpfende Eliminationsbetrachtungen.- 3. Der Herbrandsche Satz.- 4. Kriterien der Widerlegbarkeit im reinen Prädikatenkalkul.- 5. Anwendung der erhaltenen Kriterien auf das Entscheidungsproblem.- a) Allgemeines über Erfüllbarkeit. Die erfüllungstheoretische Skolemsche Normalform.- b) Der Löwenheimsche Satz und der Gödelsche Vollständigkeitssatz.- c) Berücksichtigung der Anforderungen des finiten Standpunktes.- d) Behandlung eines Beispiels.- e) Erfüllungstheoretische Normalformen.- § 4. Die Methode der Arithmetisierung der Metamathematik in Anwendung auf den Prädikatenkalkul.- 1. Durchführung einer Arithmetisierung der Metamathematik des Prädikatenkalkuls.- a) Die Nummernzuordnungen.- b) Hilfsmittel der rekursiven Zahlentheorie.- c) Arithmetisierung des Begriffes „Formel“.- d) Arithmetisierung von Wahrheitswertverteilungen.- e) Arithmetisierung des Begriffes „Ableitung“.- 2. Anwendung der Arithmetisierungsmethode auf den Gödelschen Vollständigkeitssatz.- a) Formalisierung des Vollständigkeitsbeweises.- b) Verschärfung der Erfüllbarkeit zu einer Ableitbarkeit.- § 5. Der Anlaß zur Erweiterung des methodischen Rahmens der Beweistheorie.- 1. Grenzen der Darstellbarkeit und der Ableitbarkeit in deduktiven Formalismen.- a) Die Antinomie des Lügners; Tarskis Satz über den Wahrheitsbegriff; das Richardsche Paradoxon.- b) Das erste Gödelsche Unableitbarkeitstheorem.- c) Das zweite Gödelsche Unableitbarkeitstheorem.- 2. Die formalisierte Metamathematik des zahlentheoretischen Formalismus.- a) Abgrenzung eines zahlentheoretischen Formalismus.- b) Bestimmung einer Nummernzuordnung für den Formalismus (Z?).- c) Die Erfüllung der Bedingung b2) durch die für den Formalismus (Z?) gewählte Nummernzuordnung.- d) Erfüllung der Ableitbarkeitsforderungen durch den Formalismus (Z?).- e) Ausdehnung des zweiten Gödelschen Unableitbarkeitstheorems auf den Formalismus (Z). — Aufstellung einer Wahrheitsdefinition für diesen Formalismus.- 3. Überschreitung des bisherigen methodischen Standpunktes der Beweistheorie. — Nachweise der Widerspruchsfreiheit für den vollen zahlentheoretischen Formalismus.- a) Betrachtungen zur Frage der Formalisierbarkeit unserer bisherigen beweistheoretischen Überlegungen.- b) Eliminierbarkeit des „tertium non datur“ für die Untersuchung der Widerspruchsfreiheit des Systems (Z).- c) Eine spezielle Form der transfiniten Induktion und ihre Anwendung in dem Gentzenschen Widerspruchsfreiheitsbeweis für das System (Z).- Supplement I: Zur Orientierung über den Prädikatenkalkul und anschließende Formalismen.- A. Der reine Prädikatenkalkul.- B. Der Prädikatenkalkul in Anwendung auf formalisierte Axiomensysteme. Die ?-Regel. Zahlentheoretische Formalismen.- C. Sätze über den Prädikatenkalkul.- D. Modifizierte Form des Prädikatenkalkuls.- Supplement II: Eine Präzisierung des Begriffs der berechenbaren Funktion und der Satz von Church über das Entscheidungsproblem.- A. Begriff der regelrecht auswertbaren Funktion. Auswertung im Formalismus (Z°).- B. Quasirekursive und regelrecht auswertbare Funktionen. Normaldarstellung. Auswertung im Formalismus (Z00). Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens.- C. Die Unmöglichkeit einer allgemeinen Lösung des Entscheidungsproblems für den Prädikatenkalkul.- Supplement III: Über gewisse Bereiche des Aussagenkalkuls und ihre deduktive Abgrenzung mit Hilfe von Schematen.- A. Die positiv identischen Implikationsformeln.- B. Die positiv identischen I-K-Formeln.- C. Die identischen I-K-N-Formeln.- Supplement IV: Formalismen zur deduktiven Entwicklung der Analysis.- A. Aufstellung eines Formalismus.- B. Gewinnung der Zahlentheorie.- C. Theorie der Maßzahlen.- D. Theorie der reellen Zahlen. Bemerkungen Tiber die weitere Formalisierung der Analysis.- E. Theorie der Wohlordnungen der Mengen von ganzen Zahlen.- F. Modifikationen des Formalismus. Vermeidung des ?-Symbols.- G. Verwendung gebundener Formelvariablen.- Supplement V: Widerspruchsfreiheitsbeweise für den zahlentheoretischen Formalismus.- A. Der Kalmársche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- B. Der Ackermannsche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- Namenverzeichnis.

O autorze

David Hilbert (1862-1943) gilt als der vielleicht universellste Mathematiker des ausgehenden 19. und beginnenden 20. Jahrhunderts. Er hat auf zahlreichen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik grundlegende neue Resultate vorgelegt und wesentliche Entwicklungen angebahnt.