Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie

ISBN-13: 9783642947032 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 312 str.

Hugo Hadwiger

Opis

Das vorliegende Buch vereinigt in seinen wesentlichen Teilen den Stoff verschiedener Vorlesungen liber Inhaltstheorie, isoperimetrische Probleme und liber konvexe Karper und allgemeine Integralgeometrie, die ich im Laufe der letzten Jahre an der Universitat Bern gehalten habe. Abgesehen von einzelnen kleinen Spezialvorlesungen entsprachen die Kurse dem Lehrprogramm fUr die allgemeine EinfUhrung in die hahere Mathematik und waren demnach fUr Harer der unteren und mittleren Semester bestimmt. Bei der buchmaBigen Zusammenfassung war ich bemliht, in einer sich auf Stoffauswahl und Behandlungsart auswirkenden Ausrichtung auf die Linie der elementaren direkten Mengengeometrie die gemeinsame Bindung zu finden, welche die verschiedenartigen Sachgebiete, die auch unabhangig durchfUhrbaren Vorlesungen entsprechen, zu einem einheit lichen Ganzen zusammenfUgen solI. Mit der erwahnten Beschrankung wurde eine einfache, ohne hahere Spezialkenntnisse lesbare Darstellung der einschlagigen Themen erzielt. Erforderlich sind gute Kenntnisse der Grundtatsachen der Elementargeometrie, eine gewisse Vertrautheit mit den wichtigsten Begriffen der Punktmengenlehre und mit der mengentheoretischen SchluBweise, schlieBlich einige Dbung beim Umgang mit exakten, sich auf Raum und Zahl beziehende Begriffs bildungen. Welches sind nun die Kriterien einer elementaren und direkt mengen geometrischen Betrachtungsweise, wie sie dem vorliegenden Buche zugrunde liegen solI? Einige hierfUr charakteristische Merkmale seien nachfolgend aufgezahlt: 1. Alles spielt sich einheitlich im (k-dimensionalen) euklidischen Raum ab; so ist ein unveranderliches Arbeitsfeld gegeben, mit dem man von den Elementen her gut vertraut ist."

Spis treści

Erstes Kapitel Elementargeometrie der Polyeder.- § 1. Begriff des Polyeders.- 1.1.1 Raum, Punkt und Richtung.- 1.1.2 Konvexe Polyeder.- 1.1.3 Simplex.- 1.1.4 Polyeder.- 1.1.5 Elementargeometrische Zerlegung.- 1.1.6 Simplizialzerlegung.- 1.1.7 Polyederkategorien; Polyedererzeugung.- § 2. Elemente der Polyedergeometrie.- 1.2.1 Verwandtschaften.- 1.2.2 MINKOWSKIsche Addition.- 1.2.3 Lineare Polyederscharen.- 1.2.4 Parallelotope.- 1.2.5 Simplotope.- 1.2.6 Kanonische Simplexzerlegung.- 1.2.7 Zylinder.- § 3. Zerlegungsgleichheit.- 1.3.1 Ganze Vervielfachung.- 1.3.2 Translative Zerlegungsgleichheit.- 1.3.3 Parallelotop und Determinante.- 1.3.4 Orthogonalergänzung.- 1.3.5 Zylinderklassen.- 1.3.6 Zerlegungskongruenzen.- 1.3.7 Zerlegungshilfssätze.- 1.3.8 Rationale Vervielfachung.- Anmerkungen.- Zweites Kapitel Der elementare Inhalt.- § 1. Begründung des Polyederinhalts.- 2.1.1 Inhaltspostulate.- 2.1.2 Einfache Folgerungen.- 2.1.3 Eindeutigkeitssatz.- 2.1.4 Existenzsatz.- 2.1.5 Invarianz und Homogenität.- 2.1.6 Der elementare Inhalt.- 2.1.7 Unabhängigkeit der Inhaltspostulate.- § 2. Polyederinhalt und Zerlegungsgleichheit.- 2.2.1 Zerlegungs- und Ergänzungsgleichheit.- 2.2.2 Das HILBERT-DEHNsche Problem; Zerlegungskriterien.- 2.2.3 Inhaltsfunktionale von JESSEN.- 2.2.4 Zylindrische Zerlegungskongruenzen; Kriterien.- 2.2.5 Das formale Hauptkriterium.- 2.2.6 Lineare Funktionale und translative Zerlegungskongruenz.- 2.2.7 Ein Zerlegungssatz bei MINKOWSKIscher Addition.- 2.2.8 Ungerade und gerade Dimension.- 2.2.9 Polyeder und Gitter.- 2.2.10 Intervallzerlegungen.- § 3. Inhalt und Oberfläche der Polyeder.- 2.3.1 Inhalts- und Oberflächenformel.- 2.3.2 Axiomatische Charakterisierungen.- 2.3.3 Ein Fortsetzungssatz.- Anmerkungen.- Drittes Kapitel JORDANscher Inhalt und LEBESGUEsches Maß.- § 1. Punktmengen.- 3.1.1 Punktmengen; Bezeichnungen.- 3.1.2 Mengenklassen.- 3.1.3 Einfache Hilfssätze.- 3.1.4 Zerlegungsgleichheit.- 3.1.5 Zerlegungsparadoxien.- 3.1.6 Parallelotope und Zerlegungsgleichheit.- §2. Inhalts-und Maßsysteme.- 3.2.1 Begriff des Inhaltssystems; Inhaltspostulate.- 3.2.2 Einfache Folgerungen.- 3.2.3 Weitere Eigenschaften.- 3.2.4 Verschiedene Aussagen und Sätze.- 3.2.5 Begriff des Maßsystems.- § 3. Der JORDANsche Inhalt.- 3.3.1 Äußerer und innerer JORDANscher Inhalt.- 3.3.2 Das JORDANsche Inhaltssystem.- 3.3.3 JORDANsche Meßbarkeit; Kriterien.- 3.3.4 Charakterisierung des JoRDANschen Inhalts.- § 4. Das LEBESGUEsche Maß.- 3.4.1 Äußeres und inneres LEBESGUEsches Maß.- 3.4.2 Das LEBESGUEsche Maßsystem.- 3.4.3 Charakterisierung des LEBESGUEschen Maßes.- § 5. Zum allgemeinen Inhalts- und Maßproblem.- 3.5.1 Fragestellungen.- 3.5.2 Zerlegungsäquivalenz und Inhaltsgleichheit.- 3.5.3 Der TARSKIsche Inhalt.- 3.5.4 Normsystem und BANACHsche Systeme.- Anmerkungen.- Viertes Kapitel Ausgewählte Studien zur Mengengeometrie.- § 1. Lineare Ausmessung von Punktmengen.- 4.1.1 Breite, Durchmesser und Dicke.- 4.1.2 Spannen und Radien.- 4.1.3 Einfache Ungleichungen.- § 2. MINKOWSKische Mengenoperationen.- 4.2.1 MiNKOWSKische Addition und Subtraktion.- 4.2.2 Außen- und Innenmengen.- 4.2.3 Parallelmengen.- 4.2.4 Lineare, konvexe und konkave Mengenscharen.- § 3. Mengenkonvergenz und Auswahlsatz.- 4.3.1 Metrik und Konvergenz.- 4.3.2 Auswahlsatz.- 4.3.3 Stetige und halbstetige Mengenscharen.- § 4. Mengengeometrie und Inhalt.- 4.4.1 Inhalt und Mengenscharen; BRUNNscher Satz.- 4.4.2 Äußere Quermasse; Ungleichungen.- 4.4.3 Innere Quermasse; FUBINIS Theorem.- § 5. Symmetrisierung, Drehmittelung und Kugelung.- 4.5.1 STEINERsche Symmetrisierung.- 4.5.2 Drehmittelung.- 4.5.3 Kugelungstheoreme.- 4.5.4 BIEBERBACHsche Ungleichung.- 4.5.5 Inhaltsradien; Theoreme von ERHARD SCHMIDT.- Anmerkungen.- Fünftes Kapitel Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie.- § 1. MINKOWSKIsche Oberfläche.- 5.1.1 Innere und äußere Relativoberfläche.- 5.1.2 Relative Flächenmaße.- 5.1.3 Gewöhnliche Oberfläche.- § 2. Die isoperimetrische Ungleichung.- 5.2.1 Der BRUNN-MINKOWSKIsche Satz.- 5.2.2 Der isoperimetrische Satz.- 5.2.3 Inhaltstreue Parallelzerlegung und Defizite.- 5.2.4 Beweis der Hauptsätze.- 5.2.5 Die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel.- Anmerkungen.- Sechstes Kapitel Konvexe Körper und allgemeine Integralgeometrie.- § 1. Konvexe Körper und ihre fundamentalen Maßzahlen.- 6.1.1 Zur Geometrie der Eikörper; Grundtatsachen.- 6.1.2 Eikörperfunktionale.- 6.1.3 Polyedrische Approximation.- 6.1.4 Inhalt und Oberfläche konvexer Körper.- 6.1.5 Die Oberflächenformel von CAUCHY.- 6.1.6 MINKOWSKIS Quermaßintegrale; Integralrekursion von KUBOTA.- 6.1.7 Norm und mittlere Breite.- 6.1.8 Die STEINERsche Formel für Parallelkörper.- 6.1.9 Spezielle Formeln; Elementare Körper.- 6.1.10 Charakterisierung der Quermaßintegrale.- §2. Integralgeometrische Ansätze; Integralformeln.- 6.2.1 Kinematische Dichten und Integrale.- 6.2.2 Integralformeln mit Inhalt und Oberfläche.- 6.2.3 Eine Integralrelation für Polyederpaare.- 6.2.4 Drehintegrale bei MiNKOWSKischer Addition.- 6.2.5 Projizieren und Schneiden; CAUCHYS und CROFTONS Formeln.- 6.2.6 Drehintegrale bei affiner Deformation.- 6.2.7 Mittlere affine Richtungsderivierte.- § 3. Allgemeine Integralsätze.- 6.3.1 Der Konvexring.- 6.3.2 Additive Funktionale.- 6.3.3 Die Charakteristik von EULER-POINCARE.- 6.3.4 Quermaßintegrale im Konvexring.- 6.3.5 Assoziierte Funktionale und allgemeiner Integralsatz.- 6.3.6 Die kinematische Hauptformel von BLASCHKE und SANTALO.- 6.3.7 Vollständiges kinematisches Formelsystem.- § 4. Konkave Eikörperfunktionale.- 6.4.1 Konvexe Eikörperklassen; konkave Funktionale.- 6.4.2 Wurzelfunktionale mit Inhalt und Oberfläche.- 6.4.3 Rotationskörper.- 6.4.4 Konkave und konvexe Kanalscharen.- 6.4.5 Potenzintegrale mit konkaven Funktionalen.- 6.4.6 Sehnen- und Breitenpotenzintegrale.- 6.4.7 Planare Momente.- 6.4.8 Harmonische Quermaßintegrale.- § 5. Die isoperimetrische Ungleichung.- 6.5.1 Isoperimetrische Ungleichung; Defizite.- 6.5.2 Verschärfung durch Vergleich mit der Inkugel.- 6.5.3 Zylinder und Kegel.- 6.5.4 Parallelotop und Simplex.- 6.5.5 Formkörper; Verschärfungen von BOL und DINGHAS.- 6.5.6 Eipolyeder; Theorem von LINDELÖF.- 6.5.7 Quermaßintegrale und Isoperimetrie der Kugel.- 6.5.8 Gemischte Quermaßintegrale und lineare Ungleichungen für Rotationskörper.- 6.5.9 Die FENCHELschen Ungleichungen.- 6.5.10 Eine vollständige Schar extremaler Rotationskörper.- Anmerkungen.- Namenverzeichnis.