Infinitesimalrechnung

ISBN-13: 9783528035617 / Niemiecki / Miękka / 1973 / 660 str.

Karl-Bernhard Gundlach

Opis

Das vorliegende Bueh ist aus einer Vorlesung uber Infinitesimalreehnung fUr Studienanfiinger hervorgegangen. Der Student der Mathematik oder Physik beginnt bisher das Studium der Mathematik in der Regel mit zwei parallel laufenden Vor lesungen uber Infinitesimalrechnung und uber lineare Algebra (fruher meistens als analytische Geometrie bezeiehnet). Die beiden Vorlesungen sind nieht unabhiingig voneinander. Insbesondere kann man in der Infinitesimalreehnung jeweils das, was aus der linearen Algebra benotigt wird (wie Vektoren, Matrizen, Determinanten usw. ), als bekannt voraussetzen. Urn nieht bei elementaren Saehverhalten auf zu siitzliehe Literatur verweisen zu mussen, werden hier die (nicht sehr umfangreiehen) Hilfsmittel aus der linearen Algebra, die dauernd benutzt werden, innerhalb der Darstellung mitentwickelt. (Das entspricht auch der tatsiichlich gehaltenen Vorlesung, da im Wintersemester 1966/67 wegen der Ungunst der Verhiiltnisse eine Parallelvor lesung uber lineare Algebra erst ein Semester spiiter beginnen konnte. ) Hilfsmittel aus der linearen Algebra, die nur an einzelnen Stellen benotigt werden (wie Matrizen und Determinanten), sind in einem gesonderten Paragraphen (mit kurzen Beweisen) zusammengestellt. Auch sonst werden an keiner Stelle spezielle Kenntnisse (auch nicht aus dem Schulunterricht ) vorausgesetzt. Besonderen Wert habe ich auf eine ausfUhrliche Erorterung der Grundbegriffe gelegt. Es durfte klar sein, daB man eine Einfiihrung in die Infinitesimalrechnung weder mit Logistik noeh mit axiomatischer Mengenlehre beginnen kann. DemgemiiB werden Logik und Mengenlehre yom "naiven" Standpunkt aus behandelt.

Spis treści

1. Grundbegriffe.- 1.1. Der mathematische Sprachgebrauch.- 1.2. Mengen.- 1.3. Kreuzprodukte, Relationen und Funktionen.- 1.4. Abbildungen.- 2. Gruppen, Ringe und Körper.- 2.1. Verknüpfungen und Halbgruppen.- 2.2. Gruppen.- 2.3. Ringe und Körper.- 3. Ordnungsrelationen.- 3.1. Geordnete Mengen.- 3.2. Angeordnete Körper.- 4. Die natürlichen Zahlen.- 4.1. Peano-Axiome und vollständige Induktion.- 4.2. Die Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4.3. Definition durch vollständige Induktion.- 4.4. Natürliche Zahlen in angeordneten Körpern.- 4.5. Die Anzahl der Elemente einer Menge.- 4.6. Produktzeichen und Summenzeichen.- 4.7. Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung in N.- 5. Rationale, reelle und komplexe Zahlen.- 5.1. Die rationalen Zahlen.- 5.2. Die reellen Zahlen.- 5.3. Die komplexen Zahlen.- 6. Metrik und Topologie.- 6.1. Absolutbeträge.- 6.2. Metrische Räume.- 6.3. Topologische Räume.- 6.4. Stetige Abbildungen.- 6.5. Produkträume.- 6.6. Einige elementare stetige Abbildungen.- 6.7. Zusammenhängende Mengen.- 6.8. Logarithmus und allgemeine Potenz :.- 7. Ergänzungen zu 1.–6..- 7.1. Logik.- 7.2. Mengenlehre.- 7.3. Binomischer Satz und geometrische Reihe.- 7.4. Auswahlaxiom und Zornsches Lemma.- 7.5. Kardinalzahlen.- 7.6. Topologie.- 7.7. Besonderheiten der Topologie auf R.- 7.8. Metrische Räume.- 7.9. Vektorräume.- 8. Grenzwerte.- 8.1. Umgebungen.- 8.2. Raster und Filter.- 8.3. Raster auf R und R.- 8.4. Der Grenzwert.- 8.5. Grenzwerte von Funktionen und Abbildungen.- 8.6. Rechenregeln für Grenzwerte.- 8.7. Grenzwerte in R.- 8.8. Die unendliche geometrische Reihe.- 8.9. Die Exponentialfunktion in R.- 9. Spezielle Sätze über Grenzwerte.- 9.1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 9.2. Kompakte Räume.- 9.3. Iterierte Grenzwerte.- 9.4. Gleichmäßige Konvergenz.- 9.5. Folgen und Reihen in Banachräumen.- 9.6. Konvergenzkriterien.- 9.7. 0 und o.- 10. Stetige Abbildungen.- 10.1. Fortsetzung stetiger Abbildungen.- 10.2. Folgen stetiger Abbildungen.- 10.3. Lineare Abbildungen.- 10.4. Lineare Abbildungen in Banachräume.- 10.5. Banachalgebren.- 10.6. Hilfsmittel aus der linearen Algebra.- 11. Differentiation.- 11.1. Die Ableitung.- 11.2. Differentiationsregeln.- 11.3. Der Schrankensatz.- 11.4. Anwendungen des Schrankensatzes.- 11.5. Injektive und surjektive Ableitungen.- 11.6. Höhere Ableitungen und partielle Ableitungen.- 11.7. Spezielle Bezeichnungen.- 12. Anwendungen der Differentiation.- 12.1. Extremwerte und Mittelwertsatz.- 12.2. Die Regeln von de l’Hospital.- 12.3. Taylorreihen.- 12.4. Die Exponentialfunktion.- 12.5. Kreis- und Hyperbelfunktionen.- 12.6. Die binomische Reihe.- 12.7. Der Satz von Stone und Weierstraß.- 12.8. Implizite Funktionen.- 13. Cauchy-Integrale.- 13.1. Stammfunktionen.- 13.2. Sprungstetige Abbildungen (Regelfunktionen).- 13.3. Das Cauchy-Integral.- 13.4. Das Riemannsche Integral.- 13.5. Integrationsregeln.- 13.6. Integration bei Abhängigkeit von Parametern.- 13.7. Uneigentliche Integrale.- 13.8. Mehrfache Integrale.- 13.9. Die Länge einer Kurve.- 14. Lebesgue-Integrale.- 14.1. Daniell-Integrale.- 14.2. Nullmengen.- 14.3. Konvergenzsätze für Daniell-Integrale.- 14.4. Lebesgue-Integrale.- 14.5. Konvergenzsätze für Lebesgue-Integrale.- 14.6. Vergleich von Lebesgue-Integralen.- 14.7. Produktintegrale.- 14.8. Die Transformationsformel.- 14.9. Fourierreihen.- Namen- und Sachverzeichnis.